大学理论力学上册《虚位移原理与分析力学基础》练习题

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本单元考点（4 个）

自由度与广义坐标虚位移与虚功的概念虚位移原理的应用广义力的计算

本单元练习题（27 题）

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1. 不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮，一端悬挂质量为 2 kg 的物块 A，另一端连接置于倾角 30° 光滑斜面上、质量为 3 kg 的物块 B。取 A 竖直下降的位移 x 为广义坐标，重力加速度 g 取 10 m/s²，绳与滑轮质量不计。则对应于广义坐标 x 的广义力 Q_x = ____ N。

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2. 均匀杠杆可绕光滑水平轴 O 在竖直平面内转动，杆保持水平。O 点左侧距离 2l 处悬挂重 G₁ 的物块，右侧距离 3l 处悬挂重 G₂ 的物块。系统处于平衡，现给杆一个虚转角 δφ，由虚位移原理，两物块虚功之和为零时应满足的关系是（） A. G₁·2l·δφ = G₂·3l·δφ　B. G₁·2l·δφ + G₂·3l·δφ = 0　C. G₁·3l = G₂·2l　D. G₁ = G₂

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3. 光滑水平面上放一楔角为 α 的固定斜面，一重为 G 的物块置于斜面上并用一端固定于斜面顶端的轻绳系住，绳平行于斜面。设物块只沿斜面方向有虚位移 δs，则由虚位移原理，绳的张力 T 满足：A. T=Gsinα　B. T=Gcosα　C. T=Gtanα　D. T=G

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4. 螺旋千斤顶的手柄长 L=0.5 m，端点处垂直于手柄施加水平力 P=20 N，螺距 h=2π mm，螺纹与各接触面均视为光滑。设手柄端点沿力方向的虚位移为 δs，螺母（连同所顶重物）沿轴向的虚位移为 δy，忽略螺距角引起的其余约束，由虚位移原理 δW = P·δs − G·δy = 0，且几何关系给出 δs/δy = 2πL/h。则该千斤顶能顶起的重物重量 G = ____ N（取 π≈3.14 亦可整除）。

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5. 一根不计重量的水平直杆可绕光滑水平轴 O 在竖直平面内转动，杆长 1.2 m。杆的 A 端（距 O 为 1.2 m）竖直悬挂重 G=60 N 的物块。现于杆上距 O 为 x 处施加一个竖直向上的力 F=90 N，使杆保持水平平衡。系统只有一个自由度，取杆绕 O 的微小转角 δθ 为虚位移。由虚位移原理，力 F 与重力 G 对应的虚功之和为零，由此方程解得 x=____ m。

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6. 在三维空间中取直角坐标系 Oxyz。四个质点 A、B、C、D 之间用三根刚性轻杆依次连接：A 与 B 之间杆长 l₁，B 与 C 之间杆长 l₂，C 与 D 之间杆长 l₃；质点 A 被固定铰支约束在原点 O 处。整个系统可自由运动，各杆均可绕其端点向任意方向转动。(1) 确定该系统的自由度 s（写出坐标总数与约束方程数并作差）；(2) 选定一组广义坐标（共 s 个），并用文字说明每个广义坐标描述哪个部分的运动；(3) 若将 A 的固定铰支改为允许 A 沿竖直 z 轴无摩擦滑动的滑块约束（其余条件不变），重新确定系统自由度。

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7. 两根等长轻杆 AB、BC 在 B 处光滑铰接，杆长均为 l。A 端铰接于固定点，C 端为滑块，被约束在过 A 点的光滑水平导轨上滑动，整个系统位于竖直平面内。两杆与竖直方向夹角均为 θ，形成对称的 V 形。在铰 B 处悬挂重 G = 16 N 的物块，在滑块 C 上施加沿导轨方向的水平拉力 F。所有接触与铰链均光滑。用虚位移原理求系统平衡时拉力 F 的大小（取 tanθ = 3/4）。 A. 4 N　B. 6 N　C. 8 N　D. 12 N

