大学热力学与统计物理上册《涨落理论与非平衡态初步》练习题

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本单元考点（5 个）

热力学涨落的基本公式布朗运动与爱因斯坦关系输运现象的宏观规律玻尔兹曼方程与H定理昂萨格倒易关系

本单元练习题（27 题）

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1. 某孤立系统由16个可分辨程度相同的分子组成，分子按速度分为两组状态，单位体积的H函数取离散形式 H=Σ gᵢ ln gᵢ（gᵢ为处于第i组的分子数，对数以e为底）。初始时刻16个分子全部处于状态1，经过充分频繁的分子间碰撞达到新的非平衡稳定分布，此时状态1与状态2各有8个分子。根据玻尔兹曼H定理，从初始到该时刻H函数的改变量ΔH为（碰撞导致的动量交换已计入上述两组计数变化中）： A. −16 ln 2 B. +16 ln 2 C. 0 D. −32 ln 2

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2. 一布朗粒子在温度 T₁=300 K、黏度 η₁=3×10⁻³ Pa·s 的液体中做布朗运动，扩散系数为 D₁。现将系统升温至 T₂=450 K，同时换用黏度 η₂=2×10⁻³ Pa·s 的液体，仍视斯托克斯摩擦系数形式 6πηr 成立且粒子半径不变。由爱因斯坦关系 D=kT/(6πηr) 判断，新扩散系数 D₂ 与 D₁ 之比 D₂/D₁ 为（　　） A. 2/3　　B. 3/4　　C. 9/4　　D. 4/9

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3. 玻尔兹曼H定理指出：对于满足玻尔兹曼方程的稀薄气体，H函数随时间单调不增，即 dH/dt ____ 0（填「>」「≥」「<」「≤」或「=」之一）；其中等号成立的条件是分子碰撞满足____平衡（填两字术语），此时系统达到平衡态。

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4. 某稀薄气体满足玻尔兹曼方程，按H定理其H函数随时间单调不增。设气体按速度分为两组状态，分子总数N=16，H函数取离散形式 H=Σᵢ(nᵢ/N)ln(nᵢ/N)（nᵢ为第i组分子数，对数以e为底）。当气体达到由细致平衡条件刻画的热力学平衡态时，两组分子数相等。此时H函数取最小值 H=____。

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5. 某布朗微粒悬浮于温度 T=350 K 的液体中，实验测得其扩散系数 D=5×10⁻¹¹ m²/s。根据爱因斯坦关系，微粒在速度方向单位速度所受的斯托克斯阻力系数 γ 约为多少？已知玻尔兹曼常量 k=1.38×10⁻²³ J/K。 A. 9.66×10⁻¹¹ N·s/m　B. 2.07×10⁻¹² N·s/m　C. 9.66×10⁻²¹ N·s/m　D. 4.83×10⁻¹² N·s/m

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6. 玻尔兹曼的H定理中，H函数定义为 H = ∫∫ f ln f dv，其中 f 是单粒子分布函数。当分子间的碰撞服从细致平衡条件时，随时间演化 H 取何种性质？A. H 单调增加，达到平衡时取最大值 B. H 单调减小，达到平衡时取极小值 C. H 保持恒定不变，与是否平衡无关 D. H 先增后减，最终趋于零

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7. 设某系统与温度为 T 的大热源接触并处于平衡，已知系统的定容热容为 Cv。根据热力学涨落的基本公式，系统温度的方均涨落 <(ΔT)²> = ____（用 k_B、T、Cv 表示）。

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8. 某线性非平衡态系统中，热力学流与热力学力满足线性关系：J₁ = L₁₁X₁ + L₁₂X₂，J₂ = L₂₁X₁ + L₂₂X₂。实验测得：当 X₁ = 2、X₂ = 1 时，J₁ = 8；已知 L₁₁ = 2、L₂₂ = 3。根据昂萨格倒易关系，交叉系数满足 L₂₁ = L₁₂，则此时 J₂ = ____（填数值）。

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9. 某单原子分子理想气体系统与温度 T = 300 K 的大热源接触并处于平衡，其定容热容为 Cv = 12.5 J/K。已知玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。根据热力学涨落的基本公式，计算该系统内能的方均涨落 <(ΔE)²>，并给出内能的方均根涨落 ΔE_rms。

