鄂教版·数学高二上册《第1章平面向量及其应用》练习题

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本单元考点（5 个）

平面向量的概念与线性运算平面向量的基本定理与坐标表示平面向量的数量积及其应用余弦定理、正弦定理及其应用解三角形及测量中的实际应用

本单元练习题（27 题）

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1. 已知非零向量 a、b 满足 |a|=7，|b|=3，且 |a+b|=4，则 |a−b| 的值为（　　） A. 6　B. 8　C. 10　D. 18

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2. 为测量海中一座小岛上的信号塔高度，测量船沿海岸线航行。测得海岸线上两点 A、B 之间的距离 AB=120 m，小岛顶点 C（信号塔的底部中心）与 A、B 构成三角形 ABC，其中 ∠CAB=30°，∠CBA=60°。又在 A 处测得塔顶 T 的仰角为 30°，塔 TC 垂直于海平面。求这座信号塔的高度 TC 为多少米？

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3. 某物流园区用坐标系记录无人机位置（单位：km）。一架无人机从仓库 A(2,3) 直线飞往配送点 B(8,7)。设线段 AB 的中点为 M，园区调度中心位于坐标原点 O，并将向量 OM 表示为 OM=λ(OA+OB)，求实数 λ 的值以及调度中心到中点 M 的距离 OM（结果保留根号）。问：λ 与 OM 分别为多少？

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4. 在物理实验中，质点同时受到两个力的作用，力 F₁ 的大小为 6 N，力 F₂ 的大小为 8 N，两力方向的夹角为 120°。将 F₁、F₂ 看作平面向量，则它们的数量积 F₁·F₂ 等于多少？

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5. 一台小车在恒力作用下沿水平面移动，恒力的大小为24 N，力的方向与位移方向的夹角为锐角，恒力对小车所做的功为360 J。小车位移在恒力方向上的投影是多少米？

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6. 某货运站在水平地面上拖运货物。拖力 F 的大小恒为 10 N，方向保持不变。货物先沿直线移动位移 s₁，大小为 3 m，F 与 s₁ 的夹角为 60°；随后货物沿另一方向移动位移 s₂，大小为 4 m，且 F 与 s₂ 垂直。总位移 s = s₁ + s₂。将 F、s₁、s₂ 看作平面向量，求拖力 F 在整个拖运过程中对货物所做的功是多少焦耳？

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7. 为测量一座通信塔的高度，测量员在水平地面上选取测点A、B，AB=100√3 m，塔底为C，且A、B、C不共线。测得∠BAC=30°、∠ABC=90°；在B点测得塔顶的仰角为45°。求塔高，忽略测量员身高。A. 50 m　B. 100 m　C. 100√3 m　D. 200 m

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8. 为测量山顶一座信号塔的高度，测量员在山脚下的水平路面上沿塔底正方向的直线取两点A、B，B位于A与塔底C之间。在A点测得塔顶的仰角为30°，在B点测得塔顶的仰角为60°，并测得AB=40√3 m。设塔底与塔顶的连线垂直于水平路面，塔高为h。求信号塔的高度是多少米？

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9. 测绘船以正东、正北方向为平面向量的正向，先从码头航行位移 a=(2,1) km，再航行位移 b=(-1,3) km，最后航行位移 2a−2b。测绘船相对码头的总位移是多少？

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10. 已知向量a、b，化简2(a+b)−(a−b)等于（　　） A. a+3b　B. 3a+b　C. a−b　D. 3a−b

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11. 为测定河对岸一座信号塔的位置，选择河岸上的两点 A、B，测得 AB=100 m，∠CAB=30°，∠CBA=60°，其中 C 为信号塔所在位置。A、B、C 不在同一直线上，则 BC=____ m。

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12. 已知平面向量 a、b、c 满足 3a − 2b + 6c = 0，则用 a、b 线性表示 c，得 c = ____ a + ____ b，设这两个系数依次为 m、n，则 m + n = ____。

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13. 在△ABC中，AB=8，AC=5，∠A=60°。设∠B的对边为AC，求sin∠B。 A. 5√3/14　B. 5√3/7　C. 5√3/16　D. 5/14

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14. 设平面向量a、b不共线，u=2a−b，v=3a+2b。若2u−v=ma+nb，且u+2v=pa+qb，则(m，n)=____，(p，q)=____。

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15. 某平面园区中，从入口出发沿路线向量 a=(2,1) km 行进一次，或沿路线向量 b=(1,2) km 行进一次。a 与 b 不共线，游客的总位移为 v=(8,7) km，且行进方向均与对应向量一致。若 v=x a+y b，游客分别沿两条路线行进多少次？

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16. 已知平面向量 a、b 的模分别为 3 和 4，夹角为 60°，则 a·b = ____。

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17. 设平面向量 a、b 不共线，令 u=2a−b，v=3a+2b。若 2(u+v)−3(u−2v)=ma+nb，则 m=____，n=____。

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18. 在△ABC中，AB=5，BC=7，∠A=60°。设AC=x，由余弦定理可得x²−5x−24=0。结合边长为正，AC=____；再由正弦定理，sin∠B=____。

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19. 已知平面向量 a=(2，−1)，b=(1，3)，则 a·b 等于（　） A. −1　B. 1　C. 5　D. 7

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20. 已知平面向量 a、b 不共线，向量 x 满足 4x−(2a+3b)=2(x−a+b)，则 x 用 a、b 线性表示为（　　） A. 5/2 b　B. 5b　C. 5/2 a　D. 5/2 a+5/2 b

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21. 已知向量 a=(3,1)，b=(1,2)，且 a 与 b 不共线。若向量 v=(7,4) 能表示为 v=λa+μb（λ、μ 为实数），则 λ=____，μ=____。

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22. 已知向量 a=(2,1)，b=(1,3)，且 a 与 b 不共线。若向量 v=(8,9) 能表示为 v=x a + y b（x、y 为实数），则 x=____，y=____。

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23. 在△ABC中，三边长分别为 a=3，b=5，c=7，则最大内角的余弦值为（　　） A. 1/2　B. -1/2　C. -√3/2　D. 13/14

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24. 平面仓库中，两条不共线的通道方向分别用向量 a、b 表示。搬运机器人从原点出发，最终位移向量为 3a−2b。以 a、b 为基底，机器人位移的坐标是多少？

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25. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=8，角C=60°。则cosB的值为（　　） A. 1/7　B. −1/7　C. 4√3/7　D. −4√3/7

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26. 已知向量 a=(1,1)，b=(2,−1)，a 与 b 不共线。若 v=(6,0) 可表示为 v=xa+yb（x、y 为实数），则 x+y 的值为（　　） A. 3　B. 4　C. 5　D. 6

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27. 测绘人员在△PQR中测得PQ=8 km，PR=3 km，∠QPR=60°。先由余弦定理求得QR=____ km，再由正弦定理求sin∠PQR=____。

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鄂教版·数学其他单元练习题

第1章集合（9题）第1章函数的概念与性质（27题）第1章数列（27题）第1章空间向量与立体几何（27题）第1章概率（27题）第2章常用逻辑用语（27题）第2章一元函数导数及其应用（27题）第2章平面解析儿何初步（27题）第2章统计（27题）第2章复数（27题）第2章幂函数、指数函数、对数函数（18题）第3章立体几何初步（9题）

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