大学计量经济学上册《异方差性》练习题

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本单元考点（6 个）

异方差性的概念与产生原因异方差对OLS估计的影响怀特检验方法布罗施-帕甘检验方法加权最小二乘估计异方差稳健标准误

本单元练习题（27 题）

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1. 在经典线性回归模型中，若随机扰动项 uᵢ 的方差随解释变量 xᵢ 的取值变化而变化，即 Var(uᵢ)≠Var(uⱼ)（i≠j），则称模型存在异方差性。下列哪种情形最可能产生异方差性？ A. 以家庭收入为解释变量研究家庭消费支出，收入差距较大的样本中支出波动更大 B. 模型中遗漏了与已含解释变量相关的重要解释变量 C. 解释变量之间存在高度线性相关关系 D. 随机扰动项与其自身滞后一期存在相关关系 A. 家庭收入差距导致支出波动不同　B. 遗漏相关重要变量　C. 解释变量多重共线性　D. 扰动项自相关

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2. 研究家庭消费支出时，已知在收入较高的家庭中，消费支出对条件均值的偏离通常更分散；这种差异来自家庭消费规模随收入增加而扩大。对此，哪项判断正确？ A. 误差项条件方差随收入变化，属于异方差，其产生原因是消费规模差异 B. 误差项条件均值随收入变化，属于异方差，其产生原因是消费规模差异 C. 误差项条件方差保持不变，属于同方差，其产生原因是消费规模差异 D. 误差项之间存在时间相关，属于异方差，其产生原因是消费规模差异

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3. 某地随机抽取30家小微企业的数据，研究月广告投入x（万元）对月销售额y（万元）的影响，建立一元线性回归模型 yᵢ=β₀+β₁xᵢ+uᵢ。分析时发现：销售额波动幅度随企业规模扩大而明显增大，即 Var(uᵢ)=σ²xᵢ（σ²>0）。(1) 指出该模型存在何种问题，并说明其产生的原因；(2) 说明此时OLS估计量是否仍是无偏的、是否仍有效，并指出违背的是经典假定中的哪一条；(3) 写出消除该问题应采用的估计方法，并给出权重 wᵢ 的表达式。

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4. 某研究对样本量 n = 150 的数据拟合模型 Y_i = β₀ + β₁X_i + β₂Z_i + u_i，并实施含交叉项的怀特检验。辅助回归以残差平方 e_i² 为因变量，解释变量为常数项、X、Z、X²、Z²、XZ，得到辅助回归的残差平方和 RSS = 126，总平方和 TSS = 180。则怀特检验统计量的值为____，在 5% 显著性水平下（χ²(5) 的临界值为 11.07）应____同方差原假设（填“拒绝”或“不拒绝”）。

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5. 在一元线性回归中，为检验异方差性，将 OLS 残差的平方对解释变量 x 及截距作辅助回归，得样本量 n=50，辅助回归的判定系数 R²=0.15。布罗施-帕甘检验统计量为 n×R²，在原假设（同方差）下该统计量近似服从自由度为辅助回归中解释变量个数的卡方分布。则在 5% 显著性水平下（临界值为 3.841），正确的结论是： A. 统计量为 7.5，拒绝同方差原假设，存在异方差 B. 统计量为 7.5，不能拒绝同方差原假设 C. 统计量为 0.15，不能拒绝同方差原假设 D. 统计量为 50，拒绝同方差原假设，存在异方差

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6. 研究某城市住户的月交通支出 y 与月收入 x 的关系，建立模型 yᵢ=β₀+β₁xᵢ+uᵢ，并假设扰动项满足 Var(uᵢ)=σ²·xᵢ（i=1,2,…,n），其中 σ²>0 为常数。(1) 说明该模型是否违背经典假设中的同方差性，并给出判断依据；(2) 若 σ²=0.5，分别计算收入 x=10（百元）与 x=40（百元）时扰动项的方差；(3) 简要说明这类异方差产生的一种常见经济原因。

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7. 某研究用 OLS 估计工资方程，怀疑存在异方差，故同时报告了通常的标准误与异方差稳健（White）标准误。所得结果为：教育年限系数 β̂=2.4，通常标准误 se=0.5，稳健标准误 se_robust=0.8。若异方差确实存在，下列关于该系数显著性的判断正确的是：A. 应依据通常标准误计算 t=4.8>1.96，判定在5%水平显著　B. 稳健标准误更大说明系数估计值会相应变小，故不显著　C. 应依据稳健标准误计算 t=2.4/0.8=3>1.96，判定在5%水平显著　D. 两种标准误结论不一致，说明模型必然存在严重的多重共线性

