大学热力学与统计物理上册《系综理论》练习题

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本单元考点（5 个）

系综概念与微正则系综正则系综配分函数巨正则系综与热力学量系综等价性及应用正则系综能量涨落公式

本单元练习题（27 题）

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1. 某系统由一个粒子组成，仅有两个能级：基态能量为 0，非简并；激发态能量为 ε，简并度为 2。将该粒子与温度为 T 的恒温热库接触，处于正则系综中。设 ε = (ln 2)kT，其中 k 为玻尔兹曼常数，则该粒子的正则系综配分函数 Z = ____。

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2. 某系统与温度为 T、化学势为 μ 的大热源-粒子源接触，用巨正则系综描述。系统粒子数 N 可取 0、1、2：N=0 时能量为 0；N=1 时只有一个能级 ε（非简并），能量为 ε；N=2 时两个粒子只能同处该能级 ε，总能量为 2ε（无其他组态）。已知 μ−ε = kT·ln2，则系统的平均粒子数 ⟨N⟩ 为多少？ A. 4/3 B. 10/7 C. 3/2 D. 7/5

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3. 在正则系综中处理由 N=150 个单原子分子组成的近独立理想气体。已知单原子理想气体内能 E=3NkT/2，定容热容 C_V=3Nk/2，能量相对涨落为 √(⟨(ΔE)²⟩)/E = 1/√(3N/2)。代入本题数据后，关于系综等价性的判断正确的是： A. 相对能量涨落为 1/15，宏观量涨落极小，正则系综与微正则系综在热力学极限下等价，二者计算结果一致 B. 相对能量涨落为 1/15，涨落不可忽略，正则系综与微正则系综给出不同的热力学量 C. 相对能量涨落随 N 增大而增大，故系综等价性只在有限 N 时成立 D. 系综等价要求相对涨落在有限 N 时严格为零，本题不满足该条件

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4. 某正则系综中的系统由三个可分辨的独立子系组成，每个子系仅有两个能级：基态能量为 0，简并度为 1；激发态能量为 ε，简并度为 2。设 β=1/(kT)，且 βε=ln2。则该系统的正则系综配分函数 Z = ____。

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5. 某系统与温度为 T、化学势为 μ 的大热源-粒子源接触，用巨正则系综描述。系统粒子数 N 只能取 0 或 1：N=0 时能量为 0；N=1 时粒子占据唯一能级 ε（非简并）。已知βε=ln3，βμ=ln2，则系统的平均粒子数 N̄ 为（　　） A. 1/5　B. 2/5　C. 1/2　D. 3/5

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6. 某孤立系统由 5 个可分辨的全同两能级粒子组成，每个粒子能量只能取 0 或 ε。微正则系综要求系统总能量固定为 E=2ε。（1）按等概率原理，该能量面上系统可实现的微观态总数为____；（2）微正则系综中任一指定粒子处于激发态（能量 ε）的概率为____（用分数表示）。

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7. 某系统与温度为 T、化学势为 μ 的大热源-粒子源接触，用巨正则系综描述。系统粒子数 N 只能取 0 或 1：N=0 时能量为 0；N=1 时粒子可占据一个二重简并的能级 ε（即有两个能量均为 ε 的单粒子态）。当 μ=ε 时，系统平均粒子数 ⟨N⟩ 为多少？ A. 1/2　B. 2/3　C. 3/4　D. 1

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8. 在正则系综中处理由 N=2400 个单原子分子组成的近独立理想气体，已知其内能 E=3NkT/2，定容热容 C_V=3Nk/2，能量涨落满足 ⟨(ΔE)²⟩=kT²C_V。由此可算出能量的相对涨落 ΔE/E，并在热力学极限下判断系综等价性的适用性。下列结论正确的是：A. 相对涨落为 1/60，随 N 增大而减小，宏观量与微正则系综结果一致，系综等价性成立 B. 相对涨落为 1/30，随 N 增大而增大，系综等价性不成立 C. 相对涨落为 1/120，与 N 无关，系综等价性不成立 D. 相对涨落为 1/40，随 N 增大而减小，但系综等价性仅在 N→∞ 时严格成立、对 N=2400 完全失效