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10. 某球形胶体颗粒悬浮于 300 K 的水中，颗粒半径 r=1.0×10⁻⁷ m，水的黏度 η=1.0×10⁻³ Pa·s。由斯托克斯公式，颗粒所受黏滞阻力系数为 ζ=6πηr；根据布朗运动的爱因斯坦关系，其扩散系数 D=kT/ζ，其中 k=1.38×10⁻²³ J/K。该颗粒的扩散系数 D=____×10⁻¹² m²/s（保留两位有效数字）。

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11. 某球形布朗微粒悬浮于温度 T=300 K 的液体中，已知其斯托克斯阻力系数为 γ=4.14×10⁻¹⁰ N·s/m，玻尔兹曼常量 k=1.38×10⁻²³ J/K。（1）求该微粒的扩散系数 D；（2）已知液体粘度 η=2.2×10⁻⁴ Pa·s，利用斯托克斯公式 γ=6πηa 求微粒半径 a；（3）由所得结果说明爱因斯坦关系 D=kT/γ 反映的物理联系。

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12. 某孤立系统由8个可分辨程度相同的分子组成，分子按速度大小分为两组状态。定义单位体积的H函数为 H=Σ (gᵢ/N) ln(gᵢ/N)，其中 gᵢ 为处于第 i 组的分子数，N=8 为总分子数，对数以 e 为底。设初始时刻两组分子数分别为 g₁=6、g₂=2，经分子间碰撞充分演化后达到均匀分布 g₁=g₂=4。（1）计算初始时刻的 H 值；（2）计算末态的 H 值；（3）求 ΔH=H末−H初，并依玻尔兹曼 H 定理说明该结果是否合理。

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13. 气体中黏性现象（内摩擦）的宏观规律由牛顿黏性定律描述：沿 z 方向存在速度梯度 dv/dz 时，单位时间内通过垂直于 z 方向单位面积液层的动量 J 与速度梯度成正比，即 J = -η(dv/dz)，其中比例系数 η 称为____。若某气体的 η = 2×10⁻⁵ Pa·s，速度梯度大小为 1×10³ s⁻¹，则单位时间通过单位面积的动量大小为____ Pa（即 N·m⁻²）。

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14. 某线性非平衡态输运系统中有两个热力学流与两个热力学力，满足线性关系：J₁ = L₁₁X₁ + L₁₂X₂，J₂ = L₂₁X₁ + L₂₂X₂。已知系统满足微观可逆性条件，且实验测得 L₁₁ = 3、L₂₂ = 5、L₂₁ = 2（单位均为某通用输运单位）。请根据昂萨格倒易关系求出系数 L₁₂ 的值，并写出该输运系数矩阵 L 的完整形式。

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15. 温度 T=400 K 的液体中有一布朗微粒，测得其在时间 t=10 s 内沿 x 方向的均方位移 ⟨x²⟩=1.104×10⁻⁹ m²。已知玻尔兹曼常量 k=1.38×10⁻²³ J/K，且微粒在液体中做一维布朗运动满足 ⟨x²⟩=2Dt。求：(1) 微粒的扩散系数 D；(2) 由爱因斯坦关系 D=kT/γ 求微粒所受斯托克斯阻力系数 γ。

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16. 在线性非平衡态输运中，唯象系数矩阵满足昂萨格倒易关系的条件是系统存在微观可逆性。设某系统含三个热力学流 J₁、J₂、J₃ 与对应的三个热力学力 X₁、X₂、X₃，其唯象系数为 Lᵢⱼ（i,j=1,2,3）。若系统满足微观可逆性且流与力按同一约定选取，则下列哪组关系必定成立？ A. L₁₂ = L₂₁，L₁₃ = L₃₁，L₂₃ = L₃₂ B. L₁₂ = −L₂₁，L₁₃ = −L₃₁，L₂₃ = −L₃₂ C. 仅当外磁场为零时才有 L₁₂ = L₂₁，其余系数之间无必然联系 D. 所有非对角元 Lᵢⱼ（i≠j）必为零

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17. 某理想气体系统与温度 T = 200 K 的大热源接触并处于平衡，其定容热容为 Cv = 20 J/K，玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。根据热力学涨落的基本公式，系统能量的方均涨落 <(ΔE)²> = k_B T² Cv，则其数值为多少？ A. 5.52×10⁻¹⁸ J²　B. 2.76×10⁻¹⁷ J²　C. 1.104×10⁻¹⁷ J²　D. 1.104×10⁻¹⁶ J²

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18. 某理想气体系统与温度 T = 400 K 的大热源接触并处于平衡，其定容热容为 Cv = 25 J/K。已知玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。根据热力学涨落的基本公式，系统温度的方均根涨落 √<(ΔT)²> 的数量级为（　） A. 10⁻⁸ K　B. 10⁻¹⁰ K　C. 10⁻¹² K　D. 10⁻¹⁴ K

