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设三个自旋被忽略的全同费米子分别占据相互正交且各自归一的单粒子轨道 φa、φb、φc。反对称化波函数写为 Ψ(r₁,r₂,r₃)=C·∑P (−1)^P φa(r_P(1))φb(r_P(2))φc(r_P(3))，其中求和遍历指标 (1,2,3) 的全部 3! 种排列 P，(−1)^P 为排列的奇偶性符号。(1) 说明每种排列对应的乘积项之间两两正交；(2) 利用归一化条件 ∫|Ψ|² d³r₁d³r₂d³r₃=1 求出常数 C（取正实数）；(3) 写出交换算符 P₁₃ 作用后 P₁₃Ψ 的表达式并指出其符号因子。
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某类氢原子价电子发生 l=1 → l=0 的跃迁，置于磁感应强度 B=4 T 的匀强外磁场中（沿 z 轴），不计自旋（正常塞曼效应）。已知玻尔磁子 μ_B=5.79×10⁻⁵ eV/T，普朗克常量 h=4.14×10⁻¹⁵ eV·s。求相邻两条谱线（σ 线）之间的频率间隔 Δν，以 Hz 表示。
质量为 μ 的粒子在中心力场 V(r) 中运动，其归一化波函数为 ψ = (1/√2)Y₀₀ + (1/2)Y₁₁ + (1/2)Y₁₋₁，其中 Y_lm 为球谐函数。求：(1) 测得角动量平方 L² = 2ℏ² 的概率；(2) 测得 Lz = ℏ 的概率；(3) Lz 的平均值。
设轨道角动量量子数 l=1，其本征态记为 |1,m⟩（m=1,0,−1）。某体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/√6)(2|1,1⟩ + |1,0⟩ + |1,−1⟩)。求：(1) 在该态下测量 L² 的可能取值及相应概率；(2) ⟨Lz⟩；(3) 涨落 ΔLz 的平方 (ΔLz)²。结果以 ℏ 表示。
设二维希尔伯特空间中 {|1⟩, |2⟩} 为一组正交归一基，即 ⟨i|j⟩ = δᵢⱼ。给定两个态矢：|ψ⟩ = (1/2)|1⟩ + (√3/2)e^{iπ/3}|2⟩，|φ⟩ = (1/2)|1⟩ + (√3/2)e^{−iπ/3}|2⟩。试用狄拉克符号按内积定义 ⟨φ|ψ⟩ = ∑ᵢ aᵢ* bᵢ（取 φ 系数取复共轭）计算内积 ⟨φ|ψ⟩，并求出其模方 |⟨φ|ψ⟩|²。
设角动量算符满足 J₊=Jx+iJy，J₋=Jx−iJy，|j,m⟩ 为 (J², Jz) 的共同本征态。已知体系处于 j=2、m=0 的态 |2,0⟩，求：(1) 用升降算符公式 J₊|j,m⟩=ħ√(j(j+1)−m(m+1))|j,m+1⟩ 计算 J₊|2,0⟩；(2) 将所得结果再作用一次 J₊，求 J₊²|2,0⟩。
设二维希尔伯特空间中，从 A 表象到 B 表象的表象变换矩阵为 U = (1/2)[√3, 1; -1, √3]。（1）验证 U 满足 U†U = I，即为幺正矩阵；（2）已知算符 G 在 A 表象中的矩阵为 G_A = [2, 0; 0, 4]，求 G 在 B 表象中的矩阵 G_B = U†G_AU。
设厄米算符 F 有三个彼此正交的归一化本征态 |ψ₁⟩、|ψ₂⟩、|ψ₃⟩，对应本征值分别为 E₁、E₂、E₃。体系处于态 |Ψ⟩ = (1/3)|ψ₁⟩ + (2/3)|ψ₂⟩ + c|ψ₃⟩，其中 c 为正实数。第一问：利用态叠加原理对归一化的要求，求 c 的值；第二问：对该体系测量力学量 F，求测得本征值为 E₃ 的概率。
微观粒子处于状态 Ψ(x) = A·x(a−x)（0 ≤ x ≤ a），在区间外 Ψ(x) = 0，其中 a 为已知正常数。根据波函数公设，波函数必须满足归一化条件 ∫|Ψ(x)|²dx = 1。（1）求归一化常数 A；（2）求粒子在区间 [0, a/2] 内出现的概率，并用有限小数表示。
设某微观体系的哈密顿量 H 的一个本征态为 |φ⟩，对应本征能量 E₀=2ħω（ω>0）。根据量子力学基本假设中的薛定谔方程 iħ∂|ψ(t)⟩/∂t=H|ψ(t)⟩，若 t=0 时体系处于态 |ψ(0)⟩=|φ⟩，求 t 时刻体系的状态 |ψ(t)⟩，并说明该态是否仍为 H 的本征态。
