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人教版（B版）（主编：高存明）·数学高一上册《数学建模 建立函数模型解决实际问题》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（3 个）

函数建模的基本步骤根据数据选择合适的函数模型函数模型在实际问题中的应用

本单元练习题（27 题）

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1. 某品牌充电宝从满电开始给一台设备供电，测得剩余电量 y（百分比）随供电时间 t（小时）变化的数据如下：t=0 时 y=100；t=2 时 y=50；t=4 时 y=25；t=6 时 y=12.5。观察数据变化规律，下列函数模型中最适合刻画 y 与 t 关系的是（　　） A. y=100-25t　B. y=100×0.5^t　C. y=100×(1/2)^(t/2)　D. y=100/t

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2. 用函数模型解决实际问题的一般步骤为：①审题；②建立函数模型；③求解函数模型；④检验；⑤作答。某学生在一次共享单车计费问题的建模活动中，设租车时间为 t（分钟，t＞0），写出了费用 y 关于 t 的分段函数，解得租 45 分钟费用为 4 元，随后就直接给出了最终答案。对照上述步骤，他的求解过程遗漏的步骤是（　　） A. 审题　B. 建立函数模型　C. 求解函数模型　D. 检验

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3. 某展馆门票现价为40元时，每天可售出300张。经调查，票价每上调2元，日售票量减少10张；设上调x次，且该线性关系在日售票量非负时成立。若门票收入等于票价乘日售票量，则日门票收入的最大值为多少元？ A. 12000　B. 12500　C. 12800　D. 15000

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4. 某厂生产某产品，月产量为 x 件（0<x≤500），每件售价 p=100−x/10（元），月固定成本 2000 元，每件变动成本 50 元。设月利润为 L(x)（元）。若要使月利润最大，则最优月产量 x=____ 件，最大月利润 L=____ 元。

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5. 某种微生物的数量随培养时间变化。记录显示：培养开始时有3个，培养30分钟后有6个，培养60分钟后有12个，培养90分钟后有24个。假设每隔相同时间数量按同一倍数变化，且 t 表示培养时间（单位：小时），则数量 N 与 t 的函数模型为____。

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6. 某实验室记录一种溶液中某成分的浓度。以开始记录时为0时刻，每经过30分钟记为1个时间单位，测得时间单位n与浓度y（毫克/升）的对应数据为：n=0时y=128，n=1时y=96，n=2时y=72。假设数据由候选模型之一精确描述：一次函数模型y=a+kn，或指数函数模型y=abⁿ（a、b、k为常数）。应选择哪种模型？据此预测开始记录后90分钟的浓度是多少毫克/升？

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7. 某市出租车收费标准为：2千米以内（含2千米）车费8元；超过2千米的部分，每千米收费2.4元，且超出部分不足0.5千米按0.5千米计费。另外每次乘车需加收燃油附加费3元。在一次数学建模活动中，某同学按“审题—建立函数模型—求解—检验—作答”的步骤建模：设乘车里程为x千米（x>2），付费y元，写出y关于x的分段计费模型后求解并检验。若王老师一次乘车共付费29元，按此模型检验后，他这次乘车里程的最大值是多少千米？

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8. 某款净水器的滤芯在使用过程中，测得滤芯净化效率 y（百分比）随使用月数 t 的数据如下：t=0 时 y=100；t=1 时 y=60；t=2 时 y=36；t=3 时 y=21.6。观察各组数据中相邻 y 值的比值为同一常数，判断 y 与 t 适合用哪类函数模型近似刻画，并用该模型估计使用 5 个月后滤芯的净化效率 y 是多少？

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9. 一杯热饮刚冲好时温度为80℃，放在温度保持20℃的室内。假设热饮与室温的温差每经过30分钟变为原来的一半，且这一规律在所讨论的时间内成立。按此函数模型，热饮放置多少分钟后温度为35℃？

