人教版（B版）（主编：高存明）·数学高二上册《第八章向量的数量积与三角恒等变换》练习题

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本单元考点（5 个）

平面向量数量积的定义与运算数量积的坐标表示与应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角公式及应用简单的三角恒等变换

本单元练习题（27 题）

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1. 某电路中，电流 i（单位：A）随时间 t 变化的规律为 i = √3·sin(2t) + cos(2t)（t 的单位：秒）。利用辅助角公式将表达式化简为 i = A·sin(2t + φ) 的形式（其中 A＞0，0＜φ＜π/2），并求电流 i 的最大值是多少安培？

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2. 测绘人员将两段转向角依次记为 α、β，其中 α、β 均为锐角，且 sinα=3/5，cosα=4/5，sinβ=5/13，cosβ=12/13。一根长13 m的测量杆沿转向后的方向放置，其方向与初始水平方向的夹角为 α+β。测量杆在初始水平方向上的投影长度是多少米？

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3. 在平面直角坐标系中，物体在力 F（单位：N）作用下沿直线从原点移动到位移 s（单位：m）处。已知 F=(m, m+1)，且 F 的大小为 5，其中 m>0；又 s=(2, −1)。求力 F 对物体所做的功 W 为多少焦耳？

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4. 一台测距装置的反射臂长为 4√3 m，反射臂相对基准方向先按角 α 转动，再按角 β 反向调整，其中 α=π/3，β=π/6。装置测得反射臂在基准方向上的投影长度为臂长乘以 cos(α−β)，该投影长度是多少米？

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5. 某工程装置中，连杆末端所受合力 F（单位：牛）随角度 θ 变化，在 θ∈[0,π/2] 范围内满足 F = 4sinθcosθ + 2√3·cos2θ + 1。请利用二倍角公式与辅助角公式将 F 化简为 Asin(2θ+φ)+1 的形式，并求出该装置所受合力 F 的最大值是多少牛？

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6. 在水平地面上，一物体在拉力作用下沿直线移动了位移，位移大小为 10 m，方向水平向右。已知拉力大小为 50 N，拉力方向与位移方向的夹角为 θ（θ 为锐角），拉力对该物体所做的功为 250√3 J。根据功与向量数量积的关系 W=F·s=F|s|cosθ，求夹角 θ 的大小（用角度表示）？

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7. 一物体在两个恒力作用下沿光滑水平面发生位移，位移大小 |s|=2 m，方向水平向右。其中力 F₁ 的大小为 4 N，方向与位移方向相同；力 F₂ 的大小为 3 N，方向与位移方向的夹角为 60°。求这两个力对物体所做的总功 W=F₁·s+F₂·s 是多少焦耳？

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8. 某角度传感器的输出值 q（单位：伏）随转角 θ 变化，满足 q=15(sin²θ−cos²θ)+20sinθcosθ+30。当 θ 为锐角且 tanθ=1/3 时，传感器的输出值是多少伏？

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9. 已知向量 a=(2,1)，b=(-1,3)，则 a·b 等于（　　） A. 1　B. -1　C. 5　D. -5

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10. 已知角 α、β 满足 tan(α+β)=3，tan(α−β)=1/2，则 tan2α 的值为（　） A. −7　B. 7　C. −1　D. 1

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11. 已知 sin⁴x＋cos⁴x＝5/8，则 sin²2x＝____。

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12. 已知平面向量 a,b 满足 |a|=2√2，|b|=3，a·b=−3，则 |2a+b|²−|a−2b|² 的值为　A. −27　B. −4　C. 4　D. 27

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13. 已知 x∈(π/2，π)，且 sin x−cos x=√(3/2)，则 sin⁴x＋cos⁴x＝____。

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14. 已知角 α 为锐角，且 sinα=3/5，则 sin(α+π/6)=____

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15. 已知向量 a=(2,3)，向量 b=(x,-x)（x∈R）满足 a·b=5，则向量 b 的模 |b| 等于（　　） A. √10　B. 2√5　C. 5√2　D. 10

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16. 已知向量 a=(2,m)，b=(m,-1)，若 |a+b|=|a−b|，则 a·(a−b) 的值为（　　） A. 3　B. 4　C. 5　D. 6

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17. 已知角 α 为锐角，且 cosα=5/13，则 cos(α+π/4) 的值为（　） A. −7√2/26　B. 7√2/26　C. 17√2/26　D. −√2/2

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18. 某升降舞台的高度 h（单位：米）随转角 θ（单位：弧度）变化的规律为 h = 25 − 20cos²(θ/2)。请先用降幂公式 cos²(θ/2) = (1+cos θ)/2 将 h 化简，再求当 θ = π/3 时舞台的高度是多少米？

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19. 已知 tanα=3，则 tan(α−π/4)=____

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20. 已知平面向量 a 与 b 的模分别为 |a|=4，|b|=5，且 a 与 b 的夹角为 120°，则 a·b = ____，|a+2b| = ____。

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21. 已知平面向量 a=(2,1)，b=(1,m)（m>0），且向量 a+b 与向量 a−2b 互相垂直，则实数 m=____，|a+b|=____。

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22. 已知 sin α = 3/5，则 cos 2α = ____。

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23. 已知实数 x 满足 sin x+cos x=√(3/2)，则 sin 2x=____。

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24. 已知平面向量 a,b 满足 |a|=3，|b|=2，a 与 b 的夹角为 60°，则 (a+b)·(a−2b) 的值为　A. −2　B. 2　C. −8　D. 7

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25. 已知平面向量 a、b 满足 |a|=5，|b|=2，且 a 与 b 的夹角为 60°，则 (2a+b)·(a−3b)=____。

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26. 化简：sin2α/(1+cos2α)（α为锐角）等于（　　） A. tanα　B. cotα　C. 2tanα　D. tan²α

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27. 已知实数 x 满足 (sin x+cos x)²=7/5，则 (sin x−cos x)² 的值为（　） A. 2/5　B. 3/5　C. 7/5　D. 12/5

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人教版（B版）（主编：高存明）·数学其他单元练习题

第一章集合与常用逻辑用语（27题）第四章数列（27题）第一章空间向量与立体几何（27题）第九章解三角形（27题）第七章三角函数（18题）第六章平面向量及其应用（27题）数学探究用向量法研究三角形的性质（18题）第五章一元函数的导数及其应用（27题）第二章直线和圆的方程（18题）本书拓展阅读目录（27题）本书拓展阅读目录（27题）第二章一元二次函数、方程和不等式（27题）

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