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沪教版·数学（高中）高三下册《第2部分 数学建模活动A》练习题

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本单元考点（2 个）

数学建模活动的设计与实施建模结果的检验与报告撰写

本单元练习题（27 题）

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1. 某小组建立模型预测水塔水位下降速率，模型给出预测值为126毫米/小时，随后实测得真实值为120毫米/小时。按报告规范，检验时计算相对误差（相对误差=|预测值-真实值|÷真实值×100%），若相对误差不超过5%则模型检验合格。该模型的相对误差为____%，检验结论是「____」（填：合格或不合格）。

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2. 某校拟建立模型预测食堂每日就餐人数，并据此安排备餐。若要判断模型对未参与建模日期的预测是否可靠，以下哪种实施方案最合适？ A. 用全部日期的数据建立模型，再用同一批数据检验模型　B. 用部分日期的数据建立模型，保留其余日期作检验，并比较预测值与实际值　C. 只选就餐人数变化较小的日期建立模型，再据此认定模型适用于所有日期　D. 若检验结果与预期不符，就修改检验日期的实际记录

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3. 某校建立模型预测一周用电量为100千瓦时，实测值为104千瓦时。约定以预测值为基准计算相对误差，且相对误差不超过5%时模型结果可接受。报告中应写明相对误差为____，据此判断本次模型结果____。

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4. 某建模小组研究小球下滑路程s与时间t的关系，建立模型 ŷ=2t²+1，并用三组检验数据 (t,y)=(1,4),(2,10),(3,20) 进行检验，再撰写报告。检验时计算各点绝对误差|y−ŷ|，取其算术平均作为平均绝对误差。若规定平均绝对误差不超过1则模型通过检验，则报告中应写的平均绝对误差及结论是（　） A. 平均绝对误差为1，模型通过检验　B. 误差平方和为3，故平均绝对误差为3，模型未通过　C. 平均相对误差约为13.3%，模型未通过　D. 最大绝对误差为1，故无需计算与撰写检验报告

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5. 某物流站建立模型预测每日需分拣的包裹量，并用未参与建模的3天数据检验模型。模型预测量依次为52、51、53百件，实际量均为50百件。报告规定以3天相对误差的算术平均值作为检验指标，且该指标不超过5%时判定模型通过检验。该模型的检验指标是多少，是否通过检验？

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6. 某校开展“预测下一周每日食堂午餐剩菜质量”的数学建模活动，已连续记录24个上学日的数据，按日期排列。活动要求检验模型对未来日期的预测能力，且检验数据不得参与模型拟合。拟采用的验证方案有：A.随机抽取6天作检验集；B.前18天作建模集、后6天作检验集；C.用24天拟合并以拟合误差作检验。完成检验后，若要用全部已有数据建立最终预测模型，应选择验证方案____，并____。

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7. 某数学建模小组研究“估计学校操场跳绳比赛平均用时”的问题，在完整建模过程中，确定“用所建立的模型对另一次比赛成绩进行估计并检验误差”这一环节所属的建模步骤是____；而“明确估计平均用时的精确程度要求”属于建模步骤中的____（均填“问题提出”“模型建立”“模型检验”之一）。

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8. 某建模小组建立了预测学校用水量的线性模型，并用未参与建模的三天数据检验模型。三天的预测用水量依次为100、200、300立方米，实测用水量依次为97、190、279立方米。按报告规范，以预测值为基准计算每天的相对误差（相对误差=|预测值-真实值|÷预测值×100%），再取三个相对误差的算术平均值作为模型的检验误差；若检验误差不超过5%，则模型结果可接受。请计算该模型的检验误差，并判断该模型结果是否可接受？

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9. 某研究小组建立模型预测景区单日游客量，模型预测值为250人，事后核实真实值为260人。小组所在学校的报告规范要求：检验时以真实值为基准计算相对误差（相对误差=|预测值-真实值|/真实值×100%），且只有当相对误差不超过4%时才可在报告中作出“模型结果可接受”的结论。关于该建模报告的检验结论与表述，下列说法正确的是： A. 相对误差为4%，模型结果可接受 B. 相对误差约为3.8%，模型结果可接受 C. 相对误差为4%，但基准用错，须改以预测值为基准重新检验 D. 相对误差约为3.8%，但报告未附原始数据，故不能得出可接受结论

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10. 某校拟建立模型预测雨水收集池在不同降雨情形下的水位，供值班人员安排排水。小组列出五项工作：①用未参与建模的降雨过程检验预测效果；②明确预测目标、变量及必要的简化假设；③根据已收集的数据建立水位预测关系；④提出预测水位并服务于排水安排；⑤围绕实际需求确定建模问题。按合理的实施顺序排列，填入序号：____