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8. 设线性回归模型满足误差项给定解释变量后的条件均值为零，条件方差随观测而异，且误差项之间不相关。关于 OLS 估计的影响，哪项表述正确？ A. OLS 估计仍条件无偏，但通常的同方差标准误公式一般不再适用，且 OLS 不保证具有最小方差　B. OLS 估计必然有偏，但通常的同方差标准误公式仍然适用　C. OLS 估计仍条件无偏，且异方差不会影响通常标准误和显著性检验　D. OLS 估计必然不一致，因而任何基于 OLS 的推断均无效

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9. 考虑固定设计模型 yᵢ=β₀+β₁xᵢ+uᵢ，样本中 x₁=−1、x₂=0、x₃=1。误差相互独立，且 E(uᵢ|X)=0，条件方差依次为 1、4、9（单位均为 y²）。含截距项的 OLS 斜率估计量是否无偏？计算其条件方差，并说明异方差下 OLS 是否仍具有同方差情形的最小方差性质。

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10. 在研究工资方程的异方差性时，某研究者将原回归的 OLS 残差平方对工作经验（单个方差决定变量）及截距作辅助回归，样本量 n=70，辅助回归的判定系数 R²=0.12。采用布罗施-帕甘检验（统计量 LM=nR²，服从自由度为方差决定变量个数的卡方分布），给定显著性水平 5%，卡方临界值 χ²₀.₀₅(1)=3.841。则 LM 统计量为 ____，由于 LM ____ 3.841（填 > 或 ≤），故原假设「同方差」被 ____（填拒绝或不拒绝）。

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11. 在研究居民消费支出的回归模型中，为检验是否存在异方差性，采用布罗施-帕甘检验：将 OLS 残差的平方对收入、家庭规模两个变量及截距作辅助回归，样本量 n=100，辅助回归的可决系数 R²=0.12。则检验统计量 LM = n·R² = ____（填数值）。在 5% 的显著性水平下，自由度为 2 的卡方分布临界值为 5.99，由于该统计量____（填"大于"或"小于"）临界值，故应____（填"拒绝"或"不拒绝"）同方差的原假设。

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12. 某研究分析居民消费支出 Y（千元）与可支配收入 X1（千元）和家庭规模 X2（人）的关系，使用容量 n = 72 的横截面数据建立 OLS 回归。为检验异方差性，进行含交叉项的怀特检验，辅助回归为 e_i^2 = α0 + α1X1 + α2X2 + α3X1^2 + α4X2^2 + α5X1X2 + v_i，估计得 R^2 = 0.20。要求在 5% 显著性水平下，计算怀特检验统计量并判断是否存在异方差。已知 χ²(5) 的 5% 临界值为 11.07。

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13. 某分析师对 n=80 个观测拟合含截距及两个解释变量 X₁、X₂ 的线性模型。实施怀特检验时，以 OLS 残差平方为因变量，将 X₁、X₂、X₁²、X₂²、X₁X₂ 及截距作为辅助回归解释项，得到辅助回归 R²=0.11。取显著性水平 5%，χ²(5) 的临界值为 11.07。按怀特检验的 LM 统计量及其渐近分布，检验统计量为____，据此应____同方差原假设。

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14. 为研究培训时长 x（小时）对月产量 y（件）的影响，基于 n=4 的样本（含截距）作 OLS 回归，得斜率估计 β̂₁=0.5，且 OLS 残差满足标准性质 ∑ûᵢ=0、∑xᵢûᵢ=0。四个样本点依次为：x₁=1, û₁=-3；x₂=2, û₂=0；x₃=3, û₃=1；x₄=4, û₄=0。由于怀疑存在异方差，改用 White 异方差稳健方差估计（HC0）：Var(β̂₁)=∑(xᵢ²ûᵢ²)/(∑xᵢ²)²。请完成：(1) 计算异方差稳健标准误 se(β̂₁)（保留四位小数）；(2) 用该稳健标准误计算检验 H₀: β₁=0 的 t 统计量（保留两位小数）。

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15. 某研究以含截距的辅助回归检验原回归模型的异方差性：将 OLS 残差平方对两个解释变量及截距回归，样本量 n=60，辅助回归的 R²=0.18。采用布罗施-帕甘检验，在 5% 显著性水平下，χ²(2) 的临界值为 5.991。应作何判断？ A. 不拒绝同方差原假设　B. 拒绝同方差原假设　C. 因辅助回归含截距而无法检验　D. 自由度应取 3，故无法依据给定临界值判断

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16. 某研究用布罗施-帕甘检验考察回归模型的异方差性：将原回归的 OLS 残差平方对两个方差决定变量及截距作辅助回归，样本量为 80，辅助回归的 R² 为 0.08。显著性水平为 5%，且 χ²(2) 的临界值为 5.991。该检验的 LM 统计量为 ____，据此应____原假设。

