大学非参数统计上册《Wilcoxon符号秩检验》练习题

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本单元考点（4 个）

Wilcoxon符号秩检验原理符号秩统计量的构造配对样本的符号秩检验大样本近似与软件实现

本单元练习题（27 题）

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1. 某实验室研究一种催化剂对反应转化率的影响，对 6 组平行试样分别测定加入催化剂前后的转化率（%），得到配对差值（后减前）：+4, -2, +7, -7, +3, -1。请按 Wilcoxon 符号秩检验的规则构造符号秩统计量：(1) 将差值取绝对值后从小到大编秩，遇到相同绝对值时取平均秩；(2) 分别求出正差值的秩和 W⁺ 与负差值的秩和 W⁻；(3) 验证 W⁺+W⁻ 与 n(n+1)/2 是否一致，并给出检验统计量 W = min(W⁺, W⁻) 的值。

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2. 某实验室对同一水样用新旧两种方法各测一次，得到 6 个平行样本的差值：+2, -1, +1, +4, -5, +3。在构造 Wilcoxon 符号秩统计量时，先将差值取绝对值，再按从小到大编秩（相等绝对值取平均秩），并求正差值秩和 W+ 与负差值秩和 W−。请完成该统计量的构造，给出各差值的秩、W+ 与 W− 的值。

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3. 某农业研究站为验证一种新型肥料能否提高小麦产量，选取8块条件相近的试验田进行配对试验：每块田一半施用新型肥料，一半施用原肥料，其余条件相同。记每块田的差值 d=新型肥料区产量−原肥料区产量（单位：kg），依次为：5, 7, 2, -1, 6, 4, 9, 3。假定差值来自对称分布。采用Wilcoxon符号秩检验（单侧，备择假设为新型肥料能提高产量），显著性水平 α=0.05，已知 n=8 时单侧检验的临界值为：当 T=min(W+, W−)≤5 时拒绝原假设。要求：(1) 将差值按绝对值大小从小到大排秩（无相同绝对值，不需平均秩）；(2) 分别计算正秩和 W+ 与负秩和 W−；(3) 求 T=min(W+, W−)，做出统计结论，并判断在 α=0.05 水平下能否认为新型肥料显著提高了小麦产量。

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4. 某研究组对 20 对配对样本的差值作双侧 Wilcoxon 符号秩检验，所有差值均非零且各绝对值互不相同，算得正秩和 W₊ = 90。在 H₀ 成立时 E(W₊) = n(n+1)/4，Var(W₊) = n(n+1)(2n+1)/24。采用正态大样本近似（连续性校正可忽略），检验统计量 Z 的值最接近下列哪个数值？由此在显著性水平 α = 0.05 下应得出的结论是？A. Z ≈ −0.56，不拒绝 H₀　B. Z ≈ −2.24，拒绝 H₀　C. Z ≈ 0.56，不拒绝 H₀　D. Z ≈ −1.35，不拒绝 H₀

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5. 某公司为考察一种新办公椅对员工腰背舒适度评分的影响，随机抽取 8 名员工进行配对试验，记录每人使用新椅与旧椅的舒适度评分差值（新椅减旧椅，单位：分）：3.2, -1.5, 2.0, 4.1, -0.8, 5.3, 1.6, -2.4。试用 Wilcoxon 符号秩检验（双侧，α=0.05，n=8 时的双侧临界值为 T≤3）检验差值的中位数是否为零：求各差值的秩，计算正差值秩和 T+，写出统计量 T 的值并作出推断。

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6. 某质检员比较两种称重方法，取5件物品配对测量，差值（甲法减乙法）依次为：-7，4，-1，9，0。采用Wilcoxon符号秩检验（双侧，显著性水平α=0.05）：先剔除差值为0的样品，再对差值绝对值由小到大编秩，则正差值的秩和W⁺=____。已知n=4时双侧0.05的临界值为W≤0才拒绝原假设，据此应得到的结论是____（填“拒绝原假设”或“不能拒绝原假设”）。

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7. 某水质监测中心对 25 个采样点进行治理前后对比，计算各点污染物浓度差值 dᵢ = 治理前 − 治理后，所有差值均非零且绝对值互不相同。采用 Wilcoxon 符号秩检验（双侧，H₀：差值分布对称于 0），算得正秩和 W₊ = 232。因 n 较大，用正态近似（含连续性校正）求检验统计量 z 的值，并给出双侧 p 值（用标准正态近似，Φ(1.84)≈0.9671），据此在显著性水平 α=0.05 下判断结论。

