大学热力学与统计物理上册《近独立粒子系统与经典统计》练习题

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本单元考点（5 个）

经典配分函数的计算能量均分定理麦克斯韦速度分布律理想气体状态方程的统计导出单原子理想气体热容

本单元练习题（27 题）

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1. 某非线性多原子分子由4个原子构成，温度为 T 时处于经典近似下，其平动、转动自由度均被充分激发，且有 3N−6=6 个振动模式均被激发。根据能量均分定理，每个振动模式含动能与势能两个平方项，每个平方项平均贡献 (1/2)kT。则该分子单个的平均总能量为多少？ A. 6kT B. 7.5kT C. 9kT D. 12kT

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2. 某容器体积 V = 2 m³ 内装有 N = 6×10²⁴ 个单原子理想气体分子，处于平衡态。在压强的统计推导中，可由分子对器壁碰撞的动量输运得到关系 pV = (2/3)N·ε̄，其中 ε̄ 为单个分子平均平动动能。已知测得 ε̄ = 6.21×10⁻²¹ J，求容器内气体的压强 p（单位 Pa），并说明该结果与理想气体状态方程 pV = NkT 相一致时所对应的温度 T（取 k = 1.38×10⁻²³ J/K）。

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3. 某线形三原子分子气体（如 CO₂），温度 T=300 K，其平动自由度与转动自由度均被充分激发；分子共有 4 个振动模式，其中仅 2 个振动模式被激发（每个被激发的振动模式含动能与势能各一个平方项），其余振动模式冻结。将气体视为 1 mol，按能量均分定理计算：（1）每个分子的平均能量；（2）气体的内能 U。取 R=8.31 J/(mol·K)。

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4. 把某双原子气体分子视为刚性分子（振动自由度冻结，不参与能量均分），容器中装有 2 mol 该理想气体，处于温度 T=500 K 的平衡态。根据能量均分定理：（1）指出每个分子参与能量均分的自由度类型及个数；（2）计算该气体的内能 U（摩尔气体常量 R=8.31 J·mol⁻¹·K⁻¹）。

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5. 某经典二维各向同性谐振子，能量为 ε = (px²+py²)/(2m) + (1/2)mω²(x²+y²)，其中 m 为质量，ω 为角频率。已知玻尔兹曼常数 k、温度 T 满足 kT = ħω（ħ 为约化普朗克常量）。该振子的经典配分函数为 Z₁ = (1/h²)∫e^(-ε/kT) dxdydpxdpy（积分区域为全空间），则 Z₁ = ____。

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6. 某经典一维谐振子（质量 m，角频率 ω）处于温度 T 的热平衡中，kT = 3ℏω。按经典统计，其配分函数 Z = ∫dpdx·e^(-ε/kT)/h，其中 ε = p²/(2m) + mω²x²/2，h = 2πℏ。求 Z 的值。A. 3/(2π)　B. 3π　C. 3　D. 6π

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7. 某容器装有 1 mol 水蒸气（H₂O，非线性三原子分子），温度 T=400 K。在此温度下分子可视为刚性分子，振动自由度冻结，不参与能量均分。根据能量均分定理，求该气体的内能 U（用摩尔气体常量 R=8.31 J/(mol·K) 表示，结果以焦耳为单位）。

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8. 在理想气体压强的统计推导中，压强可表示为 pV = (2/3)N·ε̄，其中 ε̄ 为单个分子平动动能的平均值。设某单原子理想气体分子质量 m = 5×10⁻²⁶ kg，分子方均速率 v² 的平均值 = 9×10⁴ m²/s²，分子总数 N = 6×10²³，气体体积 V = 3 m³。由该统计关系求气体压强 p。A. 300 Pa　B. 450 Pa　C. 600 Pa　D. 900 Pa

