大学非参数统计上册《非参数回归》练习题

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本单元考点（4 个）

非参数回归的基本思想Nadaraya-Watson核回归估计局部多项式回归带宽选择与局部回归应用

本单元练习题（27 题）

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1. 设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,9)。在 x₀=2 处作局部线性回归（局部一次多项式拟合），核函数取 K(t)=(1−t²)₊，带宽 h=2，即权重 wᵢ=K((xᵢ−x₀)/h)。则该局部线性拟合在 x₀=2 处的拟合值 ŷ(2) 为多少？ A. 3.0　B. 3.3　C. 3.5　D. 3.75

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2. 设回归模型为 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i = 1, 2, 3），其中 m(x) = 2x + 1，εᵢ 为零均值随机误差且相互独立。在 x₀ = 3 处采用局部加权回归光滑器 m̂(3) = 0.3·Y₁ + 0.4·Y₂ + 0.3·Y₃，其中 x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = 4（权重关于 x₀ 对称且总和为 1）。由于权重对称且总和为 1，对线性回归函数 m 而言该光滑器是无偏的。则 E[m̂(3)] = ____。

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3. 设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(0,1)、(1,2)、(3,5)、(4,7)。在 x₀=2 处作局部线性回归，即最小化 ∑ᵢ K((xᵢ−x₀)/h)(yᵢ−a−b(xᵢ−x₀))²，核函数取 K(t)=1−|t|（|t|≤1，否则为0），带宽 h=2。则截距 a 的加权最小二乘估计为多少？ A. 3.5 B. 3.0 C. 4.0 D. 2.5

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4. 设观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (1, 3)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 8)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，核函数取 Epanechnikov 核 K(t)=(3/4)(1−t²)（当 |t|≤1，否则 K(t)=0），带宽 h=1。求 m̂(2.5) 的值。

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5. 在局部加权回归（Loess/LOWESS）中，带宽（平滑参数）控制参与拟合每个点邻域回归的数据比例。关于带宽选择的下列说法，正确的是： A. 带宽越小，拟合曲线越平滑，偏差越大 B. 带宽越大，拟合曲线越接近原数据点，方差越大 C. 带宽过小会使曲线过度追随数据波动，出现过拟合；带宽过大则可能掩盖数据的局部结构 D. 带宽的选择不影响拟合结果，只需任取固定值即可

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6. 设观测数据 (xᵢ,yᵢ) 为 (1,2)、(2,3)、(3,5)，采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，带宽 h=1，核函数取 Epanechnikov 核 K(u)=(3/4)(1−u²)，|u|≤1 时定义、其余为 0。则 m̂(2) 的值为多少？ A. 3 B. 10/3 C. 3/4 D. 4

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7. 在局部线性回归中，带宽 h 的选择直接影响拟合效果：h 过大时，拟合曲线会过于平滑而产生偏差；h 过小时，拟合曲线会过度贴合数据而产生较大的____。若采用交叉验证法选择带宽，则应选取使交叉验证得分最小的 h。对于核函数 K(u)=0.75(1−u²)（|u|≤1）的局部回归，当增大观测数据量 n 而保持带宽不变时，拟合曲线的方差通常会____。

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8. 在局部加权回归中，采用Epanechnikov核权函数 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，在拟合点 x₀=0 处使用带宽 h=1.2。现有设计点 x₁=−1，x₂=0，x₃=1，x₄=2，x₅=3。则落入有效窗口内的数据点共有 ____ 个，其中 x₃=1 对应的核权重为 ____（保留三位小数）。

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9. 设 x₁,…,x₃₀₀ 为 [0,30] 上等距分布的设计点（间距为 0.1）。在 k 近邻（k-NN）局部加权回归中，取 k=30 个最近邻点进行拟合，则对应的均匀核带宽 h（即邻域半宽，邻域为 [x₀−h, x₀+h]）为 ____。

