沪教版·数学（高中）高三上册《第3章空间向量及其应用》练习题

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本单元考点（4 个）

空间向量的概念与线性运算空间向量的数量积空间向量的坐标表示用空间向量求角与距离

本单元练习题（27 题）

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1. 物体在一个空间力场中受三个力 F1、F2、F3 的作用而保持平衡（即 F1+F2+F3=0）。已知其中 F1=2a+3b，F2=a−b，且向量 a、b 是一组基向量，满足 |a|=|b|=1，a⊥b。经测量发现 F3 恰好与某个向量 c=3a+2b 共线反向、长度相等。求力 F3 的大小是多少牛？

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2. 在空间直角坐标系中，一机械臂末端受到恒力 F 的作用，F 与向量 a=(1，2，2) 同向，且 |F|=6 N。机械臂末端在力 F 作用下发生位移 s，s 与向量 b=(2，−1，2) 同向，且 |s|=9 m。求力 F 对机械臂末端所做的功（单位：N·m）是多少？

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3. 某机器人手臂末端在空间直角坐标系中从位置P(1，2，−1)沿指令向量m=(3，−2，4)（坐标单位为分米）移动，随后又沿向量n=(−2，1，3)微调一次。这两次移动合并后的总位移可用向量PQ表示，向量PQ的坐标是什么？此时机器人末端到达的位置Q的坐标是多少分米？

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4. 某空间测量装置记录机械臂的位移向量。以米为单位，已知合位移 r=(9,4,7)，另有位移向量 v=(1,0,1)、w=(2,2,2)，且 r=2u−v+w。求位移向量 u？

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5. 一台巡检机器人在空间中移动，位移向量为 s=(3，0，3) m。某直线导轨的单位方向向量为 u=(2/3，1/3，2/3)，机器人沿导轨方向的位移等于 s·u。机器人沿导轨方向的位移是多少？

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6. 已知空间向量 a=(1，2，−1)，b=(2，−1，3)，则 a·b 等于（　） A. −3　B. 3　C. 1　D. −1

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7. 设向量 p、q 满足 p=2a−b，q=a+3b。用 p、q 表示向量 a，结果为（） A. (p+3q)/7　B. (3p+q)/7　C. (3p−q)/7　D. (p−3q)/7

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8. 在空间直角坐标系中，A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、D(1,1,1)。平面ABD与平面ABC所成锐二面角的大小，以及点C到平面ABD的距离，依次为（　） A. 45°，√2　B. 45°，2　C. 60°，√2　D. 60°，2

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9. 在空间中，点 A、B、C、D 满足向量 AB=u，向量 BC=v，且向量 AD=2u−v，则向量 CD=____。

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10. 某空间机器人沿位移向量 s=(1，2，−1) m 移动，作用在机器人上的力向量为 F=(2，1，3) N。求力向量 F 与位移向量 s 的数量积，结果用 N·m 表示？

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11. 在空间直角坐标系中，点A(1，−2，3)、B(4，0，−1)，点C满足向量AC＝2向量AB＋(1，−1，2)。向量AB的坐标为____，点C的坐标为____。

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12. 已知空间向量 a=(2，1，−3)，b=(1，−2，m)。若 a·b=−3，则实数 m=____；此时 |a|=____。

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13. 空间仓库中，一台巡检机器人先后按位移向量 u、v、w 行进，三个位移的合位移 r 满足 r=2u−v+w。以米为单位，已知 r=(8,3,6)，v=(2,1,0)，w=(4,0,2)，求位移向量 u？

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14. 在空间直角坐标系中，已知点M(2，−1，3)，N(−1，4，0)，则向量MN的坐标为____；点P(1，2，−2)关于点M的对称点Q的坐标为____。

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15. 设 a、b 是空间中两个不共线的向量，已知向量 p=3a−2b，q=−a+4b。若 mp+nq=5a（m、n 为实数），则 m=____，n=____。

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16. 某仓库用空间直角坐标系记录货物的位置，坐标单位为米。货物从位置A(−2，3，1)移动到位置B(4，−1，5)，用向量AB表示这段位移。向量AB的坐标是什么？

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17. 空间向量 a、b 与 x 满足 3x−2a=4b。用 a、b 表示 x：x=____。

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18. 在空间直角坐标系中，向量a＝2i－3j＋k，则向量a的坐标为（　　） A. (2，－3，1)　B. (2，3，－1)　C. (－3，2，1)　D. (1，－3，2)

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19. 在空间直角坐标系中，长度单位为米。向量u沿三个坐标轴正方向的有向分量依次为−250厘米、1.5米、40厘米，则向量u的坐标是（　） A. (−250，1.5，40)　B. (2.5，1.5，0.4)　C. (−2.5，1.5，0.4)　D. (−2.5，−1.5，0.4)

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20. 在四面体ABCD中，点P满足向量AP=(1/2)向量AB+(1/3)向量AC+(1/6)向量AD。则向量CP等于（） A. (1/2)向量AB−(2/3)向量AC+(1/6)向量AD　B. (1/2)向量AB+(4/3)向量AC+(1/6)向量AD　C. (1/2)向量AB−(1/3)向量AC+(1/6)向量AD　D. (1/2)向量AB−(2/3)向量AC−(1/6)向量AD

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21. 已知空间向量 a、b 不共线，向量 m=a+2b，向量 n=3a−b。若向量 p=m+n，则 p 用 a、b 表示为____；若向量 q=m−n，则 q 用 a、b 表示为____。

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22. 已知空间向量 a=(1，0，−2)，b=(2，1，−1)，则 a·b=____；((a+b)·(a−2b))=____。

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23. 在空间直角坐标系中，A(0,0,0)、B(1,0,1)、C(0,1,1)、D(0,0,2)。求直线AD与平面ABC所成的角θ，以及点D到平面ABC的距离d，(θ，d)为（　　） A. (arcsin(1/√3)，2/√3)　B. (arcsin(1/√3)，2/3)　C. (arccos(1/√3)，2/√3)　D. (arcsin(√3/2)，2/√3)

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24. 在空间直角坐标系中，坐标单位为1 cm，平面α的方程为x+z=2√2，平面β的方程为z=0。用空间向量求平面α与平面β所成的锐二面角，以及原点O到平面α的距离，依次为____；____。

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25. 在空间直角坐标系中，异面直线 l₁ 与 l₂ 的方向向量分别为 u=(1,0,1) 和 v=(1,1,0)，且 l₁ 经过点 P(0,0,3)，l₂ 经过点 Q(0,0,0)。则异面直线 l₁ 与 l₂ 所成角的大小及两直线间的距离分别为（　　） A. 60°，√3　B. 60°，3　C. 30°，√3　D. 45°，√3

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26. 某空间测量系统以米为坐标单位，检修平台所在平面经过 A(0,0,0)、B(1,−1,0)、C(1,0,−1)，一束激光沿直线 ℓ 从 O(0,0,0) 射向 E(1,1,0)，平台上方的传感器位于 P(1,1,1)。用空间向量求激光与平台平面所成的锐角，以及传感器到平台平面的距离？

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27. 在空间直角坐标系中，A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、P(1,1,1)。设平面ABP与平面ABC所成的锐二面角为θ，则有序数对（cosθ，点C到平面ABP的距离）为（　） A. (√2/2，√2)　B. (√2/2，2)　C. (√2/2，√2/2)　D. (1/2，√2)

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第5章导数及其应用（27题）第6章三角（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）引论（27题）第10章空间直线与平面（27题）第2章等等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章圆锥曲线（9题）第1部分数学建模活动案例（27题）第11章简单几何体（18题）第7章三角函数（27题）

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