大学非参数统计上册《非参数密度估计》练习题

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本单元考点（4 个）

直方图密度估计核密度估计的基本原理带宽对估计的影响常用核函数及选择

本单元练习题（27 题）

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1. 对某小区 40 户家庭的月用水量（单位：吨）作直方图密度估计。将取值区间 [2, 6) 等分为 4 个小区间，每个小区间长度为 1 吨。已知落在小区间 [3, 4) 内的观测个数为 6，样本容量 n=40，则该小区间上直方图密度估计值为多少？ A. 0.06 B. 0.15 C. 0.40 D. 6.00

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2. 在核密度估计中，若带宽 h 取得过小，估计曲线最可能出现的情况是（　） A. 曲线过度平滑，掩盖了密度的局部峰谷结构 B. 曲线在数据点附近出现尖锐锯齿状起伏，方差偏大 C. 曲线形状与带宽选取无关 D. 曲线必然变成正态密度形状

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3. 在核密度估计中，带宽 h 越大平滑程度越强；渐近均方积分误差满足 AMISE(h)=Ah⁴+B/(nh)。某研究组取核与密度使 A=2、B=3，样本量 n=375。为使 AMISE 达到最小，带宽 h 应取为（　） A. 0.05 B. 0.10 C. 0.25 D. 0.50

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4. 在核密度估计中，考虑三角核 K(u)=1−|u|（当 |u|≤1 时），K(u)=0（当 |u|>1 时），以及 Epanechnikov 核 K₂(u)=3/4·(1−u²)（当 |u|≤1 时），否则为 0。(1) 验证三角核满足 K(u)≥0 且 ∫K(u)du=1；(2) 计算三角核的二阶矩 μ₂(K)=∫u²K(u)du；(3) 已知 Epanechnikov 核的二阶矩为 1/5，求三角核与 Epanechnikov 核二阶矩之比，并指出哪个核的二阶矩更小。

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5. 某研究组用高斯核密度估计估计一组数据的密度，依次尝试了三个带宽：h₁=0.02，h₂=0.2，h₃=2。观察发现：估计曲线在样本点附近出现大量尖锐的锯齿状起伏，未能有效平滑数据；而另一个极端情形下曲线被过度平滑，多峰结构被完全抹平，几乎成为单峰。关于带宽对核密度估计的影响，下列判断正确的是： A. h₁=0.2 时出现锯齿，h₃=2 时过度平滑 B. h₁=0.02 时出现锯齿，h₃=2 时过度平滑 C. h₁=0.02 时过度平滑，h₃=2 时出现锯齿 D. h₁=0.2 时过度平滑，h₃=2 时出现锯齿

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6. 在核密度估计中，若核函数 K(u) = (3/4)(1−u²)（当 |u|≤1 时），K(u)=0（当 |u|>1 时），则该核函数称为____核。在常用核函数中，就渐近积分均方误差准则而言，该核函数在所有二阶核函数中的地位可描述为：它是____（填“最优”或“非最优”）。

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7. 在核密度估计中，若选取核函数 K(u) = (1/2)·1{|u|≤1}，则该核函数属于常用核函数中的____核；与高斯核相比，它的支撑集是____（填“有界”或“无界”）。

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8. 在核密度估计中，当样本量 n 固定、核函数不变时，估计量的偏差主项与 h² 成正比，方差主项与 1/(nh) 成正比。若将带宽从 h 增大到 2h，则偏差主项的平方（即偏差²）变为原来的____倍，方差主项变为原来的____（用最简分数表示）。

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9. 设核密度估计中常用的三个核函数如下：均匀核 K₁(u)=1/2（当 |u|≤1，否则为 0）；Epanechnikov 核 K₂(u)=3/4·(1−u²)（当 |u|≤1，否则为 0）；高斯核 K₃(u)=(1/√(2π))·e^(−u²/2)。请分别计算 K₁(0.5)、K₂(0.5)、K₃(0) 的值。

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10. 设有一组样本观测值 x₁=1，x₂=2，x₃=4，采用高斯核 K(u)=(1/√(2π))e^(−u²/2)（其中 √(2π)≈2.5066），带宽 h=1 作核密度估计。请写出核密度估计 f̂(x) 的表达式，并计算 f̂(2) 的值（结果保留 4 位小数；参考值：e^(−1/2)/√(2π)≈0.2420，1/√(2π)≈0.3989，e^(−2)/√(2π)≈0.0540）。

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11. 设 x₁,…,x₂₀ 为来自某总体的 20 个观测值，用等宽分组直方图估计密度。若落在区间 [1,3] 内的观测值恰有 7 个，其余观测值均落在其他组，则该直方图在区间 [1,3] 上对应的密度估计值为多少？ A. 0.07　B. 0.175　C. 0.35　D. 0.70

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12. 设有来自某连续总体的 200 个观测值 x₁,…,x₂₀₀，将区间 [0,50) 等分为 10 个宽度 h=5 的组格作直方图密度估计。已知落在组格 [20,25) 内的观测值个数为 18。请写出该组格上直方图密度估计值的计算式并求出结果；若某组格上的直方图密度估计值恰为 0.008，求该组格内的观测值个数。

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13. 设核密度估计中，偏差主项为 B(h)=0.5h²，方差主项为 V(n,h)=0.2/(nh)。现取样本量 n=400，带宽 h=0.05。请计算此时偏差主项 B(h) 与方差主项 V(n,h) 的值。

