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沪教版·数学（高中）高三下册《第1部分 数学建模活动案例》练习题

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本单元考点（2 个）

数学建模案例的分析方法建模过程中数据的收集与处理

本单元练习题（27 题）

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1. 某校拟建立课间饮水需求模型，连续5个课间记录到饮水人数分别为80、90、100、110、120人。若以这5次记录的平均人数作为典型课间的需求估计值，应选哪一项？ A. 100人　B. 120人　C. 80人　D. 40人

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2. 某仓库用前20天的数据建立每日包裹量预测模型，随后选取未参与建模的3天进行检验，模型预测量依次为48、52、60件，实际量依次为50、50、62件。若规定检验日的每一天预测误差绝对值均不超过3件，模型才可用于该仓库的短期预测，则这3天的数据属于____；按规定，该模型____。

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3. 某社区用每天新增的垃圾桶数量 n 预测日均垃圾收集量 y（单位：吨），根据前期数据建立模型 y=3n+5。前期数据用于建模，未参与建模的一天记录显示 n=8 时实际收集量为31吨。下列对该建模案例的分析，正确的是（　） A. 模型在前期数据上拟合得好，就能保证对所有日期的预测准确　B. 对这一天的预测值为29吨，模型低估2吨；仅凭这一个检验样本不能断定模型普遍准确　C. 这一天的预测误差为2吨，说明模型高估了实际收集量　D. 这一天的实际值与预测值不同，说明模型不能用于预测

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4. 某社区为建立垃圾分类投放量模型，连续一周（7天）记录每日投放量：120、130、125、135、140、130、130（千克）。为使模型中的估计值受个别异常数据影响较小，应选用的数据代表量是____；计算得该组数据的中位数为____千克。

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5. 为估计某分拣点包裹的平均处理时长，工作人员随机抽取20件包裹记录处理时间，结果如下：处理时长分别为5、10、15、20分钟的包裹数依次为3、7、6、4。若以样本的加权平均处理时长作为模型参数，该参数是多少秒？

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6. 某配送站拟用连续6个营业日的有效数据估计日均包裹需求量。系统导出的记录中有7条：日期依次为周一至周六，包裹量依次为18、22、20、24、19、17箱，另有一条记录与周四的日期、时间戳和包裹量完全相同，系数据同步造成的重复记录。建模时应剔除重复记录，并以有效记录的算术平均数作为日均需求估计值，该估计值是多少箱/日？

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7. 某市分析共享单车的周转情况，研究者将“周转效率”定义为每辆车每日平均完成的骑行次数，并将研究范围限定为工作日。分析该案例时，这一做法属于数学建模过程中的____。

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8. 某温室团队依据气温为18℃—24℃的观测数据建立了日用电量预测模型，现拟用模型预测气温为35℃时的日用电量。分析这一建模案例时，首先应关注____；若要检验模型在35℃附近的预测效果，最恰当的做法是____。（填序号）①模型公式是否便于书写 ②预测时的气温是否超出建模数据范围 ③重新整理原有样本并用其检验 ④在35℃附近另收集独立观测数据，将预测值与实际值比较

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9. 某团队建立共享充电宝柜机服务范围的模型，将柜机服务半径定为500米，并用未参与建模的10个网点的实际借用数据检验模型。检验中发现：3个位于地铁站内的网点借用量远超模型预测值，其余7个网点误差均在5%以内。若仅依据现有检验结果对模型作改进，下列处理最合理的是（　） A. 将500米服务半径整体扩大，使地铁站网点预测值提高 B. 剔除3个地铁站网点的数据，保持原模型不变 C. 将网点按所处环境分类，对地铁站类网点单独修正参数 D. 增加检验网点数量，不改动模型结构

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10. 某实验小组测量同一水泵在5次等时运行中的平均流量，记录依次为8 L/min、10 L/min、12 L/min、14 L/min、900 L/h。为用这组数据估计水泵的平均流量，先统一单位，再取算术平均，结果应为多少？ A. 11.8 L/min　B. 12.8 L/min　C. 11.0 L/min　D. 10.8 L/min

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11. 某物流站拟建立模型预测每日包裹量，已用第1至第20天的数据确定模型，模型适用范围为普通工作日且日均包裹量在400至800件之间。现有两组候选检验数据：甲组为建模时已使用的第8至第10天记录；乙组为未参与建模的第21至第24天普通工作日记录，且包裹量均在模型适用范围内。若要检验模型对适用情境的预测效果，应选哪一组数据，检验数据共涉及多少天？

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12. 某城市共享单车运营公司为建立早高峰借车需求模型，连续5个工作日在同一站点记录7:00—9:00的借车次数，分别为210、240、255、225、270次。建模时以这5次记录的平均值作为该站点早高峰借车需求的估计值。已知该公司将早高峰时段平均划分为3个统计区间，且模型中需求估计值需以“次/区间”为单位表示。按此模型，该站点早高峰每个统计区间的借车需求估计值是多少？

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13. 某工厂用两条流水线各自独立建模预测日产量：模型 M₁ 为 y=0.5x+10，模型 M₂ 为 y=0.4x+14（x 为开机小时数，y 为预测产量，单位：件）。现取两天未参与建模的数据检验：开机 20 小时那天实际产量为 25 件，开机 40 小时那天实际产量为 24 件。若规定某天检验的相对误差=|预测值-实际值|÷实际值×100%，两天综合误差用相对误差的平均值衡量，则 M₁ 的综合误差为____%，M₂ 的综合误差为____%，综合误差更小的模型是____。

