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湘教版·数学（高中）高一上册《第4章幂函数、指数函数和对数函数》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（5 个）

幂函数的图象与性质指数函数的图象与性质对数的运算性质对数函数的图象与性质函数模型的应用

本单元练习题（27 题）

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1. 某示踪物在溶液中的浓度随时间满足模型 C(t)=96×(1/2)^(t/4)，其中 t 的单位为小时，C(t) 的单位为毫克/升。浓度降至 12 毫克/升时，经过了多少小时？ A. 8　B. 10　C. 12　D. 16

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2. 幂函数 f(x)=x^α 的图象在区间 (0，+∞) 上严格递减，且经过点 (1/3，9)，则 α=____。

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3. 某种药剂在恒温条件下的剩余比例随时间满足函数 C(t)=aᵗ（t≥0，a>0）。监测发现其图象经过点（2，1/4），且剩余比例随时间增加而减小。开始监测后，剩余比例首次降至1/8需要多少小时？

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4. 某培养箱中某种微生物的数量满足模型 N(t)=800×2^(t/4)，其中 t 的单位为小时，N(t) 的单位为个。按此模型，培养 8 小时后微生物数量为____个。

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5. 已知函数 f(x)=log₃(x−2)+5 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标为____；若将 f(x) 的图象向上平移 1 个单位后得到函数 g(x) 的图象，则 g(x) 的图象恒过定点____。

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6. 某检测设备的输出电压 y（单位：伏）与运行时间 t（单位：分钟）满足函数 y=2ᵗ。设备运行期间，输出电压随时间增加而增大。输出电压达到 8 伏时，设备已运行多少分钟？

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7. 某线上展览上线后，累计预约人数近似满足指数模型 N(t)=a·bᵗ，其中 t 为上线后的月数，a、b 为正常数，且每月增长倍数不变。上线满1个月和4个月时，预约人数分别为600人和4800人。按此模型，满6个月时预计有多少人预约？

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8. 某实验测得，容器内液面上升的高度 h（单位：cm）与时间 t（单位：s，t>0）满足幂函数关系 h = k·t^(3/2)（k 为常数）。实验开始 4 s 时，液面高度为 4 cm。若不考虑容器容积限制，当 t = 9 s 时，液面上升的高度是多少厘米？

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9. 已知函数 f(x)=log_a(x+3)−1（a>0 且 a≠1）的图象经过点 (6, 1)，则该函数的图象恒过定点（　） A. (−2, −1)　B. (2, −1)　C. (−3, 0)　D. (−2, 1)

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10. 某设备的剩余价值近似满足指数函数模型 V(t)=A·qᵗ，其中 t 为购入后的年数，A、q 为正常数且 0＜q＜1。已知购入后第1年和第4年的剩余价值分别为24000元和3000元。按此模型，剩余价值降至6000元时，设备已购入____年。

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11. 某种恒温保存的样品，其活性比例 y（单位：无量纲）随时间 t（单位：小时）的变化满足指数函数 y=aᵗ（t≥0，a>0 且 a≠1）。监测发现，该函数的图象经过点 (3, 1/8)，且活性比例随时间增加而减小。当样品的活性比例降为 1/128 时，已经保存了多少小时？

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12. 某培养皿中细菌数量 y（单位：千个）随时间 t（单位：小时）的变化近似满足指数函数 y=aᵗ（t≥0，a>0 且 a≠1）。实验测得，当 t=2 时细菌数量为 9/4 千个，且在整个培养过程中细菌数量随时间增加而增大。开始培养后 3 小时，培养皿中细菌数量约为多少千个（结果用分数表示）？

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13. 某化学试剂挥发后，瓶内质量 M（克）随时间 t（小时）满足模型 M(t)=160×(1/4)^(t/2)。按此模型，瓶内质量降至 10 克需要经过的时间为（　　）小时。 A. 3　B. 4　C. 6　D. 8

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14. 下列函数中，图象经过点 (2, 4) 的是（　　） A. y=x³　B. y=x^(1/2)　C. y=x²　D. y=x⁻¹

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15. 已知函数 f(x)=3ˣ 的图象恒过定点 A，则点 A 的坐标为 ____；若 f(x) 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围为（设 f(x)=aˣ，a>0 且 a≠1）____。

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16. 声学中，声音的声强级 L（单位：分贝）与声强 I（单位：W/m²）满足对数函数关系 L=10·lg(I/I₀)，其中 I₀=10⁻¹² W/m² 为基准声强。某图书馆内测得声音的声强 I=10⁻¹⁰ W/m²。求该图书馆内声音的声强级是多少分贝？

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17. 设幂函数 f(x)=xᵃ（a 为正整数）的图象关于 y 轴对称，且经过点 (2，16)，则 a=____，函数 f(x) 的最小值为____。

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18. 已知函数 f(x)=(a²−3a+3)·aˣ 是指数函数，则 f(2)·f(−1) 的值为（　） A. 2　B. 4　C. 1/2　D. 1/4

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19. 某检测装置将三项无量纲比值A、B、C换算成综合指标S（单位：分），计算规则为S=log₂A+log₂B−log₂C。一次检测中，A=12，B=8，C=6，综合指标S是多少分？

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20. 计算：log₂12＋log₂6－log₂9的值为（　　） A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

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21. 已知指数函数 y=aˣ（a>0 且 a≠1）的图象经过点 (2, 1/9)，则关于 x 的不等式 aˣ<3 的解集为（　） A. {x | x<−1}　B. {x | x>−1}　C. {x | x<1}　D. {x | x>1}

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22. 计算：2log₃2＋log₃9－log₃12＝____。

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23. 计算：log₅100－log₅4＝____；若 lg2＝a，lg3＝b，则 lg6＝____（用含 a、b 的式子表示）。

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24. 计算 log₃36 − 2log₃2 的值为（　　） A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

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25. 函数 f(x)=(1/2)ˣ 的图象与性质，以下说法错误的是（　） A. f(x) 在 R 上是减函数　B. 图象经过点 (0，1)　C. 值域为 (0，+∞)　D. 图象位于 x 轴下方

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26. 已知函数 f(x)=log₂(x−2)+k（k 为常数）的图象经过点 (10, 5)。（1）则 k=____；（2）该函数的图象恒过定点的坐标为____。

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27. 某实验室同时记录两台设备的信号强度，经过校准后，开机 t 小时的强度分别为 A(t)=2·2ᵗ 个单位、B(t)=8·(1/2)ᵗ 个单位（t≥0）。根据这两个指数函数的图象与性质，两台设备的信号强度首次相等时是开机后多少小时，此时强度是多少个单位？

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湘教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章平面向量及其应用（27题）第1章导数及其应用（27题）第1章数（27题）第2章一元二次函数、方程和不等式（9题）第2章 三角恒等变换（27题）第2章空间向量与立体几何（27题）第2章平面解析几何初步（27题）第3章函数的概念与性质（27题）第3章概率（27题）第3章复 数（27题）第3章圆锥曲线与方程（27题）

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