大学非参数统计上册《秩相关分析》练习题

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本单元考点（4 个）

Spearman秩相关系数Kendall tau相关系数秩相关的显著性检验秩相关与Pearson相关的区别

本单元练习题（27 题）

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1. 某教研室抽取5名学生的两次面试成绩，其秩分别为：X的秩为1,2,3,4,5；Y的秩为3,1,4,2,5。则这两组成绩的Kendall tau相关系数为（　） A. 0.4　B. 0.5　C. 0.6　D. 0.2

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2. 某统计班开展研讨：甲认为Spearman秩相关系数只依赖观测值的秩次，对数据的任意严格单调变换保持不变，而Pearson相关系数不具备这一性质；乙认为当样本数据存在离群值时，Spearman秩相关通常比Pearson相关更稳健；丙认为两种相关系数在度量变量间线性相关强弱时完全等价。请判断：甲、乙、丙三人观点正确的共有____人；若将数据x_i全部替换为其自然对数 ln(x_i)（x_i>0 且严格递增次序不变），则Spearman秩相关系数的数值____（填“改变”或“不变”）。

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3. 设一组样本观测值为 (x,y)：(1,2)、(2,4)、(3,6)、(4,8)、(5,25)。分别计算 x 与 y 的 Spearman 秩相关系数 r_s 与 Pearson 相关系数 r_p（结果保留三位小数），并结合两个结果说明秩相关与 Pearson 相关在度量目标上的本质区别。

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4. 某质检部门对9批同类产品分别按质量评分和成本高低排序，得到两套秩次，各批秩次之差 dᵢ 的平方和 ∑dᵢ²=18。请在显著性水平 α=0.05 下，计算 Spearman 秩相关系数并对“质量评分与成本总体上不相关”这一原假设进行双侧检验。已知 n=9 时双侧 0.05 的 Spearman 临界值为 0.6364。

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5. 某食品感官评审小组对6种新式饮料分别按口感与香气的评分独立排序，得到两套秩次，各样品秩次之差 dᵢ 的平方和 ∑dᵢ²=2。以 H₁: ρₛ>0（正秩相关）为备择假设，取显著性水平 α=0.05，已知 n=6 时 Spearman 秩相关系数的单侧临界值为 0.829。则 rₛ=____（保留三位小数），检验结论为（填“显著”或“不显著”）____。

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6. 某公司对5名员工进行笔试与面试，按成绩从高到低排名如下：员工甲、乙、丙、丁、戊的笔试排名依次为1、2、3、4、5，面试排名依次为2、3、1、5、4。则其Spearman秩相关系数r_s=____。

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7. 某研究团队考察5种肥料配方的效果排名，专家甲给出的质量排名依次为1、2、3、4、5，专家乙给出的对应排名依次为2、1、4、3、5。据此计算的Spearman秩相关系数为多少？ A. 0.6　B. 0.8　C. 0.9　D. 1.0

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8. 对10名运动员分别按体能测试成绩与专项技术评定的名次独立排序，得到两套秩次。设各对秩次之差为 dᵢ。已知 Spearman 秩相关系数计算得 rₛ=2/3，则各对秩差平方和 ∑dᵢ² 的值为（　） A. 30 B. 44 C. 55 D. 66

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9. 某研究组测得8名学生的平时成绩x与实验操作评分y，发现x中存在一个异常偏高的观测值，且y与x之间呈明显的非线性单调递增关系。关于此时应选用Spearman秩相关系数而非Pearson相关系数的理由，下列说法正确的是哪一项？ A. Spearman系数先把数据转化为秩次再计算，故受极端值影响小，且能刻画任意单调递增的关联，而Pearson系数易被异常值拉动且只度量线性关联 B. Spearman系数直接用原始观测值计算，能更充分利用数据信息，而Pearson系数只用到秩次信息 C. Spearman系数对任意形式的变换（包括非单调变换）都保持不变，而Pearson系数不行 D. 当且仅当两变量严格线性相关时，Spearman系数才等于1，故它比Pearson系数更严格

