大学计量经济学上册《自相关性》练习题

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本单元考点（6 个）

自相关的概念与成因自相关对OLS估计的影响DW检验的适用条件与方法布罗施-戈弗雷（BG）检验广义差分法与一阶差分法纽维-韦斯特标准误

本单元练习题（27 题）

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1. 在线性回归模型 Y_t = β₀ + β₁X_t + ε_t 中，随机误差项存在一阶自相关：ε_t = 0.6ε_{t-1} + u_t，其中 u_t 为白噪声且 Var(u_t) = 4。此时 OLS 估计量依然保持无偏性，但不再具有最小方差性（即不满足有效性）。由一阶自相关可推得 Var(ε_t) = σ_u²/(1-ρ²)，则误差项的真实方差 Var(ε_t) = ____；若仍按同方差假设用 σ_u² = 4 估计参数方差的分母，所得的参数方差估计会____（填“高估”或“低估”）真实参数方差，进而导致 t 检验的可靠性____（填“上升”或“下降”）。

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2. 在线性回归模型 yₜ=β₀+β₁xₜ+uₜ 中，xₜ 为外生变量且与误差序列独立，uₜ 服从 AR(1)：uₜ=0.5uₜ₋₁+εₜ。某学生用 OLS 估计得到 β₁ 的普通标准误为 0.2（该标准误忽略了误差自相关），而其同窗采用纽维-韦斯特（Newey-West）HAC 标准误进行修正。已知此时自相关使估计量方差膨胀因子为 (1+ρ)/(1−ρ)，则 β₁ 的纽维-韦斯特标准误约为____（保留三位小数）。

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3. 在时间序列回归（样本容量 T=64）中，为修正误差项自相关与异方差对标准误的影响，研究者采用纽维-韦斯特（Newey-West）标准误，其滞后截断参数取 q=floor(4×(T/100)^(2/9))（floor 表示向下取整）。则该样本下应取的滞后阶数 q=____，其含义是在构造方差估计时使用的最高滞后阶数。

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4. 在时间序列回归中，若误差项存在自相关，普通最小二乘法的常规标准误不再可靠。下列关于纽维-韦斯特（Newey-West）标准误的说法正确的是（　　） A. 它通过调整系数估计值来消除自相关 B. 它在估计系数方差时对自相关和异方差进行稳健性修正，而系数估计值本身不变 C. 它要求误差项严格不存在任何自相关才有效 D. 它只能处理异方差而不能处理自相关

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5. 某研究者对回归模型的残差进行布罗施-戈弗雷（BG）检验以考察自相关性。设辅助回归中被解释变量为残差 e_t，解释变量含原回归的全部解释变量以及滞后 3 期的残差项，样本容量 n=60，辅助回归的可决系数 R²=0.15。已知 LM 统计量为 n·R²，在 5% 显著性水平下卡方临界值 χ²(3)=7.81。据此，LM 统计量的值为多少，检验结论是什么？A. LM=9.00，大于7.81，拒绝原假设，认为存在自相关　B. LM=6.25，小于7.81，接受原假设，认为不存在自相关　C. LM=9.00，大于7.81，接受原假设，认为不存在自相关　D. LM=4.50，小于7.81，拒绝原假设，认为存在自相关

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6. 设回归模型为 Yₜ=βXₜ+εₜ，样本解释变量为 (X₁,X₂,X₃)=(1,0,−1)，且 E(ε|X)=0、Cov(ε|X)=σ²R，其中 R 的对角元素为 1，非对角元素满足 R₁₂=R₂₃=0.6、R₁₃=0.36。计算 OLS 斜率估计量的真实方差，并求其与假定误差不相关时方差 σ²/(∑Xₜ²) 的比值。

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7. 在线性回归模型 y=Xβ+ε 中，设 X 为非随机且满列秩矩阵，E(ε|X)=0，Var(ε|X)=σ²Ω，其中 Ω 为正定矩阵且 Ω≠I。与误差球形的情形相比，以下关于 OLS 的判断填空：OLS 估计量仍然____，但一般不再是____，且按球形误差公式计算的常规标准误通常____。

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8. 按时间顺序观测的模型为 yₜ=β₀+β₁xₜ+uₜ，xₜ为固定的非随机变量，模型不含滞后因变量；误差可能存在一阶自相关。OLS残差计算得DW统计量 d=1.18，在给定显著性水平下，下界 dL=1.10、上界 dU=1.32。下列判断正确的是（　） A. 模型满足DW检验的适用条件；因 dL<d<dU，检验结论不确定 B. 模型满足DW检验的适用条件；因 d<dU，拒绝“无正自相关”假设 C. 模型不满足DW检验的适用条件；因为解释变量必须是随机变量 D. 模型不满足DW检验的适用条件；因为DW检验要求误差不存在自相关