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10. 设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(0,1), (1,3), (2,4), (3,7), (4,8)。在 x₀=2 处作局部线性回归（局部一次多项式拟合），核函数取 Epanechnikov 核 K(u)=0.75(1−u²)（|u|≤1，否则 K(u)=0），带宽 h=2，即权 wᵢ=K((xᵢ−x₀)/h)。求在 x₀=2 处的局部线性回归估计值。

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11. 在局部多项式回归中，设核函数 K(·)≥0、带宽 h>0，在点 x₀ 处通过最小化加权平方和 ∑ᵢ K((Xᵢ−x₀)/h)(Yᵢ−β₀−β₁(Xᵢ−x₀)−…−βₚ(Xᵢ−x₀)^p)² 拟合局部 p 次多项式。下列关于局部线性回归（p=1）的结论中，正确的是： A. 它在自变量设计点稀疏的边界区域仍能较好地自动修正偏差，这是它优于 Nadaraya-Watson 核估计的重要性质 B. 它的拟合值在任意点恒等于局部常数估计，二者完全等价 C. 若所有权重 K((Xᵢ−x₀)/h) 均相同，则它与普通整体线性回归完全相同 D. 带宽 h 越小，估计的偏差一定越小且方差也一定越小

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12. 在局部线性回归中，采用核权函数 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)。现有设计点 x₁=1, x₂=1.5, x₃=2.5, x₄=3，对应观测值 y₁=1, y₂=2, y₃=5, y₄=8。在拟合点 x₀=2 处： (1) 取带宽 h=1.5，计算各设计点的权 wᵢ（用分数表示），并求局部线性拟合值 ŷ(x₀)； (2) 取带宽 h=1，指出落入窗口内的设计点，并求此时的拟合值 ŷ(x₀)； (3) 比较两个拟合值，说明带宽增大时拟合曲线平滑程度的变化。

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13. 设有一组样本观测数据 (xᵢ, yᵢ)：(1, 2)、(2, 1)、(3, 5)。采用 N-W 核回归估计，核函数取均匀核 K(t)=1（当 |t|≤1），K(t)=0（其他），带宽 h=1。求回归函数在 x=2 处的估计值 m̂(2)。

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14. 设样本数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (0, 1)、(1, 3)、(2, 6)，用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，取带宽 h=1、高斯核 K(t)=(1/√(2π))e^(−t²/2)。则 m̂(1) 最接近（　）。 A. 3.33　B. 2.60　C. 4.20　D. 3.00

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15. 设回归模型为 Y = m(x) + ε，其中 m(x) = sin(x) 是未知的光滑回归函数，ε 为零均值随机误差。现有观测数据 (xᵢ, Yᵢ)，i = 1, …, 20，xᵢ 均匀分布于 [0, π]。采用 Nadaraya–Watson 核估计，核函数取均匀核 K(u) = 1/2 当 |u| ≤ 1，否则为 0，带宽 h = π/6。请计算在点 x₀ = π/2 处的核估计值 m̂(x₀)，已知满足 |xᵢ − π/2| ≤ π/6 的观测点为 x = π/3、π/2、2π/3 共 3 个，对应响应值分别为 Y = 0.85、1.02、0.88。

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16. 在局部加权回归中，核权函数取 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，带宽 h=2。为在拟合点 x₀=5 处进行加权拟合，若某设计点 x=8，则该点对应的权 w((x−x₀)/h)=____。

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17. 设回归模型 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i=1,…,n），采用核权局部平均光滑器 m̂(x) = ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)Yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h) 进行估计，其中 h 为带宽。该光滑器体现了非参数回归的基本思想：不预设 m 的函数形式，仅用 x 邻近点的局部信息加权估计。若固定数据，当带宽 h→0 时，每个 x 邻域内仅剩自身观测点，m̂(xᵢ)→____；而当带宽 h→∞ 时，所有点权重趋于相同，m̂(x) 对任意 x 都收敛于同一个值，即该值等于____。