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8. 为比较两种温度校准装置的稳定性，抽取7台仪器配对测量，差值（新装置减旧装置）依次为：2，-8，4，-4，6，-1，5。采用Wilcoxon符号秩检验（双侧，α=0.05），无差值为0的样品，相同绝对差值取平均秩。则按|差值|由小到大编秩后，差值为-8的观测的秩为____，符号秩统计量W（取W+与W-中较小者）为____。

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9. 某农业站为考察两种施肥方案对作物株高的影响是否有差异，选取7块同质田块配对试验，得到差值（方案A减方案B，单位：cm）：2，-3，3，-5，6，-8，0。按Wilcoxon符号秩检验规则剔除差值为0的配对，对其余差值的绝对值从小到大编秩（相同数值取平均秩）。记正差值秩和为W+，负差值秩和为W-，则W- = ____。

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10. 某农业研究所对 24 块配对试验田比较两种施肥方案，记差值 dᵢ = 方案A产量 − 方案B产量，所有差值均非零且绝对值互不相同。采用 Wilcoxon 符号秩检验（双侧，显著性水平 α=0.05），算得正秩和 W₊ = 190。因 n 较大，使用正态近似：在 H₀ 成立时 E(W₊) = n(n+1)/4，Var(W₊) = n(n+1)(2n+1)/24。请计算标准化统计量 Z 的值（保留三位小数），求对应的双侧 P 值（保留三位小数），并给出检验结论。

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11. 为评估一种新的记忆训练方法，随机抽取 6 名学员，分别测得训练前后的记忆得分，配对差值（后减前，单位：分）为：+1, -4, +3, -2, +6, -5。请按 Wilcoxon 符号秩检验的要求构造符号秩统计量：先取各差值的绝对值并从小到大排秩，再分别求正差值的秩和 W⁺ 与负差值的秩和 W⁻，并写出二者的值。

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12. 某农业试验站考察一种叶面肥对叶片叶绿素含量的影响，随机抽取 8 株同品种幼苗做配对试验，喷施前后各测一次叶绿素含量，得到配对差值（后减前，单位 mg/L）：+1, -3, +3, -2, +2, -5, +6, -7。请按 Wilcoxon 符号秩检验的步骤构造符号秩统计量：先将差值取绝对值并从小到大编秩（遇到相同绝对值取平均秩），再分别对正差值与负差值的秩求和，最后取两者中较小者作为检验统计量 W。求该组数据的 W 值。

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13. 为检验某种记忆训练能否提高受试者的短时记忆测试得分，随机抽取6名受试者进行配对试验，记录每人训练后与训练前的得分差值（训练后减训练前）：2, -3, 5, 1, -4, 6。采用Wilcoxon符号秩检验（双侧），在计算统计量时，正差值的秩和T+为多少？A. 7　B. 12　C. 14　D. 21

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14. 某医院对 30 名配对受试者比较两种镇痛方案，差值 dᵢ = 方案A − 方案B，所有差值均非零且绝对值互不相同。作双侧 Wilcoxon 符号秩检验，算得正秩和 W₊ = 330。因 n 较大，采用正态近似，标准化统计量 z = (W₊ − E(W₊))/√Var(W₊) 最接近于多少？（其中 E(W₊) = n(n+1)/4，Var(W₊) = n(n+1)(2n+1)/24） A. 1.28　B. 1.64　C. 2.01　D. 2.58

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15. 某研究组比较两种包装方式对食品保质期的影响，选取6批同批次食品配对试验，得到差值（方式甲减方式乙，单位：天）：4，-6，3，-9，7，-1。采用Wilcoxon符号秩检验（双侧，显著性水平α=0.05，n=6时双侧临界值为W≤1则拒绝原假设）。请先剔除零差值，将绝对差值从小到大编秩，再计算统计量W=min(正秩和, 负秩和)，并给出检验结论。下列结论正确的是（　） A. W=10，不拒绝原假设，两种包装方式的保质期差异不显著 B. W=11，拒绝原假设，两种包装方式的保质期差异显著 C. W=10，拒绝原假设，两种包装方式的保质期差异显著 D. W=6，不拒绝原假设，两种包装方式的保质期差异不显著

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16. 某实验室比较两种测量方法，对7个样本配对测得差值（甲法减乙法）依次为：4, -1, 2, -5, 6, 7, -3。按Wilcoxon符号秩检验，将差值按绝对值从小到大排秩（无结），则正差值的秩和T+为（　） A. 19　B. 9　C. 28　D. 12

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17. 某实验室对 16 对配对样本的差值作 Wilcoxon 符号秩检验，所有差值均不为零，算得正秩和 W₊ = 78。在 H₀ 成立时，E(W₊) = n(n+1)/4，Var(W₊) = n(n+1)(2n+1)/24。用大样本近似，检验统计量 Z = (W₊ − E(W₊))/√Var(W₊)，则 Z 的值约为____（保留两位小数）。