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10. 某环保机构为研究两条相邻河流的污染物浓度是否同升同降，在8个采样点同时取样。8个采样点（按编号1至8）的A河污染物浓度排名依次为1,2,3,4,5,6,7,8，B河污染物浓度排名依次为2,1,4,3,5,7,6,8。（1）计算Spearman秩相关系数r_s（结果用分数与近似小数表示）；（2）给定n=8时显著性水平α=0.05的单侧临界值为0.643，据此判断两河污染物浓度是否存在显著的正秩相关，并写出检验结论。

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11. 某食品测评机构邀请两位品评员对7款酸奶按口感从好到差排名。7款酸奶（按编号1至7）品评员甲的排名依次为1,2,3,4,5,6,7，品评员乙的对应排名依次为2,4,1,3,5,7,6。则两人排名的Spearman秩相关系数r_s=____（用分数表示）。

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12. 某农业试验站对7个小麦品种分别按抗旱能力与产量表现独立排序，统计得一致对数 C=16，不一致对数 D=5。设 Kendall 秩相关统计量 τ=(C−D)/(C+D)，在 H₀: τ=0 成立时，√(2(2n+5)/(9n(n−1))) 是 τ 的近似标准差。取显著性水平 α=0.05（单侧临界值 z₀.₀₅=1.645），则检验统计量 z=τ/√(2(2n+5)/(9n(n−1))) 的值为 ____（保留两位小数），据此应得出的结论是拒绝 H₀，认为两排序之间存在显著的正秩相关。

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13. 某食品评测机构请6位顾客对6种酸奶的口感与香气分别排序。已知口感排名依次为1,2,3,4,5,6，香气排名依次为3,1,2,5,4,6。据此计算两种排序的Spearman秩相关系数rₛ，其值为（　）。 A. 11/35 B. 27/35 C. 8/35 D. 31/35

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14. 某医师测得6名患者的用药剂量x（mg）与缓解评分y，数据如下： (10, 2)，(20, 5)，(30, 4)，(40, 8)，(50, 7)，(60, 11)。 (1) 写出x与y各自的秩次，并计算Spearman秩相关系数r_s（无结，用公式r_s = 1 − 6∑d²/(n(n²−1))，n=6）； (2) 简要说明：r_s与直接对原始数据计算的Pearson相关系数r的含义有何区别？

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15. 某市环保监测站对辖区内9个监测点位分别按PM2.5浓度高低与附近车流量大小独立排序，得到两套秩次，各点位秩次之差 dᵢ 的平方和 ∑dᵢ²=26。取显著性水平 α=0.05，以 H₁: ρₛ>0 为备择假设，已知 n=9 时 Spearman 秩相关系数的单侧临界值为 0.600。则样本秩相关系数 rₛ=____，检验结论为（填“拒绝”或“不拒绝”）____原假设，即车流量与PM2.5浓度之间存在显著的正秩相关。

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16. 某实验室记录了5次实验中反应温度x（℃）与某指标读数y的数据：(2, 20)，(4, 16)，(6, 12)，(8, 6)，(10, 2)。请计算 x 与 y 的 Spearman 秩相关系数 r_s；再据此结合本题数据说明：为什么当两变量呈严格单调递减但非线性关系时，r_s 能刻画其关联，而 Pearson 相关系数与 r_s 的取值不同？只要求计算 r_s 并作简要说明，不需要计算 Pearson 相关系数的具体数值。

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17. 下列关于 Spearman 秩相关系数与 Pearson 相关系数区别的叙述中，正确的是哪一项？ A. Spearman 系数基于观测值的秩次计算，对数据的单调变换保持不变，而 Pearson 系数会随非线性单调变换而改变 B. 两种系数在完全相同的样本上取值必然完全相等 C. Pearson 系数只度量单调性而不度量线性关系 D. Spearman 系数要求两个变量都必须服从正态分布才有意义

