大学计量经济学上册《联立方程模型》练习题

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本单元考点（6 个）

内生变量、外生变量与前定变量结构式模型与简化式模型识别阶条件与秩条件间接最小二乘法（ILS）二阶段最小二乘法（2SLS）三阶段最小二乘法（3SLS）

本单元练习题（27 题）

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1. 考虑结构方程 y=α+βx+u，x 为内生变量，工具变量第一阶段得到的拟合值依次为 −2、−1、1、2；对应的 y 观测值依次为 −5、−1、5、7。第二阶段以常数项和第一阶段拟合值为解释变量回归 y，β 的二阶段最小二乘估计值为多少？ A. 2　B. 3　C. 4　D. 5

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2. 某联立方程模型的结构方程为 yᵢ=α+βxᵢ+uᵢ，其中 xᵢ 为内生变量。第一阶段回归得到的拟合值 x̂ᵢ依次为 −1、0、1、2，对应的 yᵢ观测值依次为 −1、2、5、8。请用二阶段最小二乘法估计结构方程的 α 和 β。

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3. 某宏观经济联立方程模型如下：消费函数 C_t = α₀ + α₁Y_t + α₂C_(t-1) + u₁；投资函数 I_t = β₀ + β₁Y_t + β₂G_t + u₂；恒等式 Y_t = C_t + I_t。其中 t 表示时期，u₁、u₂ 为随机扰动项。请指出该模型中内生变量、前定变量和外生变量的个数：内生变量个数为____，前定变量个数为____，外生变量个数为____。

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4. 某联立方程模型已完成3SLS前两阶段，按两个方程的残差估得协方差矩阵为 Ω̂＝[[9, 3], [3, 4]]（单位为百元²）。第三阶段采用 Ω̂ 的逆矩阵作为方程间权重。换算为以元为计量单位后，Ω̂⁻¹ 的第（1,2）个元素是多少元⁻²？

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5. 某期经济系统由以下结构关系描述：Cₜ=α₀+α₁Yₜ+α₂Tₜ+α₃Yₜ₋₁+u₁ₜ，Iₜ=β₀+β₁Yₜ+β₂rₜ+u₂ₜ，Yₜ=Cₜ+Iₜ+Gₜ。其中 Cₜ、Iₜ、Yₜ由系统当期共同决定；Tₜ、Gₜ、rₜ在当期系统外给定；Yₜ₋₁为滞后一期的内生变量。按“前定变量包括当期外生变量和滞后内生变量”的口径分类。只统计方程右端的解释变量，不计常数项与扰动项。列出内生变量、外生变量、前定变量，并给出三条方程右端解释变量的不同变量总数。

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6. 考虑一个恰好识别的联立方程模型：需求方程 Q = α + βP + γY + u，供给方程 Q = δ + θP + v，其中 Q 和 P 为内生变量，Y 为外生变量。对简化式进行OLS估计得到：P = 5 + 2Y，Q = 20 + 6Y。利用间接最小二乘法（ILS）估计供给方程中的参数 θ，则 θ 的ILS估计值为 ___。

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7. 某联立模型的结构式为 y₁=2y₂+3x+u₁，y₂=¼y₁−x+u₂，其中 x 为外生变量，y₁、y₂为内生变量，u₁、u₂为结构扰动项。将模型改写为简化式 y₁=π₁x+v₁、y₂=π₂x+v₂，哪一项正确？ A. π₁=2，π₂=−½；v₁=2u₁+4u₂，v₂=½u₁+2u₂ B. π₁=3，π₂=−1；v₁=u₁，v₂=u₂ C. π₁=2，π₂=½；v₁=2u₁+4u₂，v₂=½u₁+2u₂ D. π₁=1，π₂=−½；v₁=u₁+2u₂，v₂=½u₁+2u₂

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8. 在某联立方程模型中，方程组含两个内生方程，已对每个方程施加不同的工具变量并完成前两阶段回归，得到各方程的残差，进而估得残差协方差矩阵 Ω̂。已知 Ω̂ 为对角矩阵，两个对角元分别为 8 与 2。若第三阶段改用单位矩阵代替 Ω̂ 进行广义最小二乘变换，则此时 3SLS 退化为对每个方程依次实施的某种单方程估计法，该方法是____；而正常 3SLS 相对于该方法的效率增益来源在于____（填“利用了方程间残差的相关性”或“利用了工具变量的个数”）。