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9. 某系统与温度为 T、化学势为 μ 的大热源-粒子源接触，用巨正则系综描述。系统粒子数 N 可取 0、1、2：N=0 时能量为 0；N=1 时只有一个能级 ε（非简并）；N=2 时两粒子占据同一能级，总能量为 2ε（非简并）。已知 βμ = ln2，βε = ln4，其中 β = 1/(kT)。求系统的平均粒子数 N̄ 与平均能量 Ū（用 ε 表示）。

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10. 某正则系综中的单个可分辨粒子具有三个能级：能量依次为 0、ε、2ε，对应简并度依次为 4、3、9。该粒子与温度为 T 的恒温热库接触达到平衡，已知 ε = kT·ln3（即 e^(-ε/kT) = 1/3）。求：(1) 该粒子的正则配分函数 Z；(2) 粒子处于能量为 ε 的激发态的概率 P。

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11. 某系统与温度为 T、化学势为 μ 的大热源-粒子源接触，用巨正则系综描述。系统粒子数 N 只能取 0 或 1：N=0 时能量为 0；N=1 时粒子占据一条非简并能级 ε₁=0，或占据一条三重简并能级 ε₂=2ε。设 β=1/(kT)。则该系统的巨配分函数 Ξ=____；平均粒子数 N̄=____（用 β、μ、ε 表示）。

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12. 某单原子分子理想气体置于温度 T 的巨正则系综中描述。已知巨配分函数可展开为 Ξ=∑_N e^(αN) Z_N，其中 Z_N 为 N 个粒子时的正则配分函数，α=μ/(kT)。对经典近独立理想气体，可证 ⟨(ΔN)²⟩ = kT·∂N̄/∂μ。设该系统平均粒子数 N̄=1600，温度 T=300 K，k=1.38×10^(-23) J/K。(1) 求粒子数涨落 ⟨(ΔN)²⟩ 的数值；(2) 求粒子数相对涨落 √(⟨(ΔN)²⟩)/N̄；(3) 说明在 N̄→∞ 的热力学极限下，该结果如何体现巨正则系综与正则系综的等价性。

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13. 在正则系综中处理由 N=15000 个单原子分子组成的近独立理想气体。已知其内能 E=3NkT/2，定容热容 C_V=3Nk/2，能量涨落满足 ⟨(ΔE)²⟩=kT²C_V。(1) 求能量涨落的方均根 √(⟨(ΔE)²⟩) 与内能 E 之比；(2) 由此说明该比值在热力学极限下（N→∞）的行为，并据其量级说明：对宏观系统，正则系综与微正则系综在计算宏观热力学量时是否等价，给出结论。

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14. 下列关于微正则、正则与巨正则系综的说法中，正确的是：A. 三种系综描述的系统不同，求出的热力学量在任何条件下都不相同 B. 在热力学极限下，三种系综对宏观量的计算结果相互等价 C. 巨正则系综只能用于粒子数不可变的系统 D. 正则系综不能用于计算系统的熵

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15. 某正则系综中的单个粒子只有两个能级：基态能量为 0，简并度为 1；激发态能量为 ε，简并度为 2。设 β=1/(kT)，且 βε=ln2。该粒子系综的配分函数 Z₁ = ∑g·e^(-βE) 的值为多少？ A. 3/2　B. 2　C. 5/2　D. 3

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16. 在正则系综中处理由 N=96 个单原子分子组成的近独立理想气体系统。已知单原子理想气体内能 E=3NkT/2，定容热容 C_V=3Nk/2。由正则系综的能量涨落公式，能量的相对涨落 ΔE/E 等于多少？ A. 1/6　B. 1/12　C. 1/24　D. 1/16