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9. 在对某回归模型进行残差自相关的布罗施-戈弗雷（BG）检验时，若原假设 H₀ 为「误差项不存在自相关」，辅助回归中含滞后残差项 p 期，样本容量 n=50，所得 LM 统计量为 (n-p)×R² = 8.5，取显著性水平 α=0.05，卡方分布 p 个自由度的临界值为 5.99。则正确的结论是（　） A. 拒绝 H₀，认为存在自相关 B. 接受 H₀，认为不存在自相关 C. 需改用 DW 检验后才能判断 D. 统计量 8.5 大于临界值 5.99，故检验无效

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10. 在线性回归模型中，若解释变量满足外生性而扰动项存在自相关，则 OLS 估计量通常仍然无偏，但其效率与常规推断会受到影响：它___。

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11. 设回归模型的扰动项满足 uₜ=vₜ+vₜ₋₁，其中 vₜ 相互独立、均值为 0、方差为 σ²。计算相邻扰动项 uₜ 与 uₜ₋₁ 的相关系数，并指出它们相关的直接原因。

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12. 在线性回归模型 Y_t = β₀ + β₁X_t + u_t 中，随机扰动项存在一阶自相关 u_t = ρu_(t−1) + v_t，已知 ρ = 0.5。若采用广义差分法消除自相关，应对原模型两端同乘以系数 ρ 并与滞后一期模型相减，得到的新模型中不含哪一项？ A. 常数项 β₀　B. 截距项 β₀(1−ρ)　C. 解释变量 X_(t−1) 及其系数 β₁ρ　D. 随机扰动项 v_t

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13. 对模型各期观测值实施广义差分变换后，若变换结果恰好等于相邻两期观测值之差，则一阶自相关系数应取何值？

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14. 某模型的截距为 25。采用广义差分变换后，变换方程中的截距为 10，且变换形式为 Y_t−ρY_(t−1)。已知 Y_t=38、Y_(t−1)=23。求 ρ、广义差分后的因变量值，以及一阶差分后的因变量值。

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15. 在一元线性回归模型 y_t = β₀ + β₁x_t + u_t（t=1,…,20）中，用普通最小二乘法估计后得到残差 e_t，经计算 ∑(e_t − e_(t−1))² = 4.32，残差平方和 ∑e_t² = 6.00。模型含一个解释变量且不含滞后被解释变量项，样本容量 n = 20。请：（1）计算 Durbin–Watson 统计量 DW 的值；（2）在显著性水平 0.05 下，查 DW 检验临界表得 d_L = 1.20，d_U = 1.41，判断该模型随机误差项是否存在一阶自相关，并说明判断依据。

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16. 在线性回归模型 Yₜ=β₀+β₁Xₜ+uₜ 中，若扰动项 uₜ 与其滞后项 uₜ₋₁ 之间存在相关关系，则称扰动项存在____。产生自相关的常见原因包括经济变量的惯性、模型设定遗漏重要解释变量、数据的____（如对数据进行内插或平滑处理）等。当这种相关主要发生在相邻时期之间时，称为一阶自相关，可写作 uₜ=ρuₜ₋₁+εₜ，其中 |ρ|<1，ρ 称为____。

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17. 在对某时间序列回归模型进行 Durbin-Watson 检验前，需确认检验的适用条件。下列关于 DW 检验适用条件的说法中，正确的是（　） A. DW 检验适用于任何样本容量，且解释变量中可以包含被解释变量的滞后项 B. DW 检验要求模型包含常数项，解释变量为非随机，且样本容量一般不宜过小，同时解释变量中不能含有被解释变量的滞后项 C. DW 检验适用于随机误差项服从一阶移动平均 MA(1) 过程的模型 D. DW 检验不要求模型包含常数项，且对异方差情形同样稳健有效 A. 　B. 　C. 　D.