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8. 质量 m=2 kg 的小球在竖直平面内运动，受重力 P=mg 作用（g 取 10 m/s²，方向沿 z 轴负向）。设某时刻约束允许小球产生竖直向上的虚位移 δz=0.5 m，且此时约束是理想双面约束。求重力在此虚位移上所做的虚功 δW。

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9. 质量 m=2 kg 的滑块置于倾角为 30° 的光滑斜面上（g 取 10 m/s²，重力竖直向下）。设某时刻约束允许滑块产生沿斜面向上的虚位移 δs = 0.4 m。已知沿斜面向上作用于滑块的主动力 F = 30 N，重力 P = mg 为主动力，约束为理想约束、约束反力不做虚功。求：（1）各主动力在该虚位移上做的虚功；（2）主动力系的总虚功。

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10. 质点被约束在固定水平面 z=0 上运动，其所受主动力为 F=(3i+4j) N，方向恒定。关于该质点的虚位移与虚功，下列说法正确的是（　） A. 虚位移 δz 可取任意非零值，虚功 δW=3δx+4δy B. 虚位移只能在水平面内取，即 δz=0，虚功 δW=3δx+4δy C. 虚位移就是质点实际发生的位移，虚功即真实力做的功 D. 虚位移可在空间任意方向取，虚功 δW=3δx+4δy+5δz

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11. 一质点被约束在固定的光滑球面 x²+y²+z²=R²（z≥0）上处于静止。关于该质点在某一时刻的虚位移，下列说法正确的是：A. 虚位移是质点在微小时间间隔 dt 内实际发生的位移　B. 任何方向的微小位移都可以作为虚位移　C. 虚位移是约束允许的、位置函数在固定时刻下的无限小变更，位于球面在该点的切平面内　D. 虚位移必须沿重力方向才满足虚功原理

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12. 质点在水平面内运动，取广义坐标 q，质点位矢的分量分别为 x = q + q²，y = q²。已知作用于质点的主动力为恒力 F = (4i + 6j) N（沿 x、y 方向）。当 q = 1 时，对应于广义坐标 q 的广义力 Q = ____ N。

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13. 在直角坐标系 Oxyz 中，一个质点同时受两个理想约束：被限制在球面 x² + y² + z² = 25 上运动，又被限制在平面 z = 3 上运动。该质点的自由度数为 ____；若选取质点绕 z 轴的方位角 θ 为广义坐标，则约束曲线的半径为 ____（长度单位）。

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14. 质量为 2 kg 的质点置于倾角为 30° 的光滑斜面上，取质点沿斜面向上滑动的弧长 s 为广义坐标，重力加速度 g 取 10 m/s²。对应于广义坐标 s 的广义力 Q_s 为（　　） A. 10 N　B. -10 N　C. 10√3 N　D. -20 N

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15. 质点在竖直平面内运动，取广义坐标 q 为极径（极角固定为 30°），位矢分量为 x=q·cos30°，y=q·sin30°。已知作用于质点的主动力为 F=(2√3, 2) N（沿 x、y 方向的分量）。由 x=√3q/2，y=q/2，得虚位移 δx=(√3/2)δq，δy=(1/2)δq。根据 δW=Q·δq，则对应于广义坐标 q 的广义力 Q=____ N。

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16. 质量 m=2 kg 的小球受重力 P=mg（g 取 10 m/s²，方向竖直向下，沿 z 轴负向）作用，某时刻小球满足的约束允许它产生竖直向上的虚位移 δz = 0.3 m，水平方向虚位移为零。求重力 P 在该虚位移上所作的虚功 δW。

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17. 质点在平面内运动，取广义坐标 (r, θ)，其势能函数为 V(r)=kr³（k 为常数，k≠0），重力等其他主动力不做功。则该系统对应广义坐标 r 的广义力 Q_r = ____。