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9. 某市场的需求方程为 Q = α + βP + γY + u，供给方程为 Q = δ + θP + λZ + v，其中 Q、P 为内生变量，Y、Z 为外生变量，且 Z 不进入需求方程。约化式估计得到 P 中 Z 的系数为 2，Q 中 Z 的系数为 −6。用间接最小二乘法估计需求方程中的 β，β = ____。

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10. 在联立方程模型中，三阶段最小二乘法（3SLS）的估计步骤中，前两个阶段与某种单方程估计方法完全相同，第三阶段则利用广义最小二乘法对各方程的联合变换形式进行估计。前两个阶段所使用的方法是（　　） A. 普通最小二乘法（OLS） B. 二阶段最小二乘法（2SLS） C. 间接最小二乘法（ILS） D. 工具变量法（IV）

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11. 某联立方程模型的结构方程为 y=α+βx+u，其中 x 为内生变量。采用二阶段最小二乘法（2SLS）估计：第一阶段用工具变量对 x 回归，得到拟合值 x̂ᵢ 依次为 1、2、3、4；对应的 y 观测值依次为 2、4、5、9。第二阶段将 y 对 x̂ 作普通最小二乘回归。请求出 β 和 α 的 2SLS 估计值。

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12. 在联立方程模型中，关于结构式模型与简化式模型的区别，下列说法正确的是： A. 结构式中内生变量只能出现在等式左边　B. 简化式中每个内生变量都表示为外生变量和约化扰动项的函数　C. 简化式保留结构扰动项之间的结构关系　D. 结构式与简化式的区别仅在于变量名称不同

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13. 某市场的需求方程为 Q=α+βP+u，供给方程为 Q=δ+θP+λZ+v，其中 Q、P 为内生变量，Z 仅进入供给方程。对约化式进行估计得到 P=18−2Z+e₁、Q=42+6Z+e₂。用间接最小二乘法估计需求方程中 β 的数值。

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14. 设某联立方程模型的结构式为 y₁ = 3y₂ + 2x + u₁，y₂ = ½y₁ − x + u₂，其中 x 为前定变量，y₁、y₂ 为内生变量，u₁、u₂ 为结构扰动项。将模型化为简化式 y₁ = π₁₁x + v₁，y₂ = π₂₁x + v₂，则 π₁₁ 与 π₂₁ 分别为（　） A. π₁₁ = 2，π₂₁ = 1　B. π₁₁ = 2，π₂₁ = 0　C. π₁₁ = 4，π₂₁ = 0　D. π₁₁ = −2，π₂₁ = −1

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15. 某市场联立方程模型中，需求方程含当期价格 pₜ，供给方程含当期数量 qₜ，且两方程均含扰动项；模型还将 pₜ₋₁（上一期价格）作为解释变量。按变量类型划分，pₜ₋₁属于____。

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16. 某联立方程的结构式为 y₁=0.5y₂+2x+u₁，y₂=0.25y₁+3z+u₂，其中 y₁、y₂为内生变量，x、z为外生变量，u₁、u₂为结构扰动项。将方程组化为简化式后，y₁方程中 z 的系数为____。

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17. 考虑恰好识别的联立方程模型：需求方程 Q = α + βP + γR + u₁，供给方程 Q = δ₀ + δ₁P + u₂，其中 Q、P 为内生变量，R 为外生变量。由观测数据对简化式回归得：P̂ = 3 + 2R，Q̂ = 12 + 5R。试用间接最小二乘法（ILS）求供给方程的结构参数 δ₁ 和 δ₀ 的估计值。

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18. 设某农产品市场联立方程模型为：需求方程 Q = α0 + α1P + α2Y + α3W + u1；供给方程 Q = β0 + β1P + β2T + u2。其中 Q、P 为内生变量，Y（收入）、W（相关商品价格）、T（技术水平）为前定变量，模型共含 5 个变量。依据识别的阶条件（该方程排除的变量个数 K−k 与该方程内生变量个数减一 m−1 比较），下列判断正确的是： A. 需求方程和供给方程均恰好识别 B. 需求方程恰好识别，供给方程过度识别 C. 需求方程过度识别，供给方程恰好识别 D. 需求方程不可识别，供给方程恰好识别

