沪教版·数学（高中）高一上册《第4章幂函数、指数函数与对数函数》练习题

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本单元考点（5 个）

幂函数的图象与性质指数函数的图象与性质对数函数的图象与性质反函数的概念指数函数与对数函数的综合应用

本单元练习题（27 题）

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1. 已知函数 f(x)=x²+1 的定义域为 [0,+∞)，其反函数为 f⁻¹(x)，则 f⁻¹(10)+f⁻¹(17) 的值为（　　） A. 7　B. 0　C. ±7　D. 5

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2. 某实验装置的输入量为 x（单位：秒），输出量 y（单位：米），二者满足幂函数关系 y=x²。实验中输入量 x 的取值范围为 0≤x≤3，输出量最大是多少米？

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3. 某实验室培养一种细菌，经过培养时间 x（小时，x≥0）后，细菌数量 y（万个）满足关系式 y=2^x。由于实验需要，研究人员希望通过细菌数量反推培养时间，这需要求出 y=2^x（x≥0）的反函数。请求出该反函数的表达式（并注明定义域），再计算当细菌数量达到 32 万个时，培养时间是多少小时？

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4. 某地震台用对数函数刻画地震震级：若地震释放的最大振幅为 A（单位：毫米），则震级 M（单位：级）满足 M=log₁₀(A/0.001)。某次地震记录到的最大振幅为 0.1 毫米，求这次地震的震级是多少级？

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5. 某检测装置的输入量 x（单位：秒）与输出量 y（单位：毫安）满足幂函数关系 y=xᵅ，且 x>0。已知装置输入 2 秒时输出 1/2 毫安。若输出为 1/4 毫安，输入量是多少秒？

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6. 声学中常用声压级 L（单位：dB）衡量声音强弱，它与声压 p（单位：Pa）满足 L=20·lg(p/p₀)，其中 p₀=2×10⁻⁵ Pa，lg 表示以 10 为底的对数。由对数函数 y=lg x 的图象与性质可知，其图象过点 (1,0) 且在定义域 (0,+∞) 上单调递增，故声压 p 越大，声压级 L 越高。某次测量中测得声压级恰为 40 dB，此时对应的声压 p 是多少帕？

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7. 某传感器的输入量 x（单位：伏）与输出量 y（单位：毫安）满足幂函数关系 y=x^(1/2)，且输入量的范围为 1≤x≤16。输出量最大是多少毫安？

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8. 某农业研究所发现，某种作物在试验田中的株高 h（单位：米）与施肥量 x（单位：千克）之间的关系可用对数函数 h=log_a x（a>0 且 a≠1）刻画。经测量，当施肥量为 8 千克时，株高恰为 3 米。按照该模型，当株高达到 5 米时，施肥量应为多少千克？

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9. 已知对数函数 f(x)=log_a x（a>0 且 a≠1）的图象经过点 (9, 2)，则 f(1/27) 的值为（　） A. -3　B. 3　C. -1/3　D. 1/3

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10. 设 f:A→B，g:B→A。下列条件中，能说明 g 是 f 的反函数的是（　） A. 对任意 x∈A，g(f(x))=x　B. 对任意 y∈B，f(g(y))=y　C. 对任意 x∈A、y∈B，g(f(x))=x 且 f(g(y))=y　D. 存在 y∈B，使 f(g(y))=y

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11. 已知函数 f(x)=2x+4（x∈R），则其反函数 f⁻¹(x)=____。若点 (a, 6) 在 f(x) 的图象上，则点 (6, a) 是否在其反函数的图象上？____（填“是”或“否”）。

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12. 已知幂函数 f(x)=x^α 的图象经过点 (8, 2)，则 α=____；该函数在其定义域内是____函数（填“增”或“减”）。

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13. 已知对数函数 f(x)=logₐ(x−1)（a>0，a≠1）的图象经过点 (3,1)。在 f(x) 与 f(7−x) 均有定义时，满足 f(x)≥f(7−x) 的 x 的取值范围为 ____；底数 a=____。