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18. 为检验某种降压训练前后血压差值的分布是否对称于零，抽取 7 名受试者，得到配对差值（训练后减训练前，单位 mmHg）：2.1, -1.4, 3.0, -0.6, 1.8, 2.5, 0.9。采用 Wilcoxon 符号秩检验（无结、不连续性校正），将差值按绝对值从小到大赋秩 1 至 7，并在原秩上冠以差值符号。则正差值对应的秩之和 T+ 为多少？ A. 20　B. 22　C. 24　D. 26

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19. 某实验室为检验一种新测量方法是否与标准方法存在系统性差异，抽取6个样品配对测量，得到6个差值（新方法减标准方法）：3，-5，2，8，-1，6。采用Wilcoxon符号秩检验（双侧），将差值按绝对值从小到大排秩，则该检验所用的统计量（正秩和与负秩和中较小者）为多少？ A. 21 B. 16 C. 5 D. 11

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20. 某实验室对13份配对样本测得处理后与处理前差值的Wilcoxon符号秩检验中正秩和 T⁺=72，无任何差值为零，且各差值绝对值互不相同。设检验为双侧检验，采用大样本正态近似，则标准化统计量 z≈____（保留两位小数）；在显著性水平 α=0.05 下，你的结论是：____（填“拒绝H₀”或“不拒绝H₀”）。

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21. 某研究员对 7 名患者分别测定治疗前后某指标，得到配对差值（后减前）：+5, -3, +1, -6, +2, -5, +4。在构造 Wilcoxon 符号秩统计量时，将差值取绝对值后从小到大编秩，绝对值相同的取平均秩次，则正差值的秩和 W+ 为多少？ A. 15.5　B. 13　C. 12.5　D. 16

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22. 某研究对 20 对配对样本的差值作 Wilcoxon 符秩检验，无任何差值为零，且各差值绝对值互不相同，算得正秩和 W₊=60。在 H₀ 成立时 E(W₊)=n(n+1)/4，Var(W₊)=n(n+1)(2n+1)/24。采用大样本正态近似（不作连续性校正），则标准化统计量 Z=____（保留两位小数）。

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23. 某质检部门为考察一种校准装置的效果，随机抽取 7 台仪器，分别测出校准前后的示值误差，得到配对差值（后减前，单位：微米）：+0.5, -1.5, +1.5, -2, +3, -0.5, +2.5。请按 Wilcoxon 符号秩检验的方法构造符号秩统计量：先将差值取绝对值并从小到大排秩，遇到相同绝对值取平均秩，再求正差值对应的秩之和 W+。求 W+ 的值。

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24. 某研究得到 6 名受试者某训练前后配对测量的差值（后减前）：+2, -1, +5, -3, +4, -6。在构造 Wilcoxon 符号秩统计量时，先将差值取绝对值：2, 1, 5, 3, 4, 6，再按从小到大编秩，其对应的秩依次为 2, 1, 5, 3, 4, 6。若以正差值的秩和为统计量 W+，则 W+ = ____。

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25. 某课题组对 18 对配对样本的差值作双侧 Wilcoxon 符号秩检验，所有差值均非零且各差值绝对值互不相同，算得正秩和 W₊ = 126。由于 n 较大，采用正态近似：在 H₀ 成立时，E(W₊)=n(n+1)/4，Var(W₊)=n(n+1)(2n+1)/24。则标准化统计量 Z=(W₊−E(W₊))/√Var(W₊) 的值为____（保留三位小数）。

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26. 在Wilcoxon符号秩检验中，设配对样本差值为 d₁, d₂, …, dₙ，检验统计量 W+ 定义为正差值的秩之和。关于该检验的基本原理，下列说法正确的是： A. 将差值按绝对值大小排秩，正差值的秩之和记为 W+ B. 将差值按原始数值大小排秩，正差值的秩之和记为 W+ C. 只统计正差值的个数，不需要排秩 D. 将差值按正负号分组后分别求和再比较

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27. 某电商平台对 28 对配对商品页比较改版前后的点击率，记差值 dᵢ = 改版后 − 改版前，所有差值均非零且绝对值互不相同。作双侧 Wilcoxon 符号秩检验，算得正秩和 W₊ = 120。由于 n=28 较大，采用正态近似：在 H₀ 成立时 E(W₊)=n(n+1)/4，Var(W₊)=n(n+1)(2n+1)/24，则检验统计量 Z = (W₊ − E(W₊))/√Var(W₊) 的值为____（保留两位小数）。

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