鄂教版·数学高三上册《第1章空间向量与立体几何》练习题

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本单元考点（5 个）

空间向量的线性运算与坐标表示空间向量的数量积及夹角计算用空间向量求异面直线所成的角用空间向量求线面角与二面角用空间向量求点面距离

本单元练习题（27 题）

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1. 某展馆安装一个长、宽、高分别为3 m、4 m、5 m的长方体框架，取一个底面顶点为A，与A相对的底面顶点为C，C正上方的顶点为C₁。工作人员用空间向量计算棱AC₁与底面所成的角，并计算底面与经过底面一条边的侧面所成的二面角，所得两角分别是多少？

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2. 某机械工件的三维模型中，以工件底部某点O为原点建立空间直角坐标系（单位：cm）。已知工件上有四个顶点：A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(4,0,4)，D(8,0,8)。其中杆件AB与杆件CD为异面直线。工程验收规定，两杆件所在直线所成的角不得超过60°。用空间向量方法计算，杆件AB与CD所成的角是多少度？该工件是否符合验收规定？

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3. 某装置受到两个力向量 F₁、F₂的作用，大小分别为 3 N 和 4 N，合力 F₁+F₂的大小为 √37 N。求 F₁·F₂的值及 F₁与 F₂夹角的大小？

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4. 在空间直角坐标系中，已知异面直线 l₁ 经过点 A(1,0,2) 与 B(3,2,2)，异面直线 l₂ 经过点 C(0,1,0) 与 D(0,2,1)，则异面直线 l₁ 与 l₂ 所成角的余弦值为（　） A. 1/2　B. -1/2　C. √2/2　D. 1

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5. 某自动化仓储库房建立空间直角坐标系（单位：米），以地面一角为原点。一台巡检机器人从监控点 A(1,1,2) 出发，先直线行驶到检修点 B(3,3,1)，再直线行驶到充电点 C(4,1,6)。若把机器人从 A 到 B 的位移记为向量 a，从 B 到 C 的位移记为向量 b，请用坐标表示法求机器人全程的总位移向量 a+b 的坐标，并计算全程位移的大小是多少米？

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6. 仓储机器人先后沿两个方向执行位移，位移向量分别为 u=(1，1，0) m、v=(1，2，2) m。为评估两段运动方向的配合情况，求 u·v 的值及两段位移方向的夹角？

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7. 空间定位设备记录某探测器先后两段位移向量分别为 u=(2，0，0) m、v=(1，1，√2) m。求两段位移向量的数量积及其夹角？

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8. 某室内巡检设备以东、北、上为坐标轴正方向，坐标单位为分米。一次校准中，设备沿路线甲的位移向量为u=(12，−5，8)，沿路线乙的位移向量为v=(−3，4，2)。现按“路线甲位移重复3次，再沿路线乙反向移动2次”的方案运行，所得总位移用米作坐标单位表示是多少？

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9. 空间直角坐标系中，异面直线 l₁、l₂ 分别经过点 A(0,0,0)、B(0,0,1)，方向向量分别为 (1,1,0)、(1,0,1)。则 l₁ 与 l₂ 所成的角为（　） A. 30°　B. 60°　C. 90°　D. 120°

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10. 在空间直角坐标系中，某雕塑支架模型上有四个连接点：A(0,0,0)，B(1,1,0)，C(1,0,1)，D(1,1,2)（单位：m）。支撑杆 AB 与 CD 所在直线为异面直线，工程上要求计算这两根支撑杆所成角度以确定连接件规格。求直线 AB 与 CD 所成角的余弦值是多少？

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11. 已知空间向量 a=(1,2,-1)，b=(-2,0,3)，则 2a-b 的坐标为（　　） A. (4,4,-5)　B. (0,4,1)　C. (4,4,1)　D. (0,4,-5)

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12. 在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱BC的中点，则直线DP与平面ACC₁A₁所成角的正切值为（　　） A. 1/3　B. 3　C. √10/10　D. 2/3

