大学复变函数论（大学通用）上册《解析函数》练习题

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本单元考点（4 个）

复变函数导数的定义柯西-黎曼方程可导与解析的关系解析函数的实部与虚部关系

本单元练习题（9 题）

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1. 设函数 f(z)=u+iv 在整个复平面上解析，已知其实部为 u(x,y)=x²−y²，则虚部 v(x,y) 等于 A. 2xy+C　B. xy+C　C. −2xy+C　D. y²−x²+C（其中 C 为任意实常数）

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2. 设 f(z)=z·Re(z)，其中 Re(z) 表示 z 的实部。利用复变函数导数的定义并结合柯西–黎曼方程判断 f(z) 的可导性，则下列结论正确的是（　） A. f(z) 仅在 z=0 处可导，且 f′(0)=0 B. f(z) 仅在 z=0 处可导，且 f′(0)=1 C. f(z) 在直线 y=0 上处处可导，且导数为 2x D. f(z) 在复平面上处处不可导

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3. 设复变函数 f(z)=x²+iy²，其中 z=x+iy（x、y 为实数），f(0)=0。依据导数定义 f'(0)=lim(z→0) [f(z)−f(0)]/z，则 f'(0) 的值为（　） A. 0　B. 1　C. i　D. 极限不存在，故 f'(0) 不存在

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4. 设函数 f(z) 在区域 D 内每一点都可导，则下列结论正确的是：A. f(z) 在 D 内解析　B. f(z) 仅在 D 的边界点解析　C. f(z) 在 D 内仅个别点解析　D. 无法判断 f(z) 是否解析 A. f(z) 在 D 内解析　B. f(z) 仅在 D 的边界点解析　C. f(z) 在 D 内仅个别点解析　D. 无法判断 f(z) 是否解析

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5. 设函数 f(z)=z·Re(z)。依据导数定义 f'(0)=lim(z→0) [f(z)-f(0)]/z，则 f'(0) 的值为（　） A. 0　B. 1　C. 不存在　D. 2

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6. 关于复变函数 f(z) 在点 z₀ 处导数的定义，下列说法正确的是：f(z) 在 z₀ 处可导，是指极限 lim(Δz→0) [f(z₀+Δz)−f(z₀)]/Δz 存在，其中 Δz 是复增量。据此判断下列选项。 A. 只要沿实轴方向与沿虚轴方向得到的增量之比的极限都存在且相等，f(z) 在 z₀ 处就可导 B. 该极限要求 Δz 以任意方式趋于 0 时极限都存在且为同一个值 C. 该极限只要求 Δz 沿某一特定路径趋于 0 时存在即可 D. 只要 f(z) 在 z₀ 处连续，则该极限必定存在

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7. 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域 D 内解析，则 u 与 v 在 D 内必满足（　） A. u_x=v_y 且 u_y=−v_x B. u_x=v_x 且 u_y=v_y C. u_x=−v_y 且 u_y=v_x D. u_x=v_y 且 u_y=v_x

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8. 设 f(z) 在点 z₀ 的某邻域内处处可导，下列结论正确的是：A. f(z) 在 z₀ 处解析　B. f(z) 仅在 z₀ 处解析而在邻域内其他点不解析　C. f(z) 在 z₀ 处不一定解析　D. f(z) 在 z₀ 处可导但当 z≠z₀ 时必不可导

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9. 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在整个复平面上解析，已知其虚部为 v(x,y)=x²−y²+2y，则实部 u(x,y) 等于 A. −2xy+2x+C　B. 2xy−2x+C　C. −2xy+2y+C　D. x²−y²+2x+C

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