大学计量经济学上册《多重共线性》练习题

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本单元考点（5 个）

多重共线性的概念与后果方差膨胀因子（VIF）检验简单相关系数矩阵判别法辅助回归判别法逐步回归与岭回归处理方法

本单元练习题（27 题）

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1. 在某多元线性回归模型中，解释变量为 x₁、x₂、x₃。为诊断多重共线性，采用辅助回归判别法：将 x₂ 对其余解释变量 x₁ 和 x₃ 作辅助回归，得到可决系数 R² = 0.75。据此计算的方差膨胀因子 VIF 为（　　）。 A. 0.25 B. 1.33 C. 4 D. 16

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2. 在检验解释变量 x₂ 的多重共线性时，将 x₂ 对其余解释变量作辅助回归，得到决定系数 R₂²=0.75。计算 x₂ 的方差膨胀因子（VIF）。

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3. 某模型按逐步回归筛选标准化解释变量：显著性门槛为偏F统计量严格大于4。初始阶段，x₁、x₂、x₃的偏F值依次为12、11、2；先纳入x₁后，x₂、x₃的偏F值依次为1、8；纳入x₃后，x₂的偏F值为0.5。对筛选出的变量再作岭回归，采用估计式β̂(k)=(X′X+kI)⁻¹X′y，且k=1；筛选变量对应的X′X为[[10,9],[9,10]]，X′y为[5,4]ᵀ，矩阵行列顺序为x₁、x₃。最终入选变量及岭回归系数向量β̂(1)为____。

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4. 某研究团队用截面数据估计消费函数 C = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + u，其中 X₁ 为家庭可支配收入，X₂ 为家庭财富存量。辅助回归得到 R²(X₂ 对其余解释变量回归) = 0.96。（1）计算解释变量 X₂ 的方差膨胀因子 VIF₂；（2）判断该模型是否存在严重多重共线性（经验法则：VIF > 10 视为严重），并说明这种情形下 OLS 估计量的主要后果：系数估计量的方差将被放大到何种程度、参数估计是否仍然无偏且一致。

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5. 在标准化数据下，二元线性回归模型的自变量相关矩阵 R = [[1, 0.8], [0.8, 1]]，因变量与两个自变量的样本相关系数向量为 (0.6, 0.6)。采用岭回归处理多重共线性，岭回归估计公式为 β₁(λ) = (R + λI)^(-1) r，其中 r = (0.6, 0.6)。若已知岭回归估计结果满足 β₁(λ) = 0.3，则岭参数 λ = ___。

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6. 某地区商品房需求模型包含三个解释变量 X₁（人均可支配收入）、X₂（常住人口）、X₃（房贷利率），基于 40 组月度数据算得解释变量两两简单相关系数为 r₁₂=0.95，r₁₃=-0.24，r₂₃=-0.19。试用简单相关系数矩阵判别法判断该模型解释变量之间是否存在严重多重共线性，并说明判断依据。

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7. 某课题组研究企业研发投入的影响因素，设定模型包含三个解释变量：X₁（企业规模）、X₂（营业收入）、X₃（行业景气指数）。基于 35 组截面数据，计算得到解释变量的两两简单相关系数分别为：r₁₂=0.93，r₁₃=0.31，r₂₃=0.28。请依据简单相关系数矩阵判别法，判断模型是否存在严重的多重共线性；若存在，指出由哪两个变量引起，并简要说明判断依据。

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8. 在某多元线性回归模型中，解释变量为 x₁、x₂、x₃，样本容量 n=25。为诊断多重共线性，采用辅助回归判别法：将 x₃ 对其余解释变量 x₁、x₂ 作含截距的辅助回归，得可决系数 R²=0.8。该辅助回归的 F 统计量为 F=(R²/2)/[(1−R²)/(n−3)]=____（结果保留整数）；在 5% 显著性水平下 F 检验判定 x₃ 与其余解释变量____（填“存在”或“不存在”）严重多重共线性。

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9. 某回归模型中两个解释变量满足严格的线性关系。下列哪项最准确地概括了这一情形及其直接后果？ A. 存在完全多重共线性，相关回归系数不能被唯一估计　B. 存在完全多重共线性，必然导致误差项与解释变量相关　C. 存在完全多重共线性，但相关回归系数仍可被唯一估计　D. 存在完全多重共线性，必然使回归模型无法拟合任何样本

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10. 关于多重共线性的概念与后果，下列说法正确的是哪一项？ A. 指因变量与解释变量之间存在相关关系，必然导致回归系数有偏　B. 指解释变量之间完全独立，会使回归系数无法估计　C. 指解释变量之间存在较强线性关系，可能使回归系数估计的方差增大、精度下降　D. 指误差项之间存在相关关系，必然使回归系数估计值为零

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11. 某回归模型的解释变量简单相关系数矩阵为：R = [[1, 0.97, 0.18], [0.97, 1, 0.21], [0.18, 0.21, 1]]。依据简单相关系数矩阵判别法，最应关注的多重共线性变量组合是____。

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12. 在检验解释变量 X₂ 是否与其余解释变量存在严重线性相关时，将 X₂ 对其余解释变量作辅助回归。已知该回归的方差膨胀因子 VIF₂=8，且 VIF₂=1/(1−R₂²)，求辅助回归的判定系数 R₂²。

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13. 在检验解释变量 x₃ 的多重共线性时，将 x₃ 对模型中其余解释变量作辅助回归，得到决定系数 R₃²=0.9。则 x₃ 的方差膨胀因子 VIF 等于多少？ A. 10　B. 9　C. 0.1　D. 1.9