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10. 某配送服务规定：配送距离不超过2 km时收费6元；超过2 km的部分，每千米另收1.5元，且不计其他费用。一次配送共收费18元，则配送距离为多少千米？ A. 8　B. 10　C. 12　D. 14

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11. 某市共享单车计费规则为：骑行收费由起步价与超时费两部分组成，起步价1.5元（含前30分钟），超出30分钟后每15分钟加收1元（超出部分恰为15分钟整数倍时按倍数计费）。小明某次骑行恰好2小时（120分钟），设超出30分钟的时间为 t 分钟，超时费为 y 元。求小明这次骑行共需支付多少元？

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12. 某水果店购进一批荔枝，进价为每千克80元。当售价定为每千克100元时，每天可售出50千克。据市场调查，售价每上涨1元，日销量减少1千克；售价每下降1元，日销量增加1千克，且日销量不超过60千克。设售价为每千克x元（80≤x≤130），日利润为W元。问售价定为每千克多少元时，日利润W最大？最大日利润是多少元？

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13. 某共享储能柜有甲、乙两种计费方案。甲方案收取基本费6元，使用电量不超过5 kW·h时不再收费，超过部分每kW·h收费1.5元；乙方案收取基本费10元，每kW·h另收费0.7元。设使用电量为x kW·h（x≥0），当两种方案费用相同时，x=____ kW·h；若使用20 kW·h，费用较低的是____方案。

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14. 某社区要估算不同活动人数所需的饮用水量。本题采用的建模流程为：①明确实际问题并作出必要假设；②设定变量并建立函数模型；③利用模型求解；④检验模型及结果是否符合实际；⑤解释结果并作答。小组记录的工作依次是：甲，检查估算结果是否合理；乙，根据人数求出用水量；丙，确定人数与用水量为变量并建立关系；丁，说明估算结果并回答问题；戊，明确要估算的问题并说明假设。按流程先后，工作顺序为____。

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15. 某设备运行后，记录运行时间x（单位：15分钟）与某指标y的数据：x为0、1、2、3时，y分别为6、9、14、21。若在这些数据范围内从下列函数模型中选择，哪一个最合适？ A. y=3x+6　B. y=6·(3/2)ˣ　C. y=x²+2x+6　D. y=x²+3x+6

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16. 某快递驿站为估算打包耗材成本开展函数建模活动，记录了如下四项工作：①明确“耗材成本”的含义与计费规则，并作出“成本与包裹重量近似成正比”的假设；②设包裹重量为 x（千克），建立成本 y（元）与 x 的函数模型；③将待估包裹的重量代入模型，求出成本的预测值；④将预测值与驿站同重量包裹的实际成本对比，判断模型是否合理，必要时修正。则解决该问题的基本步骤的合理顺序是　A. ①②③④　B. ②①④③　C. ①③②④　D. ②③①④

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17. 某小型水泵运行时，记录运行时长 x（小时）与累计耗电量 y（千瓦时）：x 为 0、1、2、3、4 时，y 分别为 5、8、13、20、29。在一次函数模型 y=ax+b、指数函数模型 y=A·qˣ（A>0，q>0，q≠1）和二次函数模型 y=ax²+bx+c 中，最适合描述这组数据的模型类型是____；按该模型估计运行 5 小时的累计耗电量为____千瓦时。

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18. 某观测站记录一枚气球升空后高度 y（米）随上升时间 x（分钟）变化的部分数据：x=1 时 y=2；x=2 时 y=5；x=3 时 y=10；x=4 时 y=17。现从一次函数 y=kx+b、二次函数 y=ax²+1、指数函数 y=aˣ（a>1）三类模型中选取最符合数据的一个，则应选择的模型是____（填“一次”“二次”或“指数”）函数模型；按该模型计算，x=5 时气球高度为____米。

