大学金融工程上册《二叉树期权定价》练习题

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本单元考点（5 个）

单期二叉树定价模型风险中性概率的求解多期二叉树定价方法Delta的含义与计算二叉树模型的应用与扩展

本单元练习题（27 题）

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1. 某股票现价为50元，一期后股价只有60元或45元两种可能，无风险资产一期增长因子为1.05。执行价为52元的欧式看涨期权一期到期。按单期二叉树风险中性定价，该期权现值为____元。

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2. 某股票现价 S₀=100 元，每期二叉树中股价上涨因子 u=1.2、下跌因子 d=0.8，每期无风险利率为 0（r=0），共两期。期初买入一份执行价格 K=100 元的欧式看涨期权，利用两期二叉树模型的风险中性定价方法，该期权的期初价格是多少元？ A. 16.50　B. 20.00　C. 24.75　D. 27.50

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3. 某股票现价为100元，6个月后只可能升至120元或降至90元。无风险资产年有效收益率为10.25%，且6个月内收益率确定。执行价为105元的欧式看涨期权6个月后到期。假设不存在套利，请用单期二叉树模型计算该期权当前价格，结果精确到0.01元。

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4. 设某股票现价 S₀=80 元，市场无风险利率为每期 25%（单期复利）。已知未来两期中，每期股价要么上涨 50%，要么保持不变。一份以该股票为标的、执行价格 K=100 元的欧式看涨期权，两个月后（恰好两个完整期间）到期。利用两期二叉树风险中性定价方法，该期权的当前理论价格为 ____ 元。

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5. 某不支付股息的股票现价为50元，未来两期每期上涨因子u=1.2、下跌因子d=0.8，每期无风险利率为10%（单期复利）。执行价格为50元的欧式看涨期权期限为两期。请用二期二叉树风险中性定价法计算期权现值。

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6. 设某股票当前价格 S₀=40 元，一期后股价以概率上涨至 40×1.25=50 元或下跌至 40×0.8=32 元。市场无风险利率为连续复利以外的单期利率 2%（即一期无风险资产收益因子为 1.02）。在无套利二叉树模型下，求该模型的风险中性概率：上涨概率 q 与下跌概率 1−q（结果保留四位小数）。

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7. 某不支付股息的股票现价 S₀=60 元，两期二叉树中每期上涨因子 u=1.4、下跌因子 d=0.7，每期无风险利率为 5%（单期复利）。以该股票为标的、执行价格 K=60 元的两期欧式看涨期权，期初价格为多少元（精确到小数点后两位）？ A. 13.06　B. 14.40　C. 12.25　D. 15.00

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8. 某无股息股票在第一期上涨、下跌时分别变为当前价格的1.22倍和0.86倍，无风险资产该期毛收益率为1.03。若第一期下跌，第二期股票上涨、下跌时分别变为该节点价格的1.18倍和0.82倍，无风险资产第二期毛收益率为1.04。按“先第一期、再第一期下跌后的第二期”排列，风险中性上涨概率应为哪一组？ A. 17/36，11/18　B. 19/36，11/18　C. 17/36，13/18　D. 11/18，17/36

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9. 某股票现价 S₀=60 元，3 个月后股价要么上涨 25%（u=1.25）至 75 元，要么下跌至 48 元（d=0.8）。无风险年连续复利利率为 5%。以该股票为标的、执行价 K=65 元、3 个月后到期的欧式看涨期权，用单期二叉树风险中性定价法估值：风险中性上涨概率 p=____（保留 4 位小数），期权当前价值 C₀=____ 元（保留 3 位小数）。

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10. 某不付红利股票现价为60元，每期末股价上涨为原来的1.3倍或下跌为原来的0.75倍，每期无风险资产增长因子为1.04。按两期二叉树风险中性定价，执行价为62元、两期到期的欧式看跌期权的当前理论价值为____元（保留两位小数）。

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11. 某股票现价为100元，一年后股价可能为120元或80元。无风险年有效利率为10%，执行价为100元的一年期欧式看涨期权的单期二叉树无套利价格为____元。

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12. 某外汇期权的标的为1单位外币，当前汇率为10.00元本币/单位外币。一个期间后汇率可能上升至当前的1.2倍或下降至当前的0.9倍；期间本币、外币无风险增长因子分别为1.03和1.01。执行价为10.50元本币/单位外币的欧式看涨期权在期末到期。按外汇二叉树风险中性定价，计算该期权当前价格，结果保留三位小数。

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13. 某不支付股息的股票现价为40元，未来两期每期股价上涨因子u=1.5、下跌因子d=0.75，无风险利率为每期12.5%（单期复利）。以该股票为标的、执行价格K=45元的两期欧式看涨期权价格为多少？A. 80/9元　B. 10元　C. 40/3元　D. 45/4元