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14. 某回归模型的两个解释变量高度相关但不完全线性相关。已知误差项方差为4，且 (XᵀX)⁻¹ 的第1个对角元素为9。依据 Var(β̂) = σ²(XᵀX)⁻¹，计算 β̂₁ 的标准误，并指出该情形对系数估计精度的影响。

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15. 某多元线性回归模型含被解释变量 y 与解释变量 x₁、x₂、x₃，样本容量 n=30。为诊断多重共线性，采用辅助回归判别法：将 x₂ 对其余解释变量 x₁、x₃ 作辅助回归，得可决系数 R²=0.68。设该辅助回归的 F 统计量为 F=[R²/(k−1)]/[(1−R²)/(n−k)]，其中 k 为辅助回归中待估参数个数（含截距项，即 k=3），并在 5% 显著性水平下临界值 F₀.₀₅(2,27)≈3.35。要求：(1) 计算方差膨胀因子 VIF₂=1/(1−R²)；(2) 计算 F 统计量（保留两位小数）；(3) 依据 VIF<10 的常用判据与 F 检验结果，判断 x₂ 与其余解释变量之间的多重共线性是否严重，并说明理由。

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16. 在某多元线性回归模型的诊断中，将解释变量 x₃ 对其余解释变量 x₁、x₂ 作辅助回归（含截距项），样本容量 n=30。已知该辅助回归的可决系数所对应的 F 统计量为 54，则由辅助回归判别法算得的方差膨胀因子 VIF₃ 为多少？ A. 4　B. 5　C. 6　D. 10

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17. 某解释变量的辅助回归结果对应的方差膨胀因子为 2.5。按 VIF 定义，该辅助回归的决定系数 Rᵢ² 是多少？ A. 0.40　B. 0.60　C. 0.75　D. 1.50

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18. 在多元线性回归模型中，为诊断解释变量 x₄ 是否存在多重共线性，将其对模型中其余解释变量作辅助回归，得到决定系数 R₄²=0.96。根据方差膨胀因子公式 VIF=1/(1-R₄²)，则 x₄ 的方差膨胀因子 VIF 等于 ____。

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19. 在检验某多元线性回归模型中解释变量 x₄ 是否存在多重共线性时，将 x₄ 对模型中其余解释变量作辅助回归，得到可决系数 R₄²=0.8。依据方差膨胀因子公式 VIF_j = 1/(1-R_j²)，x₄ 的方差膨胀因子 VIF 等于____。

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20. 在线性回归模型 y = Xβ + ε 中，采用岭回归且岭参数 k > 0。岭估计量 β̂(k) 的标准表达式为____。

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21. 某回归模型中，解释变量的简单相关系数矩阵为 R = [[1, 0.12, 0.86], [0.12, 1, 0.09], [0.86, 0.09, 1]]。依据简单相关系数矩阵判别法，哪一判断最恰当？ A. X₁与X₃的简单相关性较强，提示二者可能存在多重共线性 B. X₁与X₂的简单相关性较强，提示二者可能存在多重共线性 C. X₂与X₃的简单相关性较强，提示二者可能存在多重共线性 D. 仅凭该矩阵可以断定模型不存在多重共线性

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22. 在某多元线性回归模型 Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + u 中，对解释变量 X₂ 作辅助回归 X₂ 于 X₁ 得到判定系数 R² = 0.96，已知 σ² = 9，且 ∑(x₂ᵢ−x̄₂)² = 100。（1）计算方差膨胀因子 VIF(β̂₂)；（2）计算 Var(β̂₂)；（3）若 X₁ 与 X₂ 不相关（即 R² = 0），Var(β̂₂) 又为多少？由此说明多重共线性对参数估计精度的影响（方差膨胀为原来的几倍）。

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23. 在某元线性回归模型中，为诊断多重共线性，分别将解释变量 x₂、x₃、x₄ 对模型中其余解释变量作辅助回归，得到决定系数分别为 R₂²=0.60、R₃²=0.75、R₄²=0.80。依据方差膨胀因子 VIFᵢ=1/(1−Rᵢ²)，多重共线性最严重的解释变量是哪一个？其 VIF 值为多少？ A. x₂，VIF=2.5　B. x₃，VIF=4　C. x₄，VIF=5　D. x₃，VIF=0.25

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24. 在经典线性回归模型中，多重共线性是指解释变量之间存在较强的线性相关；在不存在完全共线性时，普通最小二乘估计量仍无偏，但其方差通常____。

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25. 在多元线性回归中，若解释变量 X₂ 对其余解释变量作辅助回归所得判定系数 R²=0.75，则 X₂ 的方差膨胀因子 VIF=____。据此可知，此时该系数估计方差是完全共线性不存在（R²=0）时的____倍（填数字）。

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26. 某研究者采用前向逐步回归筛选解释变量，进入门槛为偏F统计量大于4。初始时 x₁、x₂、x₃ 的偏F值分别为9、7、2；纳入 x₁ 后，x₂、x₃ 的偏F值分别为3、1。请确定最终保留的变量。随后对保留变量采用岭回归，定义估计量为使 RSS+kβ₁² 最小的 β₁，已知该变量的 x₁′x₁=4、x₁′y=8，且 k=1，计算岭估计量。

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27. 某模型含三个解释变量 X₁、X₂、X₃，由样本数据算得两两简单相关系数为：r₁₂=0.35，r₁₃=0.87，r₂₃=-0.11。经验上，若某对解释变量的简单相关系数绝对值大于 0.8，可认为模型存在严重多重共线性。据此判断，最可能引发严重多重共线性的是哪一对变量，且另外两对变量的相关程度如何？A. X₁ 与 X₂，另两对高度相关　B. X₁ 与 X₃，另两对相关程度均较低　C. X₂ 与 X₃，另两对相关程度均较低　D. 三对变量相关程度均较高，均会引发严重多重共线性

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