大学热力学与统计物理上册《热力学函数与麦克斯韦关系》练习题

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本单元考点（5 个）

热力学特征函数与全微分热力学基本微分方程麦克斯韦关系式的导出吉布斯-亥姆霍兹方程偏导数变换与热力学量计算

本单元练习题（27 题）

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1. 对于简单可压缩均匀系统，热力学基本微分方程为 dU = TdS − pdV。设某系统的温度与压强分别为 T = 4S/V，p = 2S²/V²（S 为熵，V 为体积）。（1）以 S、V 为独立变量，验证该 T、p 满足麦克斯韦关系 (∂T/∂V)_S = −(∂p/∂S)_V；（2）利用 dU = TdS − pdV，通过积分求内能 U(S,V)（设 S=0 时 U=U₀ 为常数）；（3）求系统从状态一（S=1，V=1）经可逆过程变到状态二（S=2，V=2）时内能的增量 ΔU。

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2. 某简单可压缩均匀系统的内能为 U(S,V)=5S²/V+5V（S 为熵，V 为体积）。由热力学基本微分方程 dU=TdS−pdV 可知 T=(∂U/∂S)_V，p=−(∂U/∂V)_S。当系统处于 S=2、V=1 的状态，经历一个微元过程 dS=0.5、dV=−0.2 时，内能变化 dU=____ J。

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3. 某均匀物质的摩尔熵满足 ds = (C_V/T)dT + (∂p/∂T)_V dv，其中 C_V 为定容摩尔热容（视为常数），物态方程为 p = RT/v。试利用麦克斯韦关系 (∂s/∂v)_T = (∂p/∂T)_v，从 T、v₁ 到 T、v₂ 计算等温过程中摩尔熵变 Δs，并写出结果表达式。

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4. 由吉布斯函数 G(T,p) 的全微分 dG = -S dT + V dp 出发，利用二阶混合偏导数相等的条件（欧拉判据），可直接导出的麦克斯韦关系是： A. (∂T/∂p)_S = (∂V/∂S)_p B. (∂S/∂p)_T = -(∂V/∂T)_p C. (∂S/∂V)_T = (∂p/∂T)_V D. (∂T/∂V)_S = -(∂p/∂S)_V

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5. 对于简单可压缩均匀系统，热力学基本微分方程为 dU = TdS − pdV。以 S、V 为独立变量，将该方程视为 U(S,V) 的全微分，并利用二阶混合偏导数相等的条件，可直接得到的麦克斯韦关系是： A. (∂T/∂V)_S = −(∂p/∂S)_V B. (∂T/∂p)_S = (∂V/∂S)_p C. (∂T/∂V)_S = (∂p/∂S)_V D. (∂S/∂p)_T = −(∂V/∂T)_p

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6. 已知简单可压缩均匀系统的热力学基本微分方程为 dU = TdS − pdV。据此， Helmholtz 自由能 F ≡ U − TS 的全微分为 dF = ____（用 T、S、p、V 表示）。由该微分式可知，当 T、V 为自变量时，∂F/∂T 在 V 不变下等于 ____，即 −S。

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7. 1 mol 某简单系统的亥姆霍兹自由能（特性函数）为 F(T,V)=F₀−(3/2)T²−2T ln V，其中 F₀ 为常数。由 F 的全微分 dF=−SdT−pdV，求得熵函数 S(T,V)，则该系统在 T=2、V=e（e 为自然常数）时的熵 S 为多少？ A. 5　B. 6　C. 8　D. 10

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8. 某均匀介质的亥姆霍兹自由能（特性函数）为 F(T,V) = −T⁴V（T 为热力学温度，单位 K；V 为体积，单位 m³；F 单位 J）。由热力学基本微分方程 dU = TdS − pdV 及 F 的定义填空：当 T = 3 K，V = 2 m³ 时，熵 S = ____ J/K，内能 U = ____ J。