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18. 某研究者对8名学生的数学成绩与统计学成绩的排序结果计算得各对秩次之差 dᵢ，其平方和 ∑dᵢ²=6。取显著性水平 α=0.05，已知 n=8 时 Spearman 秩相关系数的单侧临界值为 0.643。对“数学成绩与统计学成绩正相关”作显著性检验，正确的结论是（　） A. r_s=13/14，拒绝原假设，认为正相关显著 B. r_s=13/14，不拒绝原假设，认为正相关不显著 C. r_s=1/14，拒绝原假设，认为正相关显著 D. r_s=13/7，不拒绝原假设，认为正相关不显著

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19. 设随机变量 Y = e^X，其中 X 服从某连续分布。记 ρ_s 为 X 与 Y 的 Spearman 秩相关系数，ρ_p 为 X 与 Y 的 Pearson 相关系数。由于 e^X 是严格单调增函数，X 与 Y 的样本秩完全相同，故 ρ_s = ____；而 Pearson 相关度量的是线性相关程度，Y 与 X 不呈线性关系，故 |ρ_p| ____ 1（填 <、= 或 >）。

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20. 设两组观测 (x,y) 依次为 (1,1)，(2,3)，(3,2)，(4,4)。据此计算 Kendall tau 相关系数 τ = (C−D)/[n(n−1)/2]，其中 C 为协和点对数，D 为不协和点对数，则 τ = ____

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21. 某高校统计学系随机抽取6名学生，对他们先后进行两次数学能力测验，成绩排名如下：学生甲、乙、丙、丁、戊、己在第一次测验中的排名依次为1、2、3、4、5、6，在第二次测验中的排名依次为2、1、4、3、6、5。设r_s为Spearman秩相关系数，检验水平α=0.05，试计算r_s的值。

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22. 设有一组观测数据 (x, y)：(1,1)，(2,4)，(3,2)，(4,5)。请分别计算这两组数据的 Spearman 秩相关系数 r_s（无结时用公式 r_s = 1 - 6∑d_i²/(n(n²-1))，其中 d_i 为 x 与 y 的秩次之差）与 Pearson 积矩相关系数 r（精确值），并据此判断哪个系数更大。

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23. 设两组观测的秩为：X的秩依次为1,2,3,4,5；Y的秩依次为3,1,4,2,5（n=5）。记同序对数为C、异序对数为D，则Kendall tau相关系数τ=(C−D)/[n(n−1)/2]=____。

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24. 在评价某城市空气质量监测数据时，研究者发现污染物浓度 x 与能见度 y 之间呈严格的单调递减非线性关系。若关心的是二者单调关联的强弱而非线性关系的程度，下列关于应选用 Spearman 秩相关系数而非 Pearson 相关系数的理由中，正确的是哪一项？ A. Spearman 系数基于秩次计算，只反映单调关联的方向与强弱，不受非线性形态影响，而 Pearson 只度量线性关系 B. Spearman 系数要求两变量均服从正态分布，Pearson 系数无此要求 C. Pearson 系数只能取正值，无法刻画负向关联 D. Spearman 系数对数据的任意线性变换会改变取值，故更稳健

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25. 某研究所对6名学员进行理论笔试与实操考核，按成绩从高到低得到秩次：笔试（X）的秩依次为1,2,3,4,5,6；实操（Y）的秩依次为2,4,1,6,3,5。记全部样本对中同序对数为C、异序对数为D，则Kendall tau相关系数τ的值为（　） A. 1/3 B. 1/5 C. 2/5 D. 1/2

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26. 设对6名运动员进行两项体能测试，成绩秩次为：X的秩依次为1,2,3,4,5,6；Y的秩依次为2,4,1,6,3,5。请计算这两组秩次的Kendall tau相关系数τ（结果用最简分数表示）。

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27. 某质检部门抽取6件产品，按两种评定标准分别排序，得到秩如下：标准X的秩依次为1,2,3,4,5,6；标准Y的秩依次为3,6,1,5,2,4。设同序对（对任意i<j，两标准中第i件秩均小于第j件秩的对）数为C，异序对数为D。要求：(1) 分别求出C与D的值；(2) 按定义 τ=(C−D)/[n(n−1)/2] 计算这两个标准之间的Kendall tau相关系数 τ。

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