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沪教版·数学（高中）高二下册《第3部分 数学建模活动B》练习题

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本单元考点（3 个）

数学建模活动B的任务要求实际问题的抽象与假设模型优化与结果检验

本单元练习题（27 题）

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1. 某工坊建立模型估计生产批数为x时的日利润（单位：百元）：P(x)=−2x²+24x−40，其中x为0至10的整数。模型用于安排生产；一次独立试产中，生产6批的实际利润为31百元。按模型确定使日利润最大的批数，并填入该批数对应的模型预测利润与实际利润的绝对偏差：____批；____百元。

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2. 某生态监测站计划配置x台同型号设备，x为0至10的整数。模型预测每日有效监测次数为M(x)=−2x²+24x+10（次）。为检验模型，另一次独立试运行中配置6台设备，实际监测到78次；若预测值与实际值的绝对误差不超过5次，则认为模型通过检验。按模型应配置多少台设备才能使预测次数最大，且该模型是否通过检验？

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3. 某研究小组为社区快递驿站建立了排队等候人数的数学模型，并通过采集一周的数据对模型进行了检验。按照数学建模活动B的任务要求，在检验模型之后、撰写结题报告之前，小组一般还应完成的下一项任务是____。

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4. 某快递站用模型估计每日揽收量为x（0≤x≤8，x为整数）时的配送延误件数：D(x)=−3x²+18x+5。为检验模型准确性，站点在独立试运行中安排x=3，实测延误件数为31件，与模型预测值D(3)=32相差1件。若规定误差不超过2件即认为模型通过检验，则该模型能否通过检验？请先求出模型预测值D(3)，再作出判断。

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5. 某快递站为估算每日派送电动三轮车所需电量，将问题抽象为电量消耗模型。站点每日派送包裹约300件，每车每次最多装载60件，观测发现每完成一次装载的全程派送约耗电20%。以下哪项假设是该模型成立所必需且最合理的？A. 每辆三轮车每日电量消耗与派送件数成正比，且比例恒定　B. 每辆车每次满载出发、按固定路线完成派送，每次全程耗电量近似相同　C. 所有包裹的重量和体积完全相同　D. 电动三轮车电池容量每日都不发生变化

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6. 某小组开展数学建模活动B，研究地铁站早高峰客流量随时间的变化，计划依次完成下列工作：①明确要解决的问题并收集数据；②建立客流量与时间的函数模型；③求出模型结果并结合实际作出解释；④将模型预测值与另采集的实际数据进行对比，必要时修正模型；⑤撰写结题报告并进行交流。若小组在完成①②后直接进入⑤，则按任务要求被遗漏的必要环节是（　） A. ③④　B. ①②　C. ②⑤　D. ①④

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7. 某社区搭建模型估计节水宣传覆盖的户数：设发放宣传单 x 份（x 为 0 至 12 的整数），模型预测覆盖户数为 W(x)=−3x²+36x+15（户）。(1) 为使预测覆盖户数最大，x 应取多少？此时预测覆盖多少户？(2) 社区随后进行独立实测，发放 6 份宣传单时实际覆盖 82 户，请计算模型预测值与实测值的差的绝对值，并判断：当差的绝对值不超过 5 户时模型通过检验，该模型是否通过检验？

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8. 某园艺场用模型 G(x)=−2(x−5)²+80 预测调节灌溉档位 x（x 为 0 至 10 的整数）时作物的日均生长量，单位为毫米。为使预测生长量最大，应选哪个档位？另在 x=3 时实测生长量为74毫米；若模型预测值与实测值相差不超过3毫米，视为检验通过，则模型是否通过检验？ A. 选5档，通过　B. 选5档，不通过　C. 选3档，通过　D. 选3档，不通过

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9. 某高中拟用抽样调查了解全校学生每天课外阅读的平均时长。为便于建立调查模型，以下哪项假设最恰当？ A. 每位学生每天阅读时长相同　B. 抽取的学生能代表全校学生，且回答真实　C. 全校学生每天都进行课外阅读　D. 调查结果不受抽样方式影响

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10. 开展数学建模活动B时，学生需要经历提出问题、建立模型、求解模型并解释结果等过程；对所得结果，还应结合实际情境进行____。

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11. 某校拟估算一个普通上学日早高峰所需的自行车停车位。全校有800名学生，抽样调查中25%的学生表示骑车上学；已知早高峰内骑车学生的车辆不会离开车位。为建立初步估算模型，下列哪项抽象与假设最合适？ A. 将样本比例视为全校骑车比例，并假设每名骑车学生占用一个车位，暂不计教职工车辆　B. 将样本比例视为全校骑车比例，并假设每辆车在早高峰内可依次供多名学生停放　C. 将全校学生都视为骑车者，并假设每名学生占用一个车位　D. 将样本比例视为全校骑车比例，并假设停车位需求与学生人数无关

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12. 某地铁站在某工作日连续观测半小时的入站人数，拟据此预测紧接着半小时的入站人数。若模型只使用这段观测期的总人数，以下哪项是使预测有依据的关键假设？ A. 每位乘客的年龄和出行目的相同　B. 观测期内每分钟的入站人数都相同　C. 两个相邻时段的平均入站速率相同　D. 观测期内出站人数与入站人数相同

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13. 某温室试验用模型 R(x)=-2x²+24x-40 估计每日产量（单位：千克），其中 x 为整数且 0≤x≤10，表示某设备的设置档位。为使模型预测产量最大，档位应设为____。试验在该档位测得实际产量为31千克，若规定模型预测值与实测值的相对误差不超过4%则检验通过，则该模型____（填“通过”或“不通过”）检验。

