大学复变函数论（大学通用）上册《孤立奇点与留数》练习题

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本单元考点（5 个）

孤立奇点的分类可去奇点的判定极点及其阶数的确定本质奇点的性质留数的定义与计算

本单元练习题（9 题）

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1. 函数 f(z) = (e^z − 1 − z)/z² 在 z = 0 处的孤立奇点类型是（　） A. 可去奇点　B. 一阶极点　C. 二阶极点　D. 本性奇点

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2. 考察函数 f(z) = (z − sin z)/z³（规定 z ≠ 0）在孤立奇点 z = 0 处的奇点类型，则 z = 0 是 f(z) 的（　） A. 可去奇点　B. 一阶极点　C. 三阶极点　D. 本性奇点

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3. 设 z=0 为函数 f(z) 的孤立奇点，且在 0<|z|<r 内 f(z) 的洛朗展开含无穷多个负幂项。下列结论正确的是（　） A. 对任意给定的复数 w，除至多一个例外值外，方程 f(z)=w 在 z=0 的任意小去心邻域内都有解 B. f(z) 在 0<|z|<r 内必有界 C. lim(z→0) f(z) 必存在且为有限值 D. f(z) 在 z=0 的任一去心邻域内至多取到有限多个值

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4. 函数 f(z) = 1/(z−1)² 在 z = 1 处的留数 Res[f, 1] 为（　） A. 1 B. 0 C. −1 D. 2

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5. 设 z=0 为函数 f(z) 的孤立奇点，且 f(z) 在 z=0 的去心邻域 0<|z|<r 内解析有界。下列关于 z=0 的奇点类型的判断正确的是（　） A. z=0 是 f(z) 的本质奇点 B. z=0 是 f(z) 的可去奇点 C. z=0 是 f(z) 的极点 D. z=0 的类型无法确定

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6. 设函数 f(z) = (e^z − 1)/z²，则 z = 0 是 f(z) 的孤立奇点，且留数 Res[f, 0] 为（　） A. 1 B. 0 C. 1/2 D. −1

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7. 考察函数 f(z) = sin z / z（规定 z≠0）在孤立奇点 z = 0 处的奇点类型，则 z = 0 是 f(z) 的（　） A. 可去奇点　B. 一级极点　C. 二级极点　D. 本性奇点

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8. 函数 f(z)=(1−cos2z)/z² 在 z=0 处的孤立奇点是哪种类型？若是可去奇点，补充定义 f(0) 为何值后 f 在 z=0 解析？ A. 极点，补充定义 f(0)=4 B. 可去奇点，补充定义 f(0)=2 C. 本性奇点，无法补充定义 D. 可去奇点，补充定义 f(0)=1

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9. 函数 f(z) = (1 − cos z)/z⁵ 在 z = 0 处的孤立奇点是几阶极点？ A. 2阶　B. 3阶　C. 4阶　D. 5阶

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