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18. 在时间序列回归模型中使用 DW 检验判断自相关性之前，需先确认其适用条件。DW 检验的一个必要适用条件是：解释变量中不含____（即解释变量为非随机变量），且随机扰动项服从一阶线性自回归形式，样本容量一般不少于 15；此外，模型中____截距项（填"包含"或"不包含"）。

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19. 某季度数据回归的辅助回归包含原模型全部解释变量及残差滞后项 eₜ₋₁、eₜ₋₂，样本量 n=80，辅助回归的 R²=0.09。进行布罗施-戈弗雷（BG）检验，显著性水平为5%；已知 χ²(2) 的临界值为5.991。根据 LM=nR²，检验统计量为____，因此应作出的检验结论是____。

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20. 某研究以含截距的回归模型估计总体均值，样本量 T=4，OLS 残差依时间顺序为 (1，−1，−1，1)。采用纽维-韦斯特标准误，使用 Bartlett 权重，滞后截断阶数 q=1，并定义样本自协方差为 γ̂ₗ=(1/T)∑ₜ₌ₗ₊₁ᵀ êₜêₜ₋ₗ。按方差估计式 Var̂(ȳ)=T⁻¹[γ̂₀+2∑ₗ₌₁ᵠ(1−l/(q+1))γ̂ₗ]，计算该估计量的纽维-韦斯特标准误，结果保留四位小数。

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21. 对某地区 2001—2020 年的消费模型 y_t = β₀ + β₁x_t + u_t（样本容量 n=20，解释变量个数 k=1，解释变量为非随机的滞后变量之外的一般变量）用 OLS 估计后，计算得 DW 统计量 d = 1.10。已知在 5% 显著性水平下该模型的临界值为 d_L = 1.20，d_U = 1.41。由于 d = 1.10 ____ d_L = 1.20，故可判定随机误差项存在____（填“正自相关”“负自相关”或“无自相关”）。

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22. 在时间序列回归中，当误差项存在自相关时，使用纽维-韦斯特（Newey-West）标准误的主要作用是（　　） A. 消除误差项的自相关，使估计量满足无偏性 B. 对系数估计值本身进行修正，使其更接近真实参数 C. 在误差存在自相关和异方差时，给出一致的系数标准误估计，保证统计推断可靠 D. 提高系数估计量的效率，使其方差达到最小

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23. 考虑含截距模型 Yₜ=12+β₁Xₜ+uₜ，扰动项的一阶自相关系数为 ρ=0.75。对模型分别实施广义差分变换 Yₜ−ρYₜ₋₁ 和一阶差分变换 Yₜ−Yₜ₋₁，按此顺序，变换后方程的截距项分别是多少？ A. 3，0　B. 12，0　C. 3，12　D. 0，3

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24. 设某宏观经济时间序列回归模型的扰动项 uₜ 满足 uₜ = ρ uₜ₋₁ + εₜ，其中 |ρ| < 1，εₜ 是均值为 0、方差为 σ² 的独立同分布随机误差。求 uₜ 与 uₜ₋₁ 的相关系数；当 ρ ≠ 0 时，说明扰动项存在何种现象，并指出产生该现象的一种常见原因。

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25. 某研究者用n=40的时间序列数据估计模型：y_t = β₀ + β₁ y_{t-1} + β₂ x_t + u_t，其中x_t为外生解释变量。OLS估计后得到残差e_t。已知∑_{t=2}^{40} (e_t − e_{t-1})² = 72，∑_{t=1}^{40} e_t² = 60。请计算DW统计量的值，并判断在5%显著性水平下能否直接用DW检验判断随机误差项是否存在一阶自相关？请说明理由，并指出若不能，应采用何种检验方法。

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26. 某研究以样本量 n=100 的回归模型检验误差项是否存在至多 4 阶自相关。BG 辅助回归包含原模型全部解释变量及 eₜ₋₁、eₜ₋₂、eₜ₋₃、eₜ₋₄，所得 R²=0.12。采用渐近 LM 检验，显著性水平为 5%，已知 χ²₄ 的临界值为 9.488。应作何判断？ A. LM=12，拒绝原假设，认为误差项存在自相关　B. LM=12，不拒绝原假设，认为误差项不存在自相关　C. LM=0.12，拒绝原假设，认为误差项存在自相关　D. LM=4，拒绝原假设，认为误差项存在自相关

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27. 某月度回归模型进行二阶布罗施-戈弗雷（BG）检验。辅助回归包含原模型的全部解释变量及残差滞后项 eₜ₋₁、eₜ₋₂，共有 84 个有效观测，R²=0.083。采用 LM 检验，显著性水平为 5%，给定 χ²(2) 的临界值为 5.991。计算 LM 统计量并判断是否拒绝「误差项不存在一阶至二阶自相关」的原假设。

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