大学复变函数论（大学通用）上册《解析函数的级数展开》练习题

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本单元考点（4 个）

泰勒级数展开洛朗级数展开幂级数的收敛半径与收敛圆解析函数零点的孤立性

本单元练习题（9 题）

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1. 设 f(z)=1/((z−1)(z−2))，在圆环 1<|z|<2 内展开为洛朗级数 f(z)=∑_{n=−∞}^{+∞} cₙzⁿ，则 c₋₁=（　） A. 1 B. −1 C. 1/2 D. −1/2

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2. 设 f(z)=1/(z(2−z))，在圆环 0<|z|<2 内展开为洛朗级数 f(z)=∑_{n=−∞}^{+∞} cₙzⁿ，则 c₋₁=（　） A. 1/2　B. −1/2　C. 1　D. 2

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3. 函数 f(z)=e^z 在 z=0 处的泰勒展开式中，z³ 项的系数为（　） A. 1/6　B. 1/3　C. 1/24　D. 1

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4. 设幂级数 ∑(n=0→∞) (z−1)^n / 2^n，则该级数的收敛半径与收敛圆为（　） A. R=2，收敛圆为 |z−1|=2　B. R=1/2，收敛圆为 |z|=1/2　C. R=2，收敛圆为 |z|=2　D. R=1/2，收敛圆为 |z−1|=1/2

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5. 设函数 f(z)=z²·sin z，则 z=0 是 f(z) 的零点，其阶数为： A. 1 阶 B. 2 阶 C. 3 阶 D. 4 阶

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6. 设幂级数 ∑(n=0→∞) [2^n + (−1)^n] zⁿ，则该级数的收敛半径 R 与收敛圆为（　） A. R=1/2，收敛圆为 |z|=1/2　B. R=2，收敛圆为 |z|=2　C. R=1，收敛圆为 |z|=1　D. R=3，收敛圆为 |z|=3

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7. 函数 f(z)=z·cos z 在 z=0 处的泰勒展开式中，z⁵ 项的系数为（　） A. 1/24　B. -1/24　C. 1/120　D. -1/120

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8. 设函数 f(z)=e^z−1−z−z²/2，则 z=0 是 f(z) 的零点，其阶数为： A. 1 阶 B. 2 阶 C. 3 阶 D. 4 阶

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9. 设函数 f(z)=z³·(e^z−1)，则 z=0 是 f(z) 的零点，其阶数为： A. 1 阶 B. 2 阶 C. 3 阶 D. 4 阶

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