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11. 某数学建模小组研究“校门口早高峰人流拥堵程度”问题，拟定了五个工作环节：①实地记录连续5个上学日早高峰每分钟通过校门口的人数，收集数据；②根据拥堵程度的实际问题，明确建模目标与所需变量；③用所得模型对未参与建模的一日人流进行预测，并与实测对比检验；④分析数据，建立“人流到达率与拥堵指数”关系的模型；⑤撰写建模报告，提出错峰入校的改进建议。则正确的实施顺序为（　　） A. ②①④③⑤　B. ①②④③⑤　C. ②①③④⑤　D. ①④②③⑤

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12. 某数学建模小组研究“估计教学楼饮水机每日耗水量”的问题，拟定了五个工作环节：①明确估计目标，确定主要变量并作必要简化假设；②连续10个上学日记录饮水机的耗水量数据；③依据数据建立耗水量估计模型并求出参数；④用未参与建模的另5个上学日数据检验模型误差；⑤根据检验结果修正模型并撰写报告。按数学建模活动的一般实施顺序，五个环节的正确排列是____。若某环节发现检验误差过大，应当优先采取的做法是____（填“更换检验数据”“返回修正模型假设与参数”“宣布建模失败”之一）。

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13. 某数学建模小组研究“估计教学楼楼梯每日被踩踏的台阶数”，以评估楼梯维护周期。小组已将建模活动拟定为一套完整流程，其中包括：明确问题与变量、收集数据、建立模型、求解模型、检验结果、撰写报告。现已完成前四步，得到每日踩踏台阶数的估计模型。按照数学建模活动设计与实施的一般步骤，下一步应当做的工作是什么？

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14. 某建模小组建立模型预测风机每小时发电量，并用未参与建模的3个时段数据检验。模型预测值依次为97 kWh、100 kWh、103 kWh，实测值均为100 kWh。报告规定以实测值为基准计算各时段相对误差，并取其算术平均作为检验指标；平均相对误差不超过2%时，结论为模型通过检验。报告应写明的平均相对误差及检验结论是什么？

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15. 某数学建模小组研究"估计学校食堂一周厨余垃圾总量"的问题，拟定了五个工作环节：①明确估计目标，确定主要变量并作必要简化假设；②连续记录一周内每天食堂的厨余垃圾量，收集数据；③根据实际问题的特点，对数据作适当处理后建立数学模型；④利用模型估计厨余垃圾总量并检验结果是否合理；⑤撰写建模报告，提出减少浪费的建议。下列关于该建模活动的说法正确的是 A. 应先建立模型再收集数据，以保证模型不受数据干扰 B. 检验模型时应选取未参与建模的数据，以评估模型的预测效果 C. 只要模型计算结果精确，就无需进行结果检验与报告撰写 D. 简化假设越少越好，建模时无需对实际问题作任何抽象

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16. 某数学建模小组研究"估计学校食堂午餐高峰时段学生平均排队等待时间"的问题，拟定了五个工作环节：①明确估计目标，确定主要变量（到达人数、服务速度）并作出简化假设；②连续5个上学日在午餐高峰时段记录每分钟到达食堂的人数与打餐窗口服务人数；③依据数据建立排队等待时间的估计模型；④用模型计算平均等待时间，并与实地抽样测得的等待时间对比检验；⑤撰写建模报告，提出增设窗口等改进建议。以下选项中，环节顺序排列完全正确的是 A. ①②③⑤④　B. ①②③④⑤　C. ②①③④⑤　D. ①③②④⑤

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17. 某课题组用模型预测湖水某指标浓度，并预先规定：用未参与建模的观测数据检验，以实测值为基准计算各次相对误差，取其算术平均；平均值不超过12%时，可报告“本次检验通过”，但不得据此断言模型对所有情形都准确。三次预测值（单位：mg/L）为2.4、3.0、3.6，实测值依次为2.0、3.0、4.0。下列报告结论正确的是（　） A. 平均相对误差为9.26%，本次检验通过　B. 平均相对误差为10%，本次检验通过，但不能据此断言模型对所有情形都准确　C. 平均相对误差为10%，因此模型对所有情形都准确　D. 平均相对误差为30%，本次检验不通过