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19. 在一次函数建模活动中，解决实际问题的基本步骤应按怎样的顺序进行？ A. 审题→建立函数模型→求解函数模型→检验→作答　B. 建立函数模型→审题→求解函数模型→检验→作答　C. 审题→求解函数模型→建立函数模型→检验→作答　D. 审题→建立函数模型→检验→求解函数模型→作答

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20. 某校温室要估算不同种植面积所需的灌溉水量。小组先明确面积与用水量的含义及适用条件，再根据记录建立函数模型，随后用模型估算目标面积的用水量，并将预测值与另一块已知面积的实际用水量比较，最后向学校报告结论。下列对这一建模过程的步骤对应正确的是（　） A. 明确问题→建立模型→求解模型→检验模型→作答　B. 建立模型→明确问题→检验模型→求解模型→作答　C. 明确问题→求解模型→建立模型→作答→检验模型　D. 明确问题→建立模型→检验模型→作答→求解模型

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21. 某温室记录补光灯开启时间 x（小时）与能耗 y（千瓦时）的数据：x=0 时 y=5，x=1 时 y=8，x=2 时 y=11。若从一次函数、指数函数、二次函数中选择模型，则应选____，相应的函数模型为____。

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22. 某手机APP清理软件记录其占用存储空间的变化：以开始监测时刻记为0，此后每经过1天记为1个时间单位，测得时间单位x与占用空间y（GB）的对应数据为：x=0时y=2，x=1时y=4，x=2时y=8，x=3时y=16。现从一次函数、二次函数、指数型函数y=a·b^x（a>0，b>0且b≠1）三类模型中，选择最能刻画该变化规律的模型。按此模型继续变化，问再经过多少天（从开始监测时算起）占用空间将达到1024GB？

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23. 某农场计划估算不同数量的育苗盘所需的营养土用量。工作人员先明确要解决的问题并作出必要假设，再设定变量、建立函数模型，随后利用模型求解，并检验结果是否符合实际，最后作答。该建模过程共包含几个基本步骤？

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24. 某小组为研究共享打印机收费问题，按函数建模的基本步骤开展活动：先明确收费方式并作出必要假设，再设打印张数为 x（张），建立收费 y（元）与 x 的函数模型 y=0.5x+1，随后将 x=10 代入模型求得 y=6，最后将 6 元与打印店实际报价对照。其中“将 x=10 代入模型求得 y=6”这一环节对应的基本步骤是（　　） A. 明确问题并作出假设　B. 建立函数模型　C. 利用模型求解　D. 检验模型及结果

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25. 某实验室估算设备维护费用，假设月费用由固定巡检费和每台设备的相同维护费组成。维护2台设备需46元，维护5台需70元。小组拟先设设备台数为x、月费用为y并建模，再预测维护7台的费用；若预测值与实际记录相差超过2元，就不接受该模型。实际维护7台的费用为89元。按函数建模的基本步骤，预测费用是多少，并应在哪一步作出是否接受模型的判断？

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26. 某科研小组要估算不同运行时长下小型设备的耗电量。小组明确问题并作出必要假设，设定变量、建立函数模型，再利用模型求出预测值。接下来应进行的建模步骤是____。

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27. 某花店想估计不同订花数量对应的包装费用，已明确问题并作出必要假设，也已设定变量。将订花数量与包装费用之间的关系表示为函数解析式，这属于函数建模基本步骤中的____。

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人教版（B版）（主编：高存明）·数学其他单元练习题

第四章 数列（27题）第一章 空间向量与立体几何（27题）第九章 解三角形（27题）第一章 集合与常用逻辑用语（27题）第七章 三角函数（18题）第六章 平面向量及其应用（27题）本书拓展阅读目录（27题）第五章 一元函数的导数及其应用（27题）第二章 直线和圆的方程（18题）本书拓展阅读目录（27题）第二章 一元二次函数、方程和不等式（27题）数学探究 用向量法研究三角形的性质（18题）

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