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18. 设样本观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (0,1)、(1,4)、(2,2)、(3,5)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，其中带宽 h=1，核函数取二次核 K(t)=1−t²（|t|≤1），K(t)=0（|t|>1）。则 m̂(1.8) 的估计值为 ____（用最简分数表示）。

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19. 在 Nadaraya-Watson 核平滑中，采用 Epanechnikov 核权函数 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，在拟合点 x₀=0 处使用带宽 h=1。现有设计点及观测值：x₁=−0.8, y₁=1；x₂=−0.4, y₂=3；x₃=0.2, y₃=5；x₄=1.5, y₄=7。请先写出各设计点在 x₀ 处的权重，再计算核平滑估计值 f̂(0)（结果用分数表示）。

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20. 在局部加权回归中，采用核权函数 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，在拟合点 x₀=0 处用带宽 h=2 进行 Nadaraya–Watson 估计。现有设计点 x₁=0, x₂=0.5, x₃=1, x₄=1.5，对应观测值 y₁=1, y₂=3, y₃=5, y₄=7。则拟合值 f̂(0) 为： A. 3.0　B. 3.4　C. 4.0　D. 4.5

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21. 某散点数据按自然顺序记为 y₁, y₂, y₃, y₄, y₅。采用窗口宽度为3的移动平均平滑（即对内部点 i=2,3,4 取 mᵢ=(yᵢ₋₁+yᵢ+yᵢ₊₁)/3）。已知 y₁=3，且平滑后得到 m₂=4，m₃=6。试用非参数回归“局部平均”的思想，求原数据中 y₄ 的值。

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22. 非参数回归的基本思想是：不对回归函数 m(x) 的函数形式作任何参数假定，仅假设它具有一定的____性，直接利用观测数据 (xᵢ, Yᵢ) 在 x 附近的信息对 m(x) 进行局部估计，从而使模型更灵活地拟合数据的真实结构。

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23. 设观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (1, 3)、(2, 5)、(4, 4)，采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，核函数取均匀核 K(t)=1（当 |t|≤1），K(t)=0（当 |t|>1），带宽 h=1。请计算 m̂(3) 的值。

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24. 在局部加权回归中，带宽 h 是控制平滑程度的关键参数。下列关于带宽选择的说法正确的是： A. h 越小，拟合曲线越平滑，偏差越大 B. h 越大，局部邻域内参与拟合的点越多，曲线越平滑，但可能造成欠拟合 C. h 越大，拟合曲线越能刻画数据的局部细节，方差越大 D. 带宽的选择对拟合结果没有影响，只需保证核函数非负

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25. 设样本观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (0, 2)、(1, 5)、(2, 3)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，带宽取 h=1，核函数取均匀核 K(t)=1（当 |t|≤1），K(t)=0（当 |t|>1）。求 m̂(1) 的值。

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26. 在非参数回归中，设模型 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i=1,…,5），x₁<…<x₅，采用 Nadaraya–Watson 核权光滑器 m̂(x) = ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)Yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，K 为对称核密度函数，带宽 h>0。已知 Y₁=2，Y₂=4，Y₃=7，Y₄=9，Y₅=11。该方法不预设 m(x) 的参数形式，仅假定其具有某种光滑性。当带宽 h→0 时，m̂(x₃) 收敛于 ____；当带宽 h→∞ 时，m̂(x₃) 收敛于 ____。

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27. 设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,6)、(5,10)。在 x₀=3 处作局部线性回归（局部一次多项式拟合），核函数取三角核 K(t)=(1−|t|)·1{|t|≤1}，带宽 h=2，即各点的权为 wᵢ=K((xᵢ−x₀)/h)，通过最小化加权平方和 ∑ᵢ wᵢ(yᵢ−β₀−β₁(xᵢ−x₀))² 求得估计。则拟合值 ŷ(3)=β̂₀ 为：A. 4.75　B. 4.50　C. 5.00　D. 5.25

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