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14. 关于核密度估计 f̂(x)=(1/nh)∑K((x−xᵢ)/h) 的基本原理，下列说法正确的是： A. 带宽 h→0 时，f̂ 逐渐光滑并趋于一条水平直线 B. 核函数 K 必须满足非负且积分为 1，以保证 f̂ 是密度函数 C. 带宽 h 越大，f̂ 对样本的局部细节刻画越精细 D. 核函数 K 必须是均匀核，否则 f̂ 不收敛于真实密度

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15. 在核密度估计中，常用核函数需满足 K(u)≥0 且 ∫K(u)du=1。现有两个核函数：均匀核 K₁(u)=1/2（|u|≤1 时，否则为 0）；Epanechnikov 核 K₂(u)=3/4·(1−u²)（|u|≤1 时，否则为 0）。请分别计算两个核的 ∫K²(u)du（该量与估计方差成正比）与 ∫u²K(u)du（该量反映核的平滑程度），并根据结果判断：哪个核的 ∫K²(u)du 更小？哪个核的 ∫u²K(u)du 更小？

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16. 核密度估计通过在每个样本点处放置一个核函数并叠加来估计总体密度：对样本 x₁,…,xₙ，核密度估计定义为 f̂(x) = (1/(nh)) ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，其中 K 为核函数，h 称为____，当 h→0 且 n→∞ 时，在适当条件下 f̂(x) 收敛于真实的密度函数 f(x)。

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17. 设样本观测值为 x₁=2，x₂=4，x₃=7，x₄=9，采用均匀核 K(u)=1/2（当 |u|≤1，否则为 0），带宽 h=2，作核密度估计 f̂(x)=(1/(nh))∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)。则在点 x=3 处的核密度估计值 f̂(3)=____。

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18. 设样本观测值为 x₁=0，x₂=3，用均匀核 K(u)=1/2（当 |u|≤1，否则 K(u)=0）作核密度估计，带宽 h=1。则核密度估计在 x=2.5 处的值 f̂(2.5)=____。

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19. 设用高斯核对样本量 n=2000 的数据作核密度估计，其渐近均方积分误差为 AMISE(h)=4h⁴+5/(2000h)。完成以下计算：(1) 求 h=0.5 时的 AMISE 值；(2) 若带宽增大一倍（h=1），求此时方差主项 5/(2000h) 与原值之比，并说明方差项随带宽增大如何变化；(3) 求 h=1 时的 AMISE 值，并判断带宽从 0.5 增到 1 后估计误差是增大还是减小。

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20. 设 x₁,…,x₆₀ 为来自某连续总体的 60 个观测值，取值范围为 [0,12)。将 [0,12) 等分为 6 个宽度 h=2 的组格，各组格内观测个数依次为：[0,2) 有 9 个，[2,4) 有 15 个，[4,6) 有 12 个，[6,8) 有 18 个，[8,10) 有 4 个，[10,12) 有 2 个。用等宽直方图作密度估计，则密度估计的最大值及所在组格为（　） A. 0.15，位于 [6,8) B. 0.125，位于 [2,4) C. 0.15，位于 [2,4) D. 0.18，位于 [6,8)

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21. 设有来自某连续总体的 90 个观测值 x₁,…,x₉₀，取值范围均在 [0,45) 内。将 [0,45) 等分为 9 个宽度 h=5 的组格作直方图密度估计，已知落在组格 [15,20) 内的观测值恰有 12 个。请写出组格 [15,20) 上密度估计值 f̂(x) 的表达式并计算其数值。

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22. 在核密度估计 f̂(x)=(1/(nh))∑ᵢ K((x−xᵢ)/h) 中，核函数 K 的基本作用是什么？ A. 确定估计量的样本容量大小 B. 决定每个样本点对估计值的贡献在邻域内如何分布 C. 替代样本数据以减少计算量 D. 保证估计量等于总体均值

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23. 设 x₁,…,x₁₂₀ 为来自某连续总体的 120 个观测值，取值范围均在 [0,24) 内。将 [0,24) 等分为 6 个宽度 h=4 的组格作直方图密度估计，已知落在各区间 [0,4)、[4,8)、[8,12)、[12,16)、[16,20)、[20,24) 内的观测个数依次为 15、30、36、18、12、9。若某组格内估计密度值为 0.075，则该组格内共有多少个观测值？（提示：组格 [a,b) 上的直方图密度估计为该组格内观测个数/(n·h)，n 为样本总量，h 为组格宽度） A. 30　B. 36　C. 32　D. 27

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24. 在核密度估计 f̂(x) = (1/(nh)) ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h) 中，核函数 K 通常满足非负性与归一化条件 ∫K(u)du = ____，以保证估计出的密度函数在整个实轴上的积分等于 1。

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25. 设有来自某连续总体的 75 个观测值 x₁,…,x₇₅，取值均落在区间 [0,15) 内。将 [0,15) 等分为 5 个宽度 h=3 的组格作直方图密度估计。已知落在组格 [6,9) 内的观测值恰有 15 个，则该组格上直方图密度估计值 f̂(6.5) = ____（结果用分数表示）。

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26. 设用某核函数对样本量 n=250 的数据作核密度估计，其渐近均方积分误差为 AMISE(h)=8h⁴+1/(3125h)。求使 AMISE 达到最小的带宽 h*=____，并求最小值 AMISE(h*)=____。

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27. 设用高斯核对样本量 n=900 的数据作核密度估计，其渐近均方积分误差为 AMISE(h)=2h⁴+5/(900h)。（1）求使 AMISE 最小的带宽 h₀（精确到 0.001）；（2）说明当带宽取 h=0.1（远小于 h₀）时，估计结果主要受偏差影响还是方差影响，并简述曲线形态上的表现。

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