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13. 在直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 (1,0,√3)，平面 α、β 的方程分别为 x=0、x+√3y=0。则直线 l 与平面 α 所成角及平面 α、β 所成锐二面角的大小依次为（　） A. 30°，60°　B. 60°，30°　C. 30°，90°　D. 60°，90°

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14. 在空间直角坐标系中，直线 l 的方向向量为 u=(1,0,0)，平面 α 的法向量为 n₁=(0,1,0)，平面 β 的法向量为 n₂=(0,1,1)，且直线 l 在平面 α 内。则直线 l 与平面 β 所成角的正弦值为____，二面角 α-l-β 的平面角大小为____。

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15. 直线 l₁ 的参数方程为 (x,y,z)=(t,0,0)，直线 l₂ 的参数方程为 (x,y,z)=(s,1+s,1)，其中 t、s∈R。两直线异面，利用它们的方向向量求 l₁ 与 l₂ 所成的角，填：____°。

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16. 在空间直角坐标系中，直线 l₁ 经过点 A(0,0,0) 与 B(1,1,√2)，直线 l₂ 经过点 C(0,0,1) 与 D(2,0,1)，且 l₁ 与 l₂ 为异面直线，则异面直线 l₁ 与 l₂ 所成角的余弦值为____，该角的大小为____（用度表示）。

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17. 已知空间向量 a=(1，0，0)，b=(1，√3，0)，则 a·b 与 a、b 的夹角分别为（　　） A. 1，60°　B. 2，60°　C. 1，120°　D. 2，120°

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18. 在空间直角坐标系中，某楔形构件的斜面 γ 的法向量为 n=(0,0,2)，一条支撑杆所在直线的方向向量为 u=(1,0,1)。若支撑杆与斜面 γ 不垂直，则支撑杆所在直线与斜面 γ 所成角的大小是多少？

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19. 空间直角坐标系中，异面直线 l₁、l₂ 分别为 (x,y,z)=(t,t,0) 与 (x,y,z)=(s,0,1+s)，其中 t、s∈R。求 l₁ 与 l₂ 所成的较小角的大小。 A. 30°　B. 60°　C. 90°　D. 120°

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20. 已知点 A(1,2,3) 与平面 α: 2x−y+2z−1=0，利用空间向量求点面距离的方法，点 A 到平面 α 的距离为 ____。

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21. 在空间直角坐标系中，A(1，−2，0)、B(3，1，−1)、C(−1，2，2)。若向量 v=2AB−BC，则 v 的坐标为____。

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22. 空间直角坐标系中，A(0,0,0)、B(1,1,0)、C(0,1,1)确定平面α，点P(t,1,0)满足t>1。若点P到平面α的距离为2/√3，则t=____。

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23. 已知空间向量 a=(2,−1,3)，b=(1,4,−2)。若向量 ka−b 的坐标为 (5,−7,11)，其中 k 为实数，则 k=____，此时向量 a+2b 的坐标为____。

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24. 已知空间向量 a=(2,1,−1)，b=(0,−3,2)，c=(1,0,4)，则向量 3a−2b 的坐标为____；向量 a+b−c 的坐标为____。

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25. 已知空间向量 a=(2，1，0)，b=(1，1，2)，则 a·b 与 a、b 夹角的余弦值分别为（　　） A. 3，√30/10　B. 5，√30/10　C. 3，3/10　D. 3，√5/6

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26. 在空间直角坐标系中，O为原点，A(2，−1，0)、B(2，2，−3)，平面α由O、A、B三点确定，点P(2，1，1)到平面α的距离为____。

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27. 已知空间向量 a=(1,0,1)，b=(1,1,2)，则 a·b 的值以及 a 与 b 夹角的大小分别为（　　） A. 3，30°　B. 3，60°　C. 5，60°　D. 3，120°

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鄂教版·数学其他单元练习题

第1章函数的概念与性质（27题）第1章数列（27题）第1章平面向量及其应用（27题）第1章集合（9题）第1章概率（27题）第2章常用逻辑用语（27题）第2章一元函数导数及其应用（27题）第2章幂函数、指数函数、对数函数（18题）第2章复数（27题）第2章统计（27题）第2章平面解析儿何初步（27题）第3章立体几何初步（9题）

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