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9. 设理想气体由 N 个单原子分子组成，处于温度为 T 的平衡态。按照统计理论，分子的平均平动能为 (3/2)kT，其中 k 为玻尔兹曼常数。取边长为 L 的立方容器，一个分子以速度 v 沿某方向撞击器壁时给予器壁的冲量为 2mv_(x)，两次撞击同一器壁的时间间隔为 2L/v_(x)。由此统计导出压强与微观量的关系 pV = (1/3)Nm<v²>，再结合能量均分定理 (1/2)m<v²> = (3/2)kT，可得气体的压强表达式 p = ____（用 N、k、T、V 表示）。将此结果与宏观状态方程对比，即得理想气体状态方程 pV = ____。

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10. 根据能量均分定理，在温度为 T 的平衡态下，粒子能量表达式中每一个平方项对应的自由度平均分得的能量是多少？ A. kT B. kT/2 C. 3kT/2 D. kT/3

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11. 某容器内装有 2 mol 单原子理想气体，处于平衡态。已知气体内能 U=1.5×10⁴ J，摩尔热容为定值。由能量均分定理，单原子分子仅有 3 个平动自由度，则该气体的定容摩尔热容 C_V,m=____ J/(mol·K)，定压摩尔热容 C_p,m=____ J/(mol·K)，二者之差 C_p,m−C_V,m=____ J/(mol·K)。（计算时 R 取 8.31 J/(mol·K)，结果保留三位有效数字）

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12. 某三维经典理想气体中，每个分子的能量为 ε = (p_x² + p_y² + p_z²)/(2m)，其中 m 为分子质量。设分子的动量三个分量 p_x、p_y、p_z 为广义坐标 h·dp_x·dp_y·dp_z 对应的相格内自由度。已知玻尔兹曼常数为 k，温度为 T。求单分子（平动）配分函数 Z₁ 的表达式。

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13. 把氨气分子（NH₃）视为刚性分子（振动自由度因温度较低而冻结，不参与能量均分），气体处于温度 T=300 K 的平衡态。（1）指出每个氨分子参与能量均分的自由度总数；（2）由能量均分定理求每个分子的平均能量；（3）计算 1 mol 氨气（不考虑分子间相互作用，不计分子体积）的内能 U，R=8.31 J/(mol·K)。

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14. 由压强的统计推导可知，理想气体满足 pV = (2/3)N·ε̄，其中 N 为分子总数，ε̄ 为单个分子平均平动动能。设某单原子理想气体封闭在 V = 4×10⁻³ m³ 的容器中，N = 6×10²³，ε̄ = 6×10⁻²¹ J，则容器内气体压强 p = ____ ×10⁵ Pa。

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15. 设一立方容器体积 V = 3 m³ 内盛有 N = 9×10²⁴ 个某单原子理想气体分子，处于温度 T = 300 K 的平衡态。按照统计理论，压强可由分子对器壁碰撞的动量输运导出，满足 pV = (2/3)N·ε̄，其中 ε̄ 为单个分子平均平动动能。已知由能量均分定理 ε̄ = (3/2)kT，玻尔兹曼常数 k = 1.38×10⁻²³ J/K。求：(1) 单个分子的平均平动动能 ε̄；(2) 气体的压强 p。

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16. 在理想气体压强的统计推导中，设体积为 V 的容器内有 N 个单原子分子，由分子对器壁碰撞的动量输运可得 pV = (2/3)N·ε̄，其中 ε̄ 为单个分子的平均平动动能。再结合能量均分定理 ε̄ = (3/2)kT，两式联立可直接得到理想气体状态方程，其形式为（　） A. pV = NkT　B. pV = (3/2)NkT　C. pV = (2/3)NkT　D. pV = NRT

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17. 某二维经典理想气体，单个分子的配分函数为 z = A·(2πmkT)/h²，其中 A 为容器面积。今有 N = 4 个全同分子组成该近独立粒子系统，若已算得 z = 1.2×10²⁴，则系统总配分函数 Z 可表示为 Z = C·(1.2×10²⁴)⁴，其中常数 C 应为（　） A. 1/24　B. 1/12　C. 1/16　D. 1/4!×4