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19. 某孤立系统由16个可分辨分子组成，按速度大小分为两组状态，分子数分别为 n₁=12、n₂=4。定义离散H函数 H=Σᵢ(nᵢ/N)ln(nᵢ/N)（N=16，对数以e为底）。则碰撞发生前该系统的H值为____；由玻尔兹曼H定理可知，随分子间碰撞持续进行，该H函数将单调____（填“增大”或“减小”），直至趋于平衡态极小值。

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20. 玻尔兹曼方程写作 ∂f/∂t + v·∇ᵣf + F/m·∇ᵥf = (∂f/∂t)碰撞，其中碰撞项来自分子间二体碰撞的贡献。当分布函数 f 满足细致平衡条件（每一元碰撞过程与对应的元逆碰撞过程相互抵消）时，碰撞项的取值为____（填一个数值）。

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21. 玻尔兹曼方程描述稀薄气体分布函数 f 的演化，对 H=∫∫ f ln f dv 求时间导数可得 dH/dt 由碰撞项决定。由H定理，dH/dt ____ 0（填「>」「≥」「<」「≤」或「=」之一）；当且仅当分子碰撞满足____条件时，dH/dt=0，此时气体处于____态，H 函数达到其____（填「最大」或「最小」）值。

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22. 某稀薄气体初始时分子按速度分为两组，N=8，n₁=n₂=4；经分子间碰撞后分布变为 n₁=2、n₂=6。取离散H函数 H=Σᵢ(nᵢ/N)ln(nᵢ/N)。依据玻尔兹曼H定理判断下列说法正确的是：A. 初态H=−ln2，末态H=−ln2，碰撞前后不变，违反H定理 B. 初态H=(1/2)ln(1/2)×2=−ln2，末态H=(1/4)ln(1/4)+(3/4)ln(3/4)，H增大，违反H定理 C. 初态H=−ln2≈−0.693，末态≈−0.562，H增大，不可能发生 D. 初态H=−0.562，末态H=−0.693，H减小，符合H定理

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23. 某系统与温度 T = 350 K 的大热源接触并处于平衡，其定容热容为 Cv = 40 J/K。已知玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。（1）写出系统温度方均涨落 <(ΔT)²> 的表达式；（2）计算其数值；（3）进一步求温度的方均根涨落 √(<(ΔT)²>) 的数值（结果保留三位有效数字）。

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24. 某线性非平衡态系统含三个热力学力 X₁、X₂、X₃ 与三个热力学流 J₁、J₂、J₃，满足线性关系 Ji = ∑j LijXj（i=1,2,3），单位已归一化。已知系统满足微观可逆性，故昂萨格倒易关系成立，即 Lij = Lji（i≠j）。实验测得：当 X₁=1、X₂=2、X₃=3 时，J₁=11、J₂=15、J₃=8；且已知对角系数 L₁₁=2、L₂₂=3、L₃₃=1，以及非对角系数 L₁₂=3、L₁₃=1。请利用昂萨格倒易关系求出未知的非对角系数 L₂₁、L₃₁、L₂₃，并验证三组实验数据与求得的全部系数自洽。

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25. 某线性非平衡态系统含两个热力学流 J₁、J₂ 与两个热力学力 X₁、X₂，唯象系数记为 L₁₂ 与 L₂₁。该系统不存在外磁场，且满足微观可逆性，故昂萨格倒易关系成立，即 L₁₂ = L₂₁。实验上测得 L₁₂ 可表示为 2a + b，L₂₁ 可表示为 a − 2b，其中 a、b 为待定参数。若进一步测得 b = 1，则参数 a + b 的值为多少？A. 2　B. -2　C. 3　D. -3

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26. 某理想气体系统与温度 T = 300 K 的大热源接触并处于平衡，其定容热容为 Cv = 20 J/K，玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。利用热力学涨落的基本公式：(1) 求系统能量的方均涨落 <(ΔE)²>；(2) 求系统温度的方均涨落 <(ΔT)²>。

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27. 某布朗微粒悬浮于温度 T=280 K 的液体中，实验测得其扩散系数 D=2×10⁻¹¹ m²/s。已知玻尔兹曼常量 k=1.38×10⁻²³ J/K。（1）由爱因斯坦关系求微粒所受斯托克斯阻力系数 γ；（2）求该微粒在 t=8 s 内沿 x 方向的均方位移 ⟨x²⟩。

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