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19. 某系统的结构方程为：aₜ=θ₀+θ₁bₜ+θ₂mₜ+θ₃aₜ₋₁+ε₁ₜ，bₜ=φ₀+φ₁aₜ+φ₂nₜ+ε₂ₜ。其中 aₜ、bₜ由系统内当期关系共同决定；mₜ、nₜ由系统外给定，且与当期扰动项不相关；aₜ₋₁是上一期的内生变量，且与当期扰动项不相关。按“当期内生变量、当期外生变量、滞后内生的前定变量”互斥分类，分别列出各类变量，并给出每类的变量个数。

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20. 在一个联立方程模型中，结构式模型与简化式模型的关系，下列说法正确的是： A. 简化式模型中的内生变量仍以相互解释的形式出现在等式右端 B. 结构式模型中的每个内生变量都只由外生变量和扰动项表示 C. 简化式模型是把每个内生变量都表示为前定变量和随机扰动项的函数 D. 结构式参数与简化式参数之间没有任何数量关系

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21. 某市场模型的结构式为 y₁ = (1/3)y₂ + 2x + u₁，y₂ = (1/2)y₁ + x + u₂，其中 y₁、y₂为内生变量，x为外生变量，u₁、u₂为结构扰动项。将模型写成简化式时，y₁关于x的系数为____。

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22. 考虑结构方程 Q = α + βP + u，其中 P 为内生变量。第一阶段用工具变量对 P 回归，得到 P 的拟合值依次为 1、2、3、4；对应的 Q 观测值依次为 2、5、8、11。试用二阶段最小二乘法（2SLS）求 β 的估计值。

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23. 某结构方程 yᵢ=α+βxᵢ+uᵢ 中 xᵢ 为内生变量。采用二阶段最小二乘法估计：第一阶段用工具变量对 xᵢ 回归，得到四个样本点的拟合值 x̂ᵢ 依次为 1、2、3、4；对应的 yᵢ 观测值依次为 3、7、11、15。第二阶段将 yᵢ 对 x̂ᵢ 作最小二乘回归，则 β 的 2SLS 估计值为（　）。A. 3　B. 4　C. 5　D. 6

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24. 设某宏观经济联立方程模型为：消费方程 C_t = a0 + a1·Y_t + u1t；投资方程 I_t = b0 + b1·Y_t + b2·R_t + u2t；恒等式 Y_t = C_t + I_t。其中 C_t、I_t、Y_t 为内生变量，R_t 为外生变量。则模型中内生变量个数 g = ____，先决变量个数 K = ____；对消费方程而言，该方程未包含而模型中其他方程包含的先决变量个数为 ____，方程右端内生变量个数为 ____，由识别的阶条件（K−k ≥ g−1 中被排除变量个数比较）判断，消费方程被恰____（填：度）识别；若此时系数矩阵的秩条件也满足，则消费方程可被唯一估计，其参数估计宜采用____二阶段最小二乘法（填：适/不适）。

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25. 某需求方程为 yᵢ=α+βxᵢ+uᵢ，xᵢ为内生变量。工具变量第一阶段回归（含截距）得到的拟合值依次为 −3、−1、2、2；对应的 yᵢ 依次为 2、1、5、8。第二阶段用拟合值回归 yᵢ（含截距），2SLS 对 β 的估计值为多少？ A. 1　B. 19/18　C. 3/2　D. 2

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26. 某双方程联立模型已完成3SLS前两阶段。将第三阶段联合广义最小二乘准则整理并略去与参数无关的常数后，得到 Q(β₁,β₂)=5β₁²+2β₁β₂+2β₂²−14β₁−10β₂。按3SLS使 Q 最小，参数估计值 (β̂₁,β̂₂)=____。

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27. 某地区农产品联立方程模型为：需求方程 Dₜ = a₀ + a₁Pₜ + a₂Nₜ + a₃Wₜ + u₁ₜ；供给方程 Sₜ = b₀ + b₁Pₜ + b₂Pₜ₋₁ + u₂ₜ；均衡条件 Dₜ = Sₜ = Qₜ。其中 Pₜ、Qₜ 由模型当期关系共同决定，Nₜ 为该地区人口数，Wₜ 为居民收入水平，u₁ₜ、u₂ₜ 为随机扰动项。请指出模型中的内生变量、外生变量和前定变量（各写出全部变量，不得多写或遗漏），并说明 Pₜ₋₁ 为什么不是内生变量。

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