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17. 某单原子分子理想气体由巨正则系综描述，化学势为 μ，温度为 T，体积为 V，粒子质量为 m，热波长 λ = h/√(2πmkT)，每个粒子能量为 p²/2m。已知单粒子配分函数 Z₁ = V/λ³。试写出巨配分函数 Ξ 的表达式（用 μ、T、V 表示），并由 ln Ξ 求出平均粒子数 N̄ 和平均能量 Ū 的表达式，最后给出压强 p 与 Ū 的关系。

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18. 某单粒子系统有三个能级，能量依次为 0、ε、2ε，简并度依次为 1、2、3。将该粒子与温度为 T 的恒温热库接触，处于正则系综中。令 β=1/(kT)，则该粒子的正则系综配分函数 Z = ____（用 β 和 ε 表示）。

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19. 某系统与温度为 T、化学势为 μ 的大热源接触，用巨正则系综描述。系统粒子数 N 可取 0、1、2：N=0 时能量为 0；N=1 时只有一个能级 ε（非简并）；N=2 时能量为 2ε，简并度为 2。已知 βε=ln2（β=1/kT），且 e^(βμ)=2。则该系统的平均粒子数 ⟨N⟩=____。

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20. 一个由三个独立可分辨粒子组成的系统与温度为 T 的热库达到平衡，处于正则系综中。每个粒子的能级结构相同：基态能量为 0，简并度为 1；激发态能量为 ε，简并度为 3。设 β=1/(kT)，βε=ln3。求：(1) 单个粒子的配分函数 z₁；(2) 系统的配分函数 Z₃。

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21. 某孤立系统由 3 个可分辨的自旋 1/2 粒子组成，处于外磁场 B 中，每个粒子磁矩在外场中只有平行（能量 −μB）或反平行（能量 +μB）两种状态，系统总能量固定为 E = −μB。（1）写出微正则系综的基本假设；（2）计算该能量面上系统可及微观态总数 Ω；（3）由玻尔兹曼熵公式求系统熵 S（以 k 表示）。

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22. 某正则系综中的单个粒子具有四个能级：能量 0、ε、2ε、3ε 对应的简并度依次为 1、2、2、1。该粒子与温度为 T 的恒温热库接触，令 β=1/(kT)，且 βε=ln2。（1）求该粒子的正则系综配分函数 Z；（2）求该粒子的系综平均能量 U（用 ε 表示）。

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23. 孤立系统的总能量 E、体积 V 和粒子数 N 保持不变，其等概率原理指出：微正则系综中系统处于各可达微观态的____相等。若系统共有 6 个可达微观态，则系统处于其中任一指定微观态的概率为____。

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24. 某系统处于温度 T 的正则系综中，已知其定容热容为 C_V。根据正则系综的能量涨落公式，能量的方均涨落 (ΔE)² 等于（　） A. kT·C_V　B. kT²·C_V　C. kT²/C_V　D. (kT)²·C_V

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25. 某单原子分子理想气体由 N 个分子组成，处于正则系综中，其定容热容 C_V=(3/2)Nk，内能 E=(3/2)NkT。若 N=6，则由正则系综能量涨落公式 (ΔE)²=kT²C_V 可得能量的相对涨落 ΔE/E=____（用分数表示）。

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26. 某正则系综中的单个粒子具有四个能级：能量依次为 0、ε、3ε、4ε，对应的简并度依次为 1、1、2、1。该粒子与温度为 T 的恒温热库接触达到平衡，令 β=1/(kT)，且已知 βε=ln3。(1) 写出该粒子正则系综配分函数 Z 的一般表达式（用 β 和 ε 表示）；(2) 代入 βε=ln3 计算 Z 的数值（结果用分数表示）。

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27. 某系统处于温度 T=200 K 的正则系综中，其定容热容 C_V=2.0×10⁻²⁴ J/K，玻尔兹曼常量 k=1.38×10⁻²³ J/K。由正则系综能量涨落公式，能量的方均涨落 (ΔE)²=____ J²，能量涨落的方均根 ΔE=____ J（保留三位有效数字）。

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