大学复变函数论（大学通用）上册《调和函数》练习题

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本单元考点（5 个）

调和函数的定义调和函数的平均值性质调和函数的极值原理调和共轭函数泊松积分公式

本单元练习题（9 题）

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1. 设 u(x,y)=e^x·cos y 在单连通区域 D 上调和，则 u 的一个调和共轭函数 v(x,y) 为（　） A. e^x·sin y　B. −e^x·sin y　C. e^x·cos y　D. −e^x·cos y

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2. 设函数 u(x,y)=x²−y² 在整个复平面上调和。记 C 为以原点为圆心、半径为 2 的圆周，则平均值 ∮_C u ds／(2π·2)（即 u 在圆周上的平均值）等于多少？ A. 4 B. 0 C. 2 D. −4

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3. 设函数 u(x,y)=x²−y²−2xy 在单连通区域 D 上调和，则 u 的一个调和共轭函数 v(x,y) 为（　） A. x²−y²+2xy　B. 2xy−x²+y²　C. −x²+y²+2xy　D. −x²+y²−2xy

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4. 设 u(x,y)=x³−3xy²+2x 在单连通区域 D 内调和，则 u 的一个调和共轭函数 v(x,y) 为（　） A. 3x²y−y³+2y B. 3x²y+y³−2y C. −3x²y−y³−2y D. 3x²y−y³−2y

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5. 设 u(x,y)=x²−y²+xy 在单连通区域 D 上调和，则 u 的一个调和共轭函数 v(x,y) 为（　） A. 2xy+y²/2−x²/2 B. 2xy−y²/2+x²/2 C. x²−y²−2xy D. 2xy+y²/2+x²/2

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6. 设二元实函数 u(x,y)，则下列函数中满足拉普拉斯方程 ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0（即 u 为调和函数）的是（　） A. u = x² − y²　B. u = x² + y²　C. u = x³ − y³　D. u = |z|²（z = x + iy）

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7. 设 u(x,y)=x²−y²+2x 在单连通区域 D 上调和，则 u 的一个调和共轭函数 v(x,y) 为（　） A. 2xy+2y　B. 2xy−2y　C. x²−y²+2y　D. 2xy+2x

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8. 设 u(x,y)=x²−y²，D={x²+y²≤4}。已知非常数调和函数在有界闭区域上的最大值与最小值都只能在边界上取得。则 u 在 D 上的最小值为 A. −4　B. −2　C. 0　D. 4

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9. 设函数 u(x,y)=x²−y² 在闭圆盘 D={(x,y):x²+y²≤4} 上连续，在 D 内调和。记 M 为 u 在 D 的边界圆周上的最大值，m 为 u 在边界圆周上的最小值。下列关于 u 在 D 上最大值与最小值的结论正确的是： A. u 在 D 上的最大值为 4，最小值为 −4 B. u 在 D 上的最大值为 4，最小值为 0 C. u 在 D 内部某点取到最大值 4 D. u 在 D 上的最大值与最小值都只能在内部取到

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