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18. 某模型用于预测社区下一季度的用水量。为检验模型并撰写报告，以下做法最合理的是（ ） A. 仅用建立模型时的数据说明模型准确，并省略模型假设　B. 将模型预测与未参与建模的实际数据比较，在报告中说明模型、检验结果及适用范围　C. 只报告预测结论，不说明数据来源和建模过程　D. 只要模型能够给出数值，就认定模型通过检验

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19. 某兴趣小组建立了一个预测鱼塘水温随时间变化的数学模型，并据此写出了建模报告初稿。小组讨论了四种完善报告的做法：甲提出应保留建模过程中的原始数据并附上模型假设；乙提出应舍弃预测误差较大的实测数据，使报告结论更完美；丙提出只要模型公式正确，报告中可省略检验过程；丁提出应将模型预测值与另外三组未参与建模的实测水温数据进行对比，计算误差并据此评价模型的适用性。从检验建模结果与规范撰写报告的角度看，上述四种做法中正确的是谁？请说明理由。

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20. 某数学建模小组研究“学校食堂窗口数量是否合理”的问题，整理出以下五个工作环节：①对某天午餐时段各窗口排队人数进行抽样记录，收集数据；②分析数据，建立“平均等待时间与窗口数”的函数模型；③明确问题：研究窗口数与学生平均等待时间的关系；④将模型结果与实际情况对照，检验模型；⑤撰写建模报告，提出增设或调整窗口的建议。若按数学建模活动的一般实施流程正确排序，则上述环节的合理顺序（用序号排列）应是什么？

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21. 某课题组建立模型预测一座大桥某日过桥车辆数，模型预测值为4800辆，当日实测真实值为4500辆。按报告规范，检验时以预测值为基准计算相对误差（相对误差=|预测值-真实值|÷预测值×100%），且相对误差不超过8%时模型检验通过。检验报告中应写明：相对误差为____%，模型检验结论为“通过”或“不通过”中的____。

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22. 某农场拟建立模型，估计温室不同天气条件下的日灌溉用水量。以下哪一项是较合理的建模活动实施顺序？ A. 先建立模型并给出用水量，再选择数据支持结论　B. 明确研究问题与变量，收集相关数据，建立模型，检验并应用模型　C. 先应用模型安排灌溉，再确定研究问题　D. 收集数据后直接应用，不必建立和检验模型

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23. 某校建模小组拟建立模型预测校园雨水收集池每日进水量，以便安排用水。小组先用连续记录的前20个晴雨日数据建立模型，再用未参与建模的5个日期检验预测效果。检验日的平均绝对误差，模型甲为1.8 m³，模型乙为2.6 m³。若其他条件相同，应选择哪个模型用于预测？检验误差是多少？

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24. 某建模小组建立模型预测某仓库每天的货物入库量，并用未参与建模的4天数据检验模型。4天中模型预测值均为500箱，实际入库量依次为510箱、520箱、530箱、540箱。检验规范如下：以预测值为基准计算每天的相对误差（相对误差=|预测值-真实值|/预测值×100%），再取4天相对误差的算术平均值作为模型误差；规定模型误差不超过5%时模型结果可接受。问：按规范计算该模型的误差为多少，模型结果是否可接受？

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25. 某市拟建立模型，预测共享单车站点次日的车辆需求量。小组已连续记录一个月的每日需求量，既要拟合模型，又要检验模型对未来日期的预测能力。为避免检验结果被用于拟合，数据应按时间顺序将____作为检验数据；将模型预测值与该段实际值比较并据此判断模型是否适用，属于建模实施中的____环节。

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26. 某数学建模小组研究“估计学校图书馆日均借阅量”问题，拟定了五项工作：①用未参与建模的连续5个上学日的数据检验模型预测效果；②明确研究目标、主要变量并作必要的简化假设；③连续10个上学日记录图书馆每日借阅量；④依据记录数据建立预测模型并给出日均借阅量的估计；⑤撰写建模报告。已知完成②需1个上学日，完成③需10个上学日，完成④需2个上学日，完成①需5个上学日，完成⑤需1个上学日，且全部工作只在上学日进行、各项依合理顺序依次完成。请写出这五项工作较合理的实施顺序（用序号表示），并求完成整个建模活动共需多少个上学日？

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27. 某校数学建模小组拟研究“校园雨水花园在一次降雨后可滞留的雨水量”。小组已明确研究目标，并确定降雨量、花园面积等主要变量及简化假设。在建立模型前，下一步应____。

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第5章 导数及其应用（27题）第6章 三角（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）引论（27题）第10章 空间直线与平面（27题）第2章等 等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章 圆锥曲线（9题）第1部分 数学建模活动案例（27题）第11章简单几何体（18题）第7章 三角函数（27题）

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