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14. 某股票现价 S₀=50 元，6 个月后股价要么上涨至 60 元（u=1.2），要么下跌至 45 元（d=0.9）。无风险年连续复利利率为 5%。以该股票为标的、执行价 K=52 元的欧式看涨期权 6 个月后到期，则该期权今天的理论价格为多少元？（保留两位小数） A. 2.86 B. 3.26 C. 3.58 D. 4.12

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15. 某欧式看跌期权标的股票在单期二叉树节点上，下一期价格上行至 90 元，下行至 70 元。该看跌期权在股价下行状态的价值为 12 元，且在该节点的 Delta 等于 -0.4。求该看跌期权在股价上行状态的价值。

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16. 某不支付股息的股票现价为100元，连续三期采用相同二叉树参数：每期上涨因子u=1.2、下跌因子d=0.9，无风险利率为每期5%（单期复利）。以该股票为标的、执行价格K=110元的欧式看涨期权到期日为第三期。按风险中性概率并用多期二叉树向后递推，期初期权价值最接近多少？ A. 11.84元　B. 13.13元　C. 15.20元　D. 18.24元

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17. 某无分红股票现价为60元，每期末股价按二叉树上行至当期的1.2倍或下行至当期的0.8倍，每期无风险资产增长因子为1.05。考虑执行价为55元、两期到期的美式看跌期权。(1) 求风险中性上行概率；(2) 计算各节点的期权持有价值与内在价值，判断是否存在提前行权的最优时点；(3) 给出该美式看跌期权在初始时刻的价值。

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18. 某股票现价 S₀=70 元，一年后股价要么上涨至 80.5 元（上涨因子 u=1.15），要么下跌至 66.5 元（下跌因子 d=0.95）。无风险年连续复利利率为 5%。以该股票为标的、执行价格 K=75 元的一年期欧式看涨期权的单期二叉树风险中性价格为____元（保留两位小数）。

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19. 某一期间二叉树中，标的资产期末价格可能为125元或95元。某期权对应的期末价格分别为Cᵤ和8元；该期权在此节点的Delta为0.6，即期权价格变动与标的资产价格变动之比。Cᵤ为____元。

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20. 某股票现价为100元，未来两期每期上涨因子为1.2、下跌因子为0.9，无风险利率为每期5%。不支付股息，且每期风险中性概率相同。执行价为100元的两期欧式看涨期权到期支付max(S₂−100,0)。用多期二叉树方法计算期权现值。

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21. 某股票现价为100元，每期末股价只可能上涨至原来的1.2倍或下跌至原来的0.9倍；每期无风险资产增长因子为1.05。考虑执行价为105元、期限为两期的美式看跌期权，且可在任一节点提前行权。按二叉树风险中性定价，其当前价值最接近： A. 5.44元　B. 7.14元　C. 8.16元　D. 15.00元

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22. 设某股票当前价格 S₀=40 元，一年后股价要么上涨至 52 元（上涨因子 u=1.3），要么下跌至 32 元（下跌因子 d=0.8）。市场无风险年利率为 5%（连续单期，按年计），不存在红利。请用单期二叉树模型为一份以该股票为标的、执行价格 K=38 元、期限一年的欧式看涨期权定价：(1) 求风险中性概率 p（上涨概率）与 1−p；(2) 计算该期权的无套利价格 C₀。

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23. 某股票在每个一期区间内均不支付股息，无风险资产每期毛收益率为1.04。股票价格从时点0到时点1可能分别乘以1.30或0.80；若时点1上涨，下一期可能分别乘以1.20或0.90；若时点1下跌，下一期可能分别乘以1.15或0.75。求三个决策节点各自的一期风险中性上涨概率。

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24. 某无分红股票现价为80元，每期末股价均为当期股价的1.25倍或0.8倍；每期无风险资产增长因子为1.05。考虑执行价为85元、两期到期的欧式看涨期权。到第一期股价上涨节点，构造复制该期权的下一期收益的组合时，所需持有的股票数量为____股。

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25. 某期权在同一二叉树节点的两个后继状态中，标的资产价格分别为每股84元和72元，期权价格分别为每份6.5元和4.1元。按二叉树定义，该期权在此节点的Delta为多少？ A. 0.15　B. 0.20　C. 0.30　D. 0.40

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26. 某股票现价 S₀=80 元，3 个月后股价要么上涨至 96 元（u=1.2），要么下跌至 72 元（d=0.9）。无风险年连续复利利率为 8%。以该股票为标的、执行价 K=80 元的欧式看涨期权，3 个月后到期。则风险中性概率 p=____（保留四位小数），该期权的当前价值为____元（保留两位小数）。

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27. 某不支付股息的股票现价为72元，未来三期每期股价均上涨至原来的1.25倍或下跌至原来的0.8倍，每期无风险利率为5%（单期复利）。执行价格为80元的欧式看跌期权到期日为第三期。用三期二叉树风险中性定价，期权现值最接近： A. 8.72元　B. 9.64元　C. 11.16元　D. 12.42元

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