大学热力学与统计物理上册《量子统计：费米与玻色分布》练习题

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本单元考点（5 个）

费米-狄拉克分布玻色-爱因斯坦分布玻色-爱因斯坦凝聚费米能级与简并压普朗克黑体辐射公式

本单元练习题（27 题）

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1. 某恒星大气的辐射可近似为温度 T=5800 K 的黑体。取维恩常量 b=2.898×10⁻³ m·K（由普朗克黑体辐射公式谱能量密度取极值 hc/(λkT)=4.965 而得）。根据普朗克公式对应的维恩位移定律，该黑体辐射单色辐出度峰值对应的波长最接近： A. 2.5×10⁻⁷ m B. 5.0×10⁻⁷ m C. 1.0×10⁻⁶ m D. 5.0×10⁻⁶ m

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2. 金属中电子服从费米-狄拉克分布，能量为 E 的单粒子态平均占据数为 f(E)=1/(e^((E−μ)/kT)+1)，其中 μ 为化学势，kT 为热运动能量尺度。设某单粒子态能量 E₀ 满足 f(E₀)=1/5。(1) 求 E₀−μ 用 kT 表示的值（精确形式）；(2) 另有一单粒子态能量 E₁ 满足 E₁−μ=−(E₀−μ)，求该态的平均占据数 f(E₁)。

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3. 设金属中电子服从费米-狄拉克分布，能量为 E 的单粒子态平均占据数为 f(E)=1/(e^((E−μ)/kT)+1)，其中 μ 为化学势，kT 为热运动能量尺度。已知某温度 T 下，某一能级 E₀ 被电子占据的概率恰为 0.1。（1）求该能级相对化学势的无量纲偏离 x=(E₀−μ)/(kT) 的精确值；（2）若另一能级 E₁ 满足 E₁−μ=−x·kT，求该能级的占据概率 f(E₁)（用整数与分数的精确表达式及小数近似表示）。

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4. 由 N 个全同玻色子组成的理想玻色气体，其玻色-爱因斯坦凝聚临界温度为 Tc。已知在 T < Tc 时，处于激发态的粒子数满足 N_e/N = (T/Tc)^(3/2)（源自玻色-爱因斯坦分布对激发态的占据）。当系统温度降至 T = 4Tc/9 时，处于基态（凝聚态）的粒子数 N₀ 与总粒子数 N 之比 N₀/N 为多少？ A. 8/27 B. 19/27 C. 5/9 D. 4/9

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5. 某理想玻色气体在数密度 n₀ 时的玻色-爱因斯坦凝聚临界温度为 Tc=24 K。若保持数密度不变，将温度降至 T=6 K，此时基态凝聚的粒子数占总粒子数的比例为 ____（用分数表示）。

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6. 将一空腔内处于温度 T=5000 K 热平衡的电磁辐射视为光子气体。取 kT/h = 1.04×10¹¹ Hz，且 hν₁/(kT) = ln2（ln2≈0.693）。(1) 由玻色-爱因斯坦分布写出该温度下频率为 ν 的光子模式的平均占据数 ⟨n(ν)⟩ = 1/(e^(hν/kT)−1)，并计算 ν₁ 处的占据数；(2) 已知空腔内谱能量密度 u(ν,T) ∝ ν³/(e^(hν/kT)−1)，求 u(ν₂,T)/u(ν₁,T)，其中 ν₂ = 2ν₁。

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7. 将 N=6×10²² 个质量为 m 的全同玻色子组成的理想玻色气体封闭在体积 V 的容器中，其发生玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度为 Tc=240 K。现将气体温度降至 T=60 K 并保持体积不变，此时化学势已趋于基态能量，凝聚开始形成。已知温度低于 Tc 时基态粒子数占总粒子数的比例为 N₀/N=1−(T/Tc)^(3/2)，求该温度下凝聚到基态的粒子数 N₀ 以及凝聚比例 N₀/N。