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14. 某实验小组研究溶液酸碱记录模型，发现记录值 y（单位：档）与检测量 x 之间的关系可用对数函数 f(x)=log_a x（a>0 且 a≠1）刻画。经标定，该函数的图象经过点 (8, 3)。若某次检测对应的 f(x) 值为 -4 档，求该次检测的检测量 x 是多少？

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15. 已知指数函数 f(x)=aˣ（a>0 且 a≠1）的图象经过点 (2, 1/9)，则 a=____；该函数在 R 上是单调递____函数（填「增」或「减」）。

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16. 已知指数函数 f(x)=aˣ（a>0，a≠1）的图象经过点（2，1/4），则 f 在 R 上单调____，且 f(-1)=____。

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17. 设函数 f(x)=3^(−x)−log₃(−x)（x<0）。若实数 a 满足 f(a)=3，则 a 的值为 A. −1　B. 1　C. 0　D. −3

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18. 函数 f(x)=(1/3)ˣ 的图象与性质，下列说法正确的是（　） A. 定义域为 (0，+∞)　B. 值域为 (0，+∞)　C. 在 R 上单调递增　D. 图象经过原点

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19. 设 A={−2,0,3}，B={1,4,7}，函数 f:A→B 满足 f(−2)=4，f(0)=7，f(3)=1。将 f 的对应关系中每一对元素的前后位置互换，所得函数是 f 的反函数，则 f⁻¹ 的定义域为____，f⁻¹(4)=____。

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20. 设函数 f:{-2,0,3}→{1,4,7}，且 f(-2)=4，f(0)=1，f(3)=7。下列函数中，哪个是 f 的反函数？ A. g:{1,4,7}→{-2,0,3}，g(1)=-2，g(4)=0，g(7)=3　B. g:{1,4,7}→{-2,0,3}，g(1)=0，g(4)=-2，g(7)=3　C. g:{-2,0,3}→{1,4,7}，g(-2)=4，g(0)=1，g(3)=7　D. g:{1,4,7}→{-2,0,3}，g(1)=0，g(4)=3，g(7)=-2

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21. 设函数 f:A→B 是一一对应的，则 f 的反函数 f⁻¹:B→A 满足：对任意 x∈A，f⁻¹(f(x))=____。

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22. 已知函数 f(x)=2^x+log₂x（x>0）。若 f(a)=5，则实数 a 的值为____；进一步求得 f(4)=____。

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23. 设函数 f:{−3,1,6}→{0,2,8} 为双射，且 f(−3)=8，f(1)=0，f(6)=2。函数 g 是 f 的反函数，则 g 的定义域为____，g(2)=____。

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24. 幂函数 f(x)=x⁻² 的图象与性质，正确的是（　） A. 定义域为实数集　B. 图象关于原点对称　C. 在 (0，+∞) 上单调递减　D. 函数值可以为负数

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25. 天文学中，星等 m（单位：等）与恒星亮度 L（单位：相对亮度）满足对数关系 m=−2.5·lg(L/L₀)，其中 L₀ 为标准亮度，lg 表示以 10 为底的对数。某夜观测，织女星亮度为 100L₀，牛郎星亮度为 10L₀，两星均在肉眼可见范围内且亮度均为正数。问织女星与牛郎星的星等之差的绝对值是多少等？

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26. 函数 f:{−4,2,7}→{1,5,8} 的对应关系为 f(−4)=5，f(2)=8，f(7)=1。把每一对对应元素的前后位置互换，所得函数是 f 的反函数。下列表示正确的是（　　） A. f⁻¹(1)=7，f⁻¹(5)=−4，f⁻¹(8)=2　B. f⁻¹(1)=−4，f⁻¹(5)=2，f⁻¹(8)=7　C. f⁻¹(−4)=5，f⁻¹(2)=8，f⁻¹(7)=1　D. f⁻¹(1)=2，f⁻¹(5)=7，f⁻¹(8)=−4

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27. 已知函数 f(x)=2^x+log₂x（x>0）。若 f(a)=18，则实数 a 的值为 A. 2　B. 4　C. 1/4　D. 16

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第5章导数及其应用（27题）第6章三角（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）第10章空间直线与平面（27题）引论（27题）第2章等等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章圆锥曲线（9题）第1部分数学建模活动案例（27题）第7章三角函数（27题）第11章简单几何体（18题）

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