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14. 某水库管理团队拟建立模型，根据每日入库流量预测次日水位。团队按时间顺序收集了连续15天的数据，规定前12天用于建立模型，后3天的数据不参与建模。为分析模型的预测效果，应使用哪部分数据进行检验？

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15. 某园区为建立日用电量模型，连续8天记录某设备的日用电量（单位：千瓦时）：10、12、13、14、15、16、25、90。核查日志确认，最后一天因传感器校准故障产生的记录无效，其余记录均有效。剔除无效记录后，这组数据的算术平均数为____千瓦时，中位数为____千瓦时。

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16. 某市为估计两类居民家庭的月均用水量，按家庭类型分层抽样。甲类家庭占全市家庭的60%，抽取4户，记录为8、10、12、10立方米；乙类家庭占40%，抽取4户，记录为16、18、20、80立方米。核查发现乙类最后一条记录因仪器故障无效，且其余记录均有效。假设各层样本均能代表本层总体，按层占比加权估计全市家庭月均用水量为多少立方米？

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17. 某高校为管理自习室座位，依据开放时长 x（小时，8≤x≤14）的历史数据建立了座位需求预测模型 y=15x+60（y 为所需座位数）。现用两组未参与建模的数据检验：甲组 x=12，实际需求 235 人；乙组 x=18，实际需求 330 人。分析该建模案例可知：甲组数据对应的模型预测值为____人，模型预测与实际的误差为5人；乙组数据因自变量取值超出模型适用范围，属____（填“适用”或“不适用”）情形。

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18. 某温室拟建立日间平均气温模型。工作人员在同一位置、相同时间间隔测得5次温度，记录为20 ℃、22 ℃、77 ℉、24 ℃、26 ℃。已知摄氏温度与华氏温度的换算关系为摄氏温度＝(华氏温度−32)×5/9。将数据统一为摄氏温度后，这5次测量的平均值为多少？ A. 23 ℃　B. 23.4 ℃　C. 33.8 ℃　D. 22.5 ℃

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19. 某奶茶店为建立冬季每日热饮销量模型，连续6天记录了当日的销量数据：周一至周六依次为85杯、90杯、92杯、88杯、1500mL折算的杯数（按每杯500mL计）、90杯。建模前需将所有数据统一为"杯"：第五天销量为1500mL，折算为1500÷500=3杯后，若发现该值属于记录错误（当天实际营业，销量不可能低于80杯），应将其剔除，再用剩余5天数据计算平均日销量。按上述数据处理流程，修正并剔除错误数据后，这6天中有效数据的平均日销量是多少杯？

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20. 某园区管理团队建立路灯日耗电量模型 y=0.6x+40（x 为当日亮灯小时数，y 为耗电量，单位：千瓦时），用未参与建模的3天数据检验：第一天 x=50，实际耗电76；第二天 x=100，实际耗电92；第三天 x=150，实际耗电134。检验时正确做法是先算各天预测值与实际值之差的绝对值，再取平均得到平均绝对误差。据此判断，该模型的平均绝对误差为多少千瓦时？ A. 6　B. 18　C. 2/3　D. 9

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21. 某校为规划午餐时段饮水设备，依据若干普通上课日的就餐人数和饮水量建立了预测模型，拟用它预测后续普通上课日的饮水需求。下列哪种做法最能检验该模型是否适用？ A. 用未参与建模的普通上课日数据比较预测值与实际值，并分析误差　B. 只要模型能准确拟合建模所用数据，就认定它适用于后续日期　C. 用校园开放日的数据检验模型，并将误差直接视为模型对普通上课日的误差　D. 只要就餐人数与饮水量相关，就认定就餐人数是饮水量变化的唯一原因

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22. 某团队用前两次观测数据建立某路段通行时间模型，并用未参与建模的第三次观测数据检验模型。模型预测通行时间为48 min，第三次实际观测为50 min。若以实际观测值为基准，规定相对误差不超过5%时认为模型检验通过，则相对误差为____，检验结论为____。

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23. 某小区为建立垃圾分类投放需求模型，连续一周（7天）记录每日厨余垃圾投放人次，数据为：120、130、135、140、125、130、140。建模时以这7天记录的平均人次作为典型日的需求估计值。请计算该平均值，它应为多少人次？

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24. 某公园拟建立模型，预测不同开放时段的游客量。研究者先明确预测对象与使用范围，再收集相关数据、建立模型，并用未参与建模的数据检验预测效果。该案例中，明确预测对象与使用范围属于哪一步？ A. 提出问题　B. 收集数据　C. 建立模型　D. 检验模型

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25. 某温室管理团队拟建立模型，依据每日平均气温预测温室灌溉用水量。团队规定以每日平均气温（单位：℃）作为输入量，以当日灌溉用水量（单位：L）作为输出量，并收集连续若干日的数据进行分析。分析该建模案例时，模型的因变量是什么，单位是什么？

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26. 某校拟建立模型，根据每天的室外温度预测校园温室的日用电量。分析该建模案例时，用作模型输出量的变量是____。

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27. 某食堂建立模型预测每日厨余垃圾质量，并用未参与建模的若干天的实际记录与预测结果进行比较，以判断模型是否适用。这一做法属于数学建模案例分析中的哪一步？ A. 明确研究问题　B. 作出合理假设　C. 检验模型　D. 确定模型变量

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第5章 导数及其应用（27题）第6章 三角（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）引论（27题）第10章 空间直线与平面（27题）第2章等 等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章 圆锥曲线（9题）第1部分 数学建模活动案例（27题）第11章简单几何体（18题）第7章 三角函数（27题）

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