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9. 已知某均匀物质的物态方程为 v = RT/p（摩尔体积），内能满足 (∂u/∂v)_T = T(∂p/∂T)_v − p。利用麦克斯韦关系 (∂s/∂v)_T = (∂p/∂T)_v，求摩尔熵差 Δs = s(T, v₂) − s(T, v₁) 的表达式，并计算该物质从 (T=300K, v₁=0.02 m³/mol) 等温膨胀到 v₂=0.05 m³/mol 时的摩尔熵变（R = 8.31 J/(mol·K)）。

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10. 某简单可压缩系统的自由能（特性函数）为 F(T,V) = 500 - 30T - (3/2)T² - (1/2)V²，其中 T 单位为 K，V 单位为 m³，F 单位为 J。已知 dF = -SdT - pdV。试求系统处于 T = 10 K、V = 2 m³ 状态时的：(1) 熵 S；(2) 压强 p；(3) 内能 U = F + TS。

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11. 某物质的物态方程为 p(v,T) = RT/v（v 为摩尔体积）。利用麦克斯韦关系 (∂s/∂v)_T = (∂p/∂T)_v 及内能的微分关系 (∂u/∂v)_T = T(∂p/∂T)_v − p，求该物质内能对体积的偏导数 (∂u/∂v)_T 的值。

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12. 已知某简单可压缩系统的吉布斯函数（特性函数）为 G(T,p)=G₀+αT−(1/2)βT²+γp²，其中 G₀、α、β、γ 均为常数，T 为温度，p 为压强。由特性函数 G 的全微分 dG=−SdT+Vdp，该系统的熵 S 和体积 V 分别为（　　） A. S=α−βT，V=2γp B. S=α+βT，V=−2γp C. S=−α+βT，V=2γp D. S=α−βT，V=−2γp

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13. 某气体的摩尔物态方程为 p = RT/(v−b) − a/v²，其中 a、b 为常数。已知摩尔内能满足 (∂u/∂v)_T = T(∂p/∂T)_v − p。（1）推导该气体 (∂u/∂v)_T 的表达式；（2）写出 (∂s/∂v)_T 的表达式（用麦克斯韦关系）；（3）若 a = 0.024 Pa·m⁶·mol⁻²，v = 0.02 m³·mol⁻¹，计算 (∂u/∂v)_T 的数值。

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14. 对于简单可压缩均匀系统，热力学基本微分方程为 dU = TdS − pdV。以 T、V 为独立变量写出 dU 的表达式 dU = TdS − pdV，将 U 视为复合函数，利用 dS = (∂S/∂T)_V dT + (∂S/∂V)_T dV，可得 dU = ____dT + [T(∂S/∂V)_T − p]dV，则 (∂U/∂T)_V = ____。

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15. 已知某简单可压缩均匀系统的吉布斯函数（特性函数，单位 J）为 G(T,p) = 6T − T·ln(T/2) + T·ln(p/3)，其中 T 单位为 K，p 单位为 Pa。由热力学基本微分方程可知 dG = −S dT + V dp。当系统处于状态 T = 2 K、p = 3 Pa 时，系统的熵 S 与体积 V 分别为 A. S = −5 J/K，V = 2/3 m³ B. S = 5 J/K，V = 3/2 m³ C. S = −4 J/K，V = 2/3 m³ D. S = −5 J/K，V = 3/2 m³

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16. 某简单可压缩系统的亥姆霍兹自由能（特性函数）为 F(T,V) = 200 − 4T² − 6TV，其中 T 单位为 K，V 单位为 m³，F 单位为 J。由 dF = −SdT − pdV 可得 S = −(∂F/∂T)ᵥ，p = −(∂F/∂V)ₜ。当该系统处于 T = 2 K、V = 3 m³ 的状态时，其熵 S = ____ J/K，压强 p = ____ Pa，内能 U = F + TS = ____ J。

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17. 某均匀系统的吉布斯函数为 G(T)=2000−20T−0.01T²（单位：J，T 为热力学温度，单位 K）。试利用吉布斯-亥姆霍兹方程的相关关系式，求该系统在 T=300 K 时的熵 S 和焓 H 的值。

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18. 某系统在压强不变下，其吉布斯函数随温度的变化关系为 G(T) = (2000 − 5T) J，其中 T 为热力学温度。根据吉布斯-亥姆霍兹方程 H = G − T(∂G/∂T)_p，该系统的焓 H 为 A. 2000 J B. 2000 − 10T J C. −5 J/K D. 2000 + 5T J