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8. 绝对零度下的理想费米气体（自旋1/2），零温费米能级 εF = (ħ²/2m)(3π²n)^(2/3)，简并压 P = (2/5)nεF。若将粒子数密度从 n₀ 压缩至 27n₀，压缩前简并压为 2.0×10⁶ Pa，则压缩后的简并压为（　） A. 1.62×10⁸ Pa　B. 4.86×10⁸ Pa　C. 5.40×10⁸ Pa　D. 2.43×10⁸ Pa

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9. 绝对零度下，三维自由电子气（自旋1/2）占据数 n(p)=1 对应动量空间中一个球面边界，此边界上的单粒子能量即费米能量。若电子数密度 N/V 增大到原来的8倍，则费米能量 E_F 变为原来的多少倍？ A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 64倍

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10. 根据费米-狄拉克分布，某金属中电子在能量为 E 的单粒子态上的平均占据数为 f(E)=1/(e^((E−μ)/kT)+1)，其中 μ 为化学势。已知某能级 E 高于化学势 μ，且该能级的占据数恰为 1/5，则该能级与化学势的能量差 (E−μ)/kT 等于（　） A. ln2　B. ln4　C. ln5　D. ln3

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11. 已知某金属中电子气处于温度 T，化学势为 μ。根据费米-狄拉克分布，能量为 ε 的单电子能级被一个电子占据的概率 f(ε) = ____（用 ε、μ、k、T 表示）；当 ε = μ 时，该概率等于 ____。

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12. 某金属中传导电子可视为零温理想费米气体，电子数密度 n=8×10²⁸ m⁻³，费米能级 E_F=5 eV（1 eV=1.6×10⁻¹⁹ J）。由费米统计可知，T=0 时简并压 P=(2/5)nE_F。则该电子气的简并压 P=____ Pa。

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13. 三维理想费米气体A与B，A的粒子数密度为8n₀、粒子质量为m；B的粒子数密度为n₀、粒子质量为2m。已知零温费米能级满足 ε_F = ħ²(3π²n)^(2/3)/(2m)，简并压满足 P = (2/5)nε_F。则两气体费米能级之比 ε_F(A)/ε_F(B) = ____，简并压之比 P(A)/P(B) = ____。

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14. 设铜中自由电子数密度 n=8.5×10²⁸ m⁻³，电子质量 m=9.11×10⁻³¹ kg，普朗克常量 h=6.63×10⁻³⁴ J·s。将铜中传导电子视为零温简并费米气体，试计算：（1）费米能量 E_F；（2）零温费米气体的简并压强 p，已知 p=(2/5)nE_F。（结果保留两位有效数字）

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15. 将 N=8×10²² 个质量为 m 的全同玻色子视为理想玻色气体，封闭在体积 V=1.0×10⁻⁶ m³ 的容器中，已知其玻色-爱因斯坦凝聚临界温度 Tc=300 K。(1) 写出发生玻色-爱因斯坦凝聚时激发态粒子数所满足的条件，并说明凝聚的物理含义；(2) 将系统温度降至 T=150 K（T<Tc），求基态凝聚的粒子数 N₀（结果用解析式表示并给出数值）。

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16. 根据普朗克黑体辐射公式，温度为 T 的黑体单色辐出度谱在波长 λ 处的分布由 M(λ,T) = 2πhc²/λ⁵ × 1/(e^(hc/λkT) − 1) 给出。已知某黑体温度 T = 2900 K，取维恩常量 b = 2.898×10⁻³ m·K，则该黑体单色辐出度峰值对应的波长 λ_max = ____ μm（结果保留一位小数）。

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17. 绝对零度下，简并电子气可视为理想费米气体，其费米能级 E_F 与粒子数密度 n 的 2/3 次方成正比，简并压 P = (2/5)nE_F。若将某金属中传导电子的数密度压缩为原来的 8 倍，则费米能级变为原来的____倍，简并压变为原来的____倍。