能量为 E=4 eV 的电子自左侧入射，遇到一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=5 eV，其余区域势能为 0。已知 a=0.20 nm，电子质量 m=9.11×10⁻³¹ kg，ħ=1.055×10⁻³⁴ J·s，1 eV=1.6×10⁻¹⁹ J。请计算：求势垒区域内电子波函数的衰减系数 κ；求 2κa 的数值；由透射系数近似公式 T≈16E(V₀−E)/V₀² × e^(−2κa) 求该电子的透射系数（保留两位有效数字）。
一维线性谐振子的基态能量为 3 eV，频率为 ω。求：(1) 该谐振子的固有角频率对应的能级间隔 ħω；(2) 量子数 n=4 的能级能量（单位用 eV）。
设某量子体系哈密顿量为 H=H₀+H′，H₀ 的本征能量为 E₁⁰=2、E₂⁰=5、E₃⁰=10（能量单位任意），对应的本征态记为 |1⟩、|2⟩、|3⟩。微扰 H′ 在该基底下的非零矩阵元为 H′₂₁=⟨2|H′|1⟩=1/2，H′₃₁=⟨3|H′|1⟩=1/2，H′₃₃=1/4，其余矩阵元为零。用非简并定态微扰论求基态 |1⟩ 波函数的一级修正中 |2⟩ 与 |3⟩ 的展开系数 c₂⁽¹⁾、c₃⁽¹⁾。
设电子自旋态为 |χ⟩ = (√3|↑⟩ + |↓⟩)/2，其中 |↑⟩、|↓⟩ 为 σz 本征态。用泡利矩阵 σx、σy、σz 求该态下 Sz = (ħ/2)σz 与 Sx = (ħ/2)σx 的期望值 ⟨Sz⟩ 与 ⟨Sx⟩。
电子自旋假设指出：电子具有内禀角动量（自旋），其自旋量子数 s=1/2，自旋总角动量大小为 S=√(s(s+1))ħ，而自旋在任一方向上的投影只能取 Sz=msħ，ms=±1/2。据此：(1) 写出电子自旋角动量大小 S（以 ħ 为单位）；(2) 求自旋投影的最大值 |Sz|max 与自旋角动量大小 S 之比，并将该比值化简为最简形式 √b/a 或 a√b/a 的等价最简分数形式。
跳水运动员从10m跳台由静止自由下落，不计空气阻力，g取10N/kg。(1)下落过程中，运动员的动能和重力势能各如何变化？属于哪种能量转化？(2)若运动员质量为50kg，刚入水时其动能是多少焦耳？
设轨道角动量算符 L = r×p，其直角坐标分量满足对易关系 [L_x, L_y] = iħL_z（及轮换式）。本题中 x、y 为坐标算符，p_x、p_y 为动量算符，基本对易关系 [x_i, p_j] = iħδ_ij，坐标之间、动量之间互相对易。完成以下计算：(1) 利用轮换对易关系求出 [L_z, x]、[L_z, y]、[L_z, p_x]、[L_z, p_y]（用 x、y、p_x、p_y 表示）；(2) 据此计算对易子 [L_z, x + ip_x] 并化简；(3) 计算 [L_z, L²]，其中 L² = L_x² + L_y² + L_z²，并说明该结果的物理含义。
已知电子自旋算符 σ̂z 的本征态为 |↑⟩ = (1, 0)^T 和 |↓⟩ = (0, 1)^T。设某电子的自旋态为 |ψ⟩ = (1/√3)|↑⟩ + (√2/√3)|↓⟩。求在该态下测量自旋 z 分量得到 +ħ/2 的概率，以及自旋算符 σ̂z 在该态的平均值 ⟨σ̂z⟩。
质量为 μ 的粒子在三维各向同性谐振子势场 V(r)=½μω²r² 中运动。已知其径向量子数 n_r 与角量子数 l 满足主量子数 N=2n_r+l，能级为 E_N=(N+3/2)ħω。求第二激发能级（N=2）的能量，写出该能级所包含的角量子数 l 的可能取值，并计算该能级的简并度（计入自旋无关的全部状态数）。
已知角动量平方算符 L² 的本征函数为球谐函数 Y_lm(θ,φ)，满足 L²Y_lm = l(l+1)ħ²Y_lm，且归一化条件为 ∫|Y_lm|²dΩ = 1。设粒子处于 l=1、m=0 的态，其波函数角向部分为 Y₁₀(θ,φ) = √(3/4π)cosθ。求：(1) 在该态中测量 L² 得到的唯一本征值；(2) 在该态中测量 Lz 得到的唯一本征值；(3) 概率密度 |Y₁₀|² 在 θ=0（北极）与 θ=π/2（赤道）两处的比值。