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19. 某简单可压缩均匀系统的焓（单位 J）为 H(S,p)=6S^(3/2)p^(1/2)，其中 S 为熵（单位 J/K），p 为压强（单位 Pa）。由热力学基本微分方程 dH=TdS+Vdp 可知 T=(∂H/∂S)_p，V=(∂H/∂p)_S。当 S=4 J/K、p=9 Pa 时，系统的温度 T=____ K，体积 V=____ m³。

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20. 由吉布斯函数 G(T,p) 的全微分 dG = -S dT + V dp 出发，利用二阶混合偏导数相等的条件（欧拉判据），可直接导出的麦克斯韦关系是：∂____/∂p|T = ∂V/∂T|p。

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21. 设物质的自由能 F(T,V) 为特性函数，其全微分为 dF = -S dT - p dV。由于 dF 是全微分，二阶混合偏导数必相等：∂/∂V[(∂F/∂T)_V]_T = ∂/∂T[(∂F/∂V)_T]_V。由 dF 中各偏导数与状态量的对应关系，可导出麦克斯韦关系 (∂S/∂V)_T = ____（用温度 T、体积 V、压强 p、熵 S 中的量表示），进一步若某系统满足 (∂p/∂T)_V = 1.2×10⁵ Pa/K 且该式两边偏导均可直接由上式确定，则 (∂S/∂V)_T = ____ J/(K·m³)。

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22. 某均匀封闭系统的吉布斯函数为 G(T) = 3000 − 40T − 0.5T²（单位：J，T 为热力学温度，单位 K）。试利用吉布斯-亥姆霍兹方程 H = G − T(∂G/∂T)ₚ 及熵与吉布斯函数的关系 S = −(∂G/∂T)ₚ，求该系统在 T = 300 K 时的焓 H 和熵 S。

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23. 对于简单可压缩均匀系统，热力学基本微分方程为 dU = TdS − pdV。将 U 看作 S 和 V 的函数 U(S,V)，则下列表达式正确的是（　） A. T = (∂U/∂S)_V，p = −(∂U/∂V)_S B. T = (∂U/∂S)_V，p = (∂U/∂V)_S C. T = −(∂U/∂S)_V，p = (∂U/∂V)_S D. T = (∂U/∂V)_S，p = (∂U/∂S)_V

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24. 某简单可压缩均匀系统的亥姆霍兹自由能（特性函数）为 F(T,V)=3T−T·ln(T)+2T²/V，其中 T 为热力学温度（单位 K），V 为体积（单位 m³），F 单位为 J。由热力学基本微分方程 dU=TdS−pdV 可知 p=−(∂F/∂V)_T。求该系统处于 T=2 K、V=1 m³ 状态时的压强 p。

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25. 某均匀封闭系统的吉布斯函数为 G(T)=1200+50T−0.1T²（单位：J，T 为热力学温度，单位 K）。利用吉布斯-亥姆霍兹方程 H=G−T(∂G/∂T)，该系统在 T=300 K 时的焓 H 为多少？ A. 9300 J B. 10200 J C. 11100 J D. 8700 J

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26. 某简单可压缩系统的吉布斯函数（特性函数）为 G(T,p)=G₀−4T²+6Tp−2p²，其中 G₀ 为常数，T 为温度，p 为压强。由全微分 dG=−SdT+Vdp 可得熵 S 与体积 V。则该系统在 T=2、p=1 时，焓 H=G+TS 的值为（G₀ 的单位与 H 一致）A. G₀+10　B. G₀+12　C. G₀+14　D. G₀+16

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27. 某单组分均匀物质的摩尔物态方程为 p = 3T/v² + 8/v³（p、T、v 取 SI 单位），v 为摩尔体积。已知由麦克斯韦关系可得 (∂u/∂v)_T = T(∂p/∂T)_v − p。求该物质在 T = 5 K 的等温过程中，摩尔体积由 2 m³/mol 变为 1 m³/mol 时，摩尔内能改变 Δu = ___ J/mol。

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