大学复变函数论（大学通用）上册《共形映射》练习题

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本单元考点（4 个）

共形映射的概念与保角性分式线性映射的构造与性质幂函数与指数函数所构成的映射简单区域的共形映射

本单元练习题（9 题）

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1. 将上半平面 Im z > 0 共形映射为单位圆盘 |w| < 1，且把点 z = i 映射为 w = 0 的分式线性映射是（　） A. w = (z − i)/(z + i) B. w = (z + i)/(z − i) C. w = (i − z)/(2 + iz) D. w = (z² + 1)/(z² − 1)

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2. 设映射 w=f(z)=z²，考察它把从原点出发的两条射线 C₁: arg z = 0 与 C₂: arg z = π/2（取 |z|>0 部分）映成的两条像曲线。下列说法正确的是： A. f 在 z=0 处不共形，两像曲线在 w=0 处的夹角为 π，说明不保角 B. f 是解析函数，故处处共形，两像曲线夹角仍为 π/2 C. 两像曲线在 w=0 处夹角为 2π，即重合为一条射线 D. f 在 z=0 处不可导，故谈不上保角性

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3. 设分式线性映射 w = (z−i)/(z+i)，它将上半平面 Im(z) > 0 共形映射为单位圆盘 |w| < 1。在该映射下，实轴上点 z = 0 的像点位于单位圆周上，其辐角（取主值 −π < arg w ≤ π）为多少？ A. π B. π/2 C. −π/2 D. 0

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4. 设分式线性映射 w = (z - i)/(z + i)，则单位圆盘 |z| < 1 在该映射下的像区域是（　） A. 右半平面 Re w > 0　B. 下半平面 Im w < 0　C. 左半平面 Re w < 0　D. 上半平面 Im w > 0

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5. 将带形区域 D = {z : 0 < Im z < π} 共形映射为上半平面 Im w > 0 的初等函数映射是（　） A. w = e^z B. w = e^(iz) C. w = ln z D. w = z²

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6. 设映射 w = e^z，则带形区域 D = {z = x+iy : 0 < y < π/2, x∈R} 在该映射下的像为（　） A. 上半平面 Im w > 0 B. 右半平面 Re w > 0 C. 第一象限 {w : Re w > 0 且 Im w > 0} D. 单位圆内部 |w| < 1

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7. 设角形区域 D = {z : 0 < arg z < π/4}。将 D 共形映射为上半平面 Im w > 0 的初等函数映射是（　） A. w = z^(1/4) B. w = z^4 C. w = z^2 D. w = e^z

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8. 设映射 w = z²，则角形区域 D = {z : 0 < arg z < π/4} 在该映射下的像为（　） A. {w : 0 < arg w < π/2}　B. {w : 0 < arg w < π/4}　C. {w : π/4 < arg w < π/2}　D. {w : -π/4 < arg w < 0}

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9. 设分式线性映射 w = (2z + i)/(iz + 2)，则点 z = -i 在该映射下的像是（　） A. -i/3　B. i/3　C. -3i　D. 3i

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