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18. 绝对零度下的理想费米气体（自旋1/2），粒子数密度 n=5×10²⁸ m⁻³，费米能级 E_F=5 eV（1 eV=1.6×10⁻¹⁹ J）。已知零温简并压满足 P=(2/5)nE_F，则该气体的简并压 P=____ Pa（用科学计数法表示）。

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19. 一空腔处于温度 T=290 K 的热平衡态，可视为黑体。已知普朗克黑体辐射公式给出的谱辐射出射度 M(λ,T) = 2πhc²/λ⁵ · 1/(e^(hc/(λkT)) − 1)，维恩常量 b = 2.898×10⁻³ m·K，h = 6.626×10⁻³⁴ J·s，c = 3.00×10⁸ m/s。求该黑体辐射极大值对应的波长 λm，并以纳米为单位表示。

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20. 关于理想玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚，下列说法正确的是： A. 凝聚发生时，大量玻色子聚集到基态，化学势趋于基态能量 B. 凝聚只在费米子系统中发生 C. 凝聚临界温度与粒子数密度无关 D. 凝聚发生后系统压强随温度升高而降低

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21. 某理想玻色气体在数密度 n₀ 时发生玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度为 T₀。若保持温度不变，将气体等温压缩使其数密度增大为 8n₀，则新状态下该气体的玻色-爱因斯坦凝聚临界温度为（　） A. 2T₀　B. 4T₀　C. 8T₀　D. (8)^(1/3)T₀

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22. 某理想玻色气体的化学势 μ=0，仅考虑两个单粒子能级：ε₁=ε 与 ε₂=3ε。系统处于温度 T，满足 e^(ε/kT)=2。试按玻色-爱因斯坦分布分别计算两能级上的平均粒子数 n₁ 和 n₂，并求比值 n₁/n₂。

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23. 某理想玻色气体由全同玻色子组成，只考虑三个非简并单粒子能级：ε₁=ε、ε₂=2ε、ε₃=4ε，且已知 e^(ε/kT)=2。试按玻色-爱因斯坦分布写出各能级平均粒子数 nᵢ=1/(e^((εᵢ−μ)/kT)−1)（μ=0），则三个能级上粒子数之比 n₁:n₂:n₃ = ____。

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24. 绝对零度下，某金属传导电子气可视为三维理想费米气体（自旋1/2）。若将该电子气等温（保持T=0）压缩，使粒子数密度 n 增大到原来的27倍，则其费米能级 E_F 和简并压 P 分别变为原来的多少倍？ A. E_F 变为9倍，P 变为243倍 B. E_F 变为27倍，P 变为243倍 C. E_F 变为9倍，P 变为81倍 D. E_F 变为3倍，P 变为27倍

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25. 某理想玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚临界温度满足 Tc ∝ n^(2/3)（n 为粒子数密度）。若保持温度不变，将气体等温压缩使数密度增大为原来的 2 倍，则新的临界温度 Tc′ 与原临界温度 Tc 之比为 A. 2 B. 2^(2/3) C. 2^(3/2) D. 1/2^(2/3)

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26. 由玻色子组成的理想气体，化学势 μ=0，仅考虑三个单粒子能级 ε₁=ε、ε₂=2ε、ε₃=4ε，能级非简并。系统处于温度 T，且 e^(ε/kT)=2。请按玻色-爱因斯坦分布 n_i=1/(e^((εᵢ-μ)/kT)-1) 分别求出三个能级上的平均粒子数 n₁、n₂、n₃，并计算系统总粒子数 N 及每个粒子的平均能量 E/N（用 ε 表示）。

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27. 绝对零度下，将某金属中传导电子视为自旋1/2的理想费米气体，粒子数密度 n=1×10²⁸ m⁻³，电子质量 m=9.11×10⁻³¹ kg，ħ=1.055×10⁻³⁴ J·s。已知零温费米能级 E_F=ħ²(3π²n)^(2/3)/(2m)，简并压 P=(2/5)nE_F。则该电子气的费米能级 E_F=____ J（保留两位有效数字），简并压 P=____ Pa（保留两位有效数字）。

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