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18. 一平面双摆由两个质点组成：质点1经长为 l₁ 的不可伸长轻杆悬挂于固定悬点，质点2经长为 l₂ 的不可伸长轻杆与质点1相连，两杆均可绕其连接点在竖直平面内自由转动。不计杆的质量与形变。关于该系统的自由度数与一组合理的广义坐标，下列说法正确的是（　） A. 自由度为2，可取两杆与竖直方向夹角 θ₁、θ₂ 为广义坐标 B. 自由度为4，可取两质点的平面直角坐标 x₁、y₁、x₂、y₂ 为广义坐标 C. 自由度为1，仅可取夹角 θ₁ 为广义坐标 D. 自由度为3，可取 θ₁、θ₂ 与杆长 l₁ 为广义坐标

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19. 在竖直平面内，质点A被约束沿水平x轴滑动，质点B通过一长为l的刚性轻杆与A连接。取A的坐标为(x_A, y_A)，B的坐标为(x_B, y_B)。(1) 写出系统的完整约束方程，判断其属于哪类约束（几何或运动、定常或非定常）；(2) 求系统的自由度数；(3) 选取一组广义坐标，并将B的坐标用广义坐标表示。

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20. 在竖直平面内取直角坐标系 Oxy。质点 A 固定于原点 O，质点 B 与 A 之间用长为 l₁ 的刚性轻杆连接，质点 C 与 B 之间用长为 l₂ 的刚性轻杆连接，两杆均可绕连接点在平面内自由转动。忽略所有约束的其它限制，试求：(1) 该系统的自由度数；(2) 选取一组适当的广义坐标，并用所选广义坐标写出质点 B、C 的直角坐标表达式（约定 x 轴水平向右，y 轴竖直向上，角度从 x 轴正方向逆时针量起）。

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21. 质点在竖直平面内运动，取广义坐标 q（单位为 m），质点位矢的分量为 x = q²，y = 2q。已知作用于质点的主动力为恒力 F = (3i + 4j) N。求对应于广义坐标 q 的广义力 Q。

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22. 在直角坐标系 Oxyz 中，一质点被理想约束限制在旋转抛物面 x² + y² = 4z（z ≥ 0）上运动，且不受其他约束。(1) 写出该质点所受约束方程，并指出约束的类型（完整约束还是非完整约束、稳定还是非稳定约束）；(2) 确定该质点的自由度数；(3) 选取一组合适的广义坐标，写出质点的直角坐标 (x, y, z) 用广义坐标表示的参数化表达式。

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23. 质点在平面内运动，取广义坐标 q（单位为 m），质点位矢的分量 x = q³，y = q。已知作用于质点的主动力为恒力 F = (2i + 6j) N，则对应于广义坐标 q 的广义力 Q = ____ N（用 q 表示）。

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24. 一质点在平面内运动，取广义坐标 q，其位矢分量为 x=q²，y=3q。已知作用于质点的主动力为 F=(6, 2)（单位 N，沿 x、y 方向）。当 q=1 时，对应于广义坐标 q 的广义力 Q 为多少？ A. 12 N B. 16 N C. 18 N D. 24 N

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25. 质点在竖直平面内运动，取广义坐标 (q₁, q₂)，质点位矢的分量为 x = q₁ + q₂，y = q₁·q₂。已知作用于质点的主动力为恒力 F = (3i + 4j) N（沿 x、y 方向）。当 q₁ = 2、q₂ = 1 时，求对应于广义坐标 q₁ 和 q₂ 的广义力 Q₁ 与 Q₂。

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26. 一个由 n 个质点组成的力学系统，每个质点在三维空间中有 3 个直角坐标。若系统受到 s 个独立的完整约束，则系统的自由度数为 ____；广义坐标的个数与自由度数____（填“相等”或“不相等”）。

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27. 一根质量均匀的直杆 AB，长为 l，重 G=200 N，其 A 端置于光滑水平地面上，B 端靠在光滑竖直墙上，杆位于与墙垂直的竖直平面内，杆与地面成 θ=45° 角。另有一根水平轻绳，一端系于 A，另一端系于墙角，绳中张力 T 使系统保持平衡。试用虚位移原理求绳的张力 T。（提示：取杆与地面夹角 θ 为广义坐标，A 端坐标 x_A=l·cosθ，杆质心高度 y_C=(l/2)·sinθ） A. 50 N　B. 100 N　C. 100√2 N　D. 200 N

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