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18. 某经典一维谐振子，质量为 m，角频率为 ω，其能量为 ε = p²/(2m) + mω²q²/2。在经典统计中，该谐振子的配分函数为 Z₁ = (1/h)∫dq∫dp·exp(-ε/(kT))，其中 q∈(-∞,+∞)，p∈(-∞,+∞)。利用高斯积分公式 ∫exp(-ax²)dx = √(π/a)（a>0），可算得 Z₁ = ____。（用 k、T、m、ω、h、π 表示）

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19. 单原子分子经典理想气体的分子平动配分函数为 Z₁ = V(2πmkT)^(3/2)/h³，其中 V 为体积，m 为分子质量，T 为热力学温度。现将该气体等温条件改变为：体积压缩为原来的 1/2，同时温度升高为原来的 4 倍，则每个分子的平动配分函数 Z₁ 变为原来的____倍。

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20. 某理想气体处于温度 T 的平衡态，分子速率服从麦克斯韦速率分布。已知分子的最概然速率为 v_p，则在速率 v=2v_p 处的速率分布函数与 v=v_p 处的速率分布函数之比 f(2v_p)/f(v_p) 为 ____（用含 e 的式子表示）。

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21. 一容器中装有 3 mol 某单原子理想气体，处于平衡态。由能量均分定理，每个分子只有 3 个平动自由度，每个自由度平均分得 kT/2 的能量。试计算该气体的定容摩尔热容 C_V,m，并求温度升高 10 K 时气体内能的增量 ΔU。

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22. 在理想气体状态方程的统计导出中，由分子对器壁碰撞的动量输运可得 pV = (2/3)N·ε̄，其中 N 为分子总数，ε̄ 为单个分子的平均平动动能。结合能量均分定理，单原子分子平均平动动能 ε̄ = ____（用 k 与 T 表示）。将此结果代入并令粒子数密度 n = N/V，即得理想气体状态方程 p = ____（用 n、k、T 表示）。

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23. 某容器内装有 5 mol 氦气（可视为单原子理想气体），在体积保持不变的条件下缓慢向气体传热。已知摩尔气体常量 R=8.31 J/(mol·K)，由能量均分定理单原子分子仅有 3 个平动自由度。若传热结束时测得气体共吸收热量 Q=1870 J，且初温为 300 K，求：(1) 该气体的摩尔定容热容 C_V,m；(2) 气体末态温度。

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24. 1 mol 单原子理想气体处于平衡态，温度升高 ΔT 时吸收热量 Q，过程体积保持不变。由能量均分定理，分子只有 3 个平动自由度，单原子理想气体的定容摩尔热容为（　　） A. (3/2)R　B. (5/2)R　C. 3R　D. R

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25. 某双原子理想气体分子可视为刚性分子，振动自由度冻结。已知处于平衡态时每个分子的平均能量为 1.035×10⁻²⁰ J，玻尔兹曼常量 k=1.38×10⁻²³ J/K。根据能量均分定理，气体的温度为多少？ A. 100 K　B. 150 K　C. 300 K　D. 600 K

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26. 一个绕固定轴转动的经典刚性转子，转动惯量为 I，其能量为 ε = L²/(2I)，其中 L 为角动量。按经典统计，其配分函数为 Z = (1/h)∫₀^(2π)dφ ∫_{-∞}^{∞} dL · e^(-L²/(2IkT))，h = 2πℏ。设该转子处于温度 T 的热平衡中，且 kT = 3ℏ²/(2I)，其中 k 为玻尔兹曼常数。则该转子的经典配分函数 Z 的值为（　） A. √(3π)　B. 3π　C. 2√(3π)　D. 3π/2

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27. 某气体处于热平衡，其分子速率的麦克斯韦分布函数为 f(v)=C v²exp(−mv²/(2kT))，其中 C 与 v 无关。若最概然速率为 vₚ，则 f(√2vₚ)/f(vₚ)=____。

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