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17. 某研究以不同规模的农场为样本，回归估计农场的单位面积产出。小规模农场与大规模农场的扰动项标准差分别为0.3吨/公顷和0.8吨/公顷，且产出波动增大是因为农场规模扩大后受天气与管理差异影响更明显。计算大规模农场扰动项方差与小规模农场扰动项方差之比，并判断是否存在异方差性。

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18. 为研究某地区家庭年收入 x（万元）对储蓄额 y（万元）的影响，基于容量 n=40 的横截面数据作 OLS 回归，怀疑模型存在异方差，进行怀特检验。建立辅助回归：e² = α₀ + α₁x + α₂x²，其中 e 为原回归残差。已知该辅助回归的可决系数 R² = 0.22。取显著性水平 α = 0.05，怀特检验统计量 nR² 服从自由度为 2 的卡方分布，临界值 χ²₀.₀₅(2) = 5.99。请计算检验统计量的值，判断模型是否存在异方差，并说明判断依据。

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19. 在存在异方差的多元线性回归中，若仍采用普通最小二乘法（OLS）估计参数，则估计量仍具有无偏性与一致性，但常规标准误的估计不再可靠，此时应使用异方差稳健标准误（White 稳健标准误）。对解释变量 xᵢ，第 k 个系数的稳健方差估计中，用于替代同方差假设下方差估计的平方残差项是 eᵢ 的____（填写 eᵢ 的幂次形式）。

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20. 在无截距回归模型 yᵢ=βxᵢ+uᵢ 中，某样本的解释变量为 x₁=1、x₂=2、x₃=3，OLS残差分别为 ê₁=1、ê₂=−2、ê₃=1。采用 HC0 异方差稳健标准误，其计算式为 se_HC0(β̂)=√[∑xᵢ²êᵢ²]/∑xᵢ²。计算 β̂ 的异方差稳健标准误。

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21. 在线性回归模型中，若给定解释变量后误差项条件均值为零，但条件方差不恒定，则关于 OLS 估计量的影响，哪项正确？ A. OLS 估计量仍条件无偏，但通常不再具有最小方差 B. OLS 估计量必然有偏 C. OLS 估计量的条件方差必然为零 D. OLS 估计量不再是线性估计量

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22. 某含截距的线性回归采用 OLS 估计，按 HC0 方法计算的异方差稳健协方差矩阵为 (X′X)⁻¹X′diag(ê₁²,…,êₙ²)X(X′X)⁻¹。已知 (X′X)⁻¹=diag(1/4,1/9)，且 X′diag(ê₁²,…,êₙ²)X=diag(16,36)，参数顺序为截距、斜率。斜率的异方差稳健标准误是多少？ A. 2/3　B. 1/3　C. 1　D. 3/2

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23. 考虑无截距模型 yᵢ=βxᵢ+uᵢ，已知 Var(uᵢ|xᵢ)=σ²xᵢ²。观测值为 (x₁,y₁)=(1,2)、(x₂,y₂)=(2,5)、(x₃,y₃)=(3,8)。采用加权最小二乘估计 β，其估计值为 ____。

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24. 对模型 Y_i = β₀ + β₁X₁ᵢ + β₂X₂ᵢ + u_i 基于容量 n = 120 的样本作 OLS 估计后，进行含交叉项的怀特检验：以残差平方 e² 对常数项、X₁、X₂、X₁²、X₂²、X₁X₂ 回归，得拟合优度 R² = 0.08。已知 χ²₀.₀₅(5) = 11.07，χ²₀.₀₅(6) = 12.59。则在 5% 显著性水平下，怀特检验的统计量值与结论为（　　） A. 统计量为 9.60，不拒绝同方差的原假设 B. 统计量为 9.60，拒绝同方差的原假设 C. 统计量为 11.07，不拒绝同方差的原假设 D. 统计量为 12.59，拒绝同方差的原假设

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25. 设一元线性回归模型为 yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ，已知扰动项存在异方差：Var(εᵢ)=σ²xᵢ（σ²>0）。现有三个观测点：(x₁,y₁)=(1,5)，(x₂,y₂)=(4,14)，(x₃,y₃)=(9,29)。试用加权最小二乘法（WLS），取权重 wᵢ=1/xᵢ，即对模型两端同除 √xᵢ 后作普通最小二乘，求 β₀ 与 β₁ 的加权最小二乘估计值，并写出各点的加权残差。

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26. 在含截距的线性回归中，令 X 为设计矩阵，êᵢ 为 OLS 残差，xᵢ 为第 i 行解释变量向量。HC0 异方差稳健标准误对 β̂ⱼ 的估计为 ____。

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27. 在计量经济学中，若将本应是非线性的关系误设为线性回归模型 y_i = β₀ + β₁x_i + u_i，由此产生的设定误差被并入随机扰动项 u_i，可能导致 Var(u_i) 随 x_i 的变化而变化，则此时模型存在____。

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