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14. 某社区拟建立简化模型，估计一场露天活动开始前的入场排队情况。观测记录包括入场人数和排队持续时间。为使模型聚焦于“到达与入场”这一过程，以下哪项假设最合适？ A. 每位观众的到达时刻完全相同 B. 观测期间观众按大致稳定的速率到达，工作人员的入场处理方式保持不变 C. 所有观众的身高和年龄完全相同 D. 观测期间没有观众进入活动场地？

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15. 某小组用数学模型预测校园雨水收集量，模型给出的结果与实际观测值差异较大。按照数学建模活动B的任务要求，在汇报结果前，小组还应重点完成哪一项任务？

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16. 某小组开展数学建模活动B，研究地铁站早高峰客流疏散时间问题。他们先明确了研究对象与建模目的，接着采集客流数据、作出合理假设并建立了模型。经过求解得到疏散时间的估计值后，小组将模型结果与两次实地观测数据对比，发现误差较大，于是调整假设并改进了模型。按照数学建模活动B的任务要求，上述“将模型结果与实际观测数据对比并调整模型”的过程称为模型的____；在最终提交的建模报告中，除问题的提出、模型假设外，还必须写明模型的建立与求解过程以及____。

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17. 某组已完成问题分析、模型建立与求解，准备提交数学建模活动B的成果。按照活动任务要求，他们应将研究过程与结论整理成一份____。

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18. 某小组准备建立模型，研究校园图书馆每日的入馆人数。按照数学建模活动B的任务要求，在建立模型前，小组应先完成哪项工作？ A. 明确研究问题并作出合理假设　B. 直接公布模型预测结果　C. 省略数据依据并确定结论　D. 只检查报告的文字格式

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19. 某数学建模小组为学校食堂午间排队问题建立模型：12:00 时窗口前已有排队学生 20 人，此后每分钟新到 8 人，3 个打饭窗口合计每分钟可为 12 名学生打饭。小组按数学建模活动B的任务要求，采集实际数据对模型进行了检验，检验结果表明模型符合实际。按此模型，从 12:00 起，再经过多少分钟排队学生恰好全部打完饭？

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20. 某校开展数学建模活动B，要求小组依次完成：①提出并明确实际问题；②作出假设并建立模型；③求解模型并解释结果；④将结果放回实际情境检验合理性；⑤交流展示并反思改进。小组已完成求解和结果解释，接下来应完成上述第几阶段？

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21. 某社区用模型 N(x)=−x²+14x+20 估计设置 x 个共享单车停放点后居民步行可达的可用车辆数（单位：辆），其中 x 为 0 至 12 的整数。（1）为优化投放方案，应设置____个停放点，此时该模型预测的可用车辆数达到最大，为____辆。

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22. 某档案室用一台扫描仪估算扫描一批档案所需时间：此前测得连续扫描时每分钟可扫描24页，据此预测扫描432页需18分钟。要使这一预测成立，最关键的假设是（　）。①每页档案的纸张颜色相同；②扫描期间每分钟扫描页数保持为24页；③档案按年份先后排列。填入符合条件的序号：____

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23. 某灌溉试验田用模型 W(x)=−3x²+36x+20 估计流量档位为 x（0≤x≤12，x为整数）时的有效覆盖面积（单位：平方米）。为检验模型，另作一次独立测试：取 x=4，模型预测值为____；实测有效覆盖面积为 104 平方米，则实测值与预测值之差为____平方米。

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24. 某高中食堂开设一个打饭窗口进行建模观测：11:45开始供餐，至12:05共观测到120名学生到达该窗口排队，先到者先打饭。建模时将问题抽象为：学生到达过程均匀，平均分配在整个20分钟观测时段内；每名学生打饭耗时20秒，窗口从11:45起不间断服务且无空转。若上述假设成立，最后一名学生打完饭的时刻是几点几分？

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25. 某图书馆拟估算整理一批新到图书所需的人力时间。此前观测到一名管理员整理图书时平均每小时可整理40册。为据此预测整理1200册图书所需时间，模型必须依赖的最关键假设是（　）。A. 每册图书的页数完全相同　B. 整理速度在整个过程中保持稳定，不因图书内容或疲劳而明显变化　C. 图书馆的书架数量足够容纳这批图书　D. 管理员整理时按图书价格从高到低排列

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26. 某校拟估算春季某日给校内花圃一次浇水所需的水量，已知花圃分成若干块，计划按各块面积统一确定浇水深度。为建立简化模型，以下哪组假设最恰当？ A. 各块花圃面积相同，且植物种类完全一致　B. 各块花圃的单位面积浇水量相同，浇水过程中无明显蒸发或洒漏　C. 每块花圃的土壤含水量相同，且浇水时间相同　D. 花圃面积、植物种类和土壤含水量均不影响所需水量

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27. 校气象社研究“校园雨水桶在不同降雨量下的蓄水变化”。甲组先确定研究问题，收集降雨与蓄水数据，提出简化假设并建立模型，求解后用另一场降雨的实测数据检验预测，最后展示结论并说明模型局限；乙组先选用现成公式算出预测值，再据此确定研究问题，并直接展示结果。按数学建模活动B的任务要求，哪一组的流程符合要求？

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第5章 导数及其应用（27题）第6章 三角（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）引论（27题）第10章 空间直线与平面（27题）第2章等 等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章 圆锥曲线（9题）第1部分 数学建模活动案例（27题）第11章简单几何体（18题）第7章 三角函数（27题）

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