大学非参数统计上册《符号检验》练习题

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本单元考点（4 个）

符号检验的基本原理单样本中位数的符号检验配对样本的符号检验符号检验的大样本正态近似

本单元练习题（27 题）

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1. 某食品厂为考察新工艺是否改变了产品的平均重量，随机抽取 n=36 件产品，比较其重量与标准值，得到正号个数 S=25，负号个数 11。试用符号检验的大样本正态近似，计算检验统计量 Z=(S−n/2)/√(n/4) 的值（结果保留两位小数）。

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2. 某研究组比较两种教学方法的效果，随机抽取12名学生进行配对试验（每名学生先后接受两种教学，记录同一测验成绩之差的符号）。实验后整理发现：成绩提高的有11人，成绩下降的有1人，成绩不变的有0人。在显著性水平 α=0.05 下，采用符号检验（H0：两种方法效果无差异，双侧检验，二项分布精确计算），正确的统计结论是： A. p 值约为 0.0063，拒绝 H0，认为两种方法效果有显著差异 B. p 值约为 0.0063，不拒绝 H0，认为两种方法效果无显著差异 C. p 值约为 0.0386，拒绝 H0，认为两种方法效果有显著差异 D. p 值约为 0.1938，不拒绝 H0，认为两种方法效果无显著差异

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3. 某质检部门声称一种零件长度的中位数为 50mm。随机抽取 16 个零件，与 50 比较：9 个大于 50，6 个小于 50，1 个恰等于 50。采用符号检验（双侧，显著性水平 α=0.05），剔除相等值后有效样本量 n=15，记 S 为大于 50 的个数。已知在 H0 下 S~B(15, 0.5)，拒绝域取 min(S, 15−S) ≤ c，其中 c 为满足 P(min(S, 15−S) ≤ c) ≤ 0.05 的最大整数。经计算，c=____，而观测值 min(S, 15−S)=5，故结论是不能拒绝“中位数为 50mm”的原假设。

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4. 某品牌宣称其充电宝循环寿命的中位数为 800 次。质检部门随机抽取 16 个充电宝进行测试，其中有 13 个寿命大于 800 次，3 个小于 800 次，无相等情形。取显著性水平 α=0.05，试用符号检验（双侧）判断该品牌宣称的中位数 800 次是否成立：写出假设、计算检验统计量 S 及精确 p 值，并给出结论。

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5. 某校为检验新教学法是否提高了学生的统计课成绩，随机抽取15名学生，记录每人旧教学法与新教学法下的两次测验成绩之差 dᵢ=新成绩−旧成绩。结果如下：dᵢ>0 的有 10 个，dᵢ<0 的有 3 个，dᵢ=0 的有 2 个。假设 dᵢ 独立同分布且其中位数为 θ。取显著性水平 α=0.05，用符号检验（单侧）检验 H₀: θ=0 对 H₁: θ>0：请写出有效样本量 n、统计量 S（正号个数）、并计算 P(X≥S) 的精确概率（X~B(n,0.5)），给出检验结论。

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6. 某检测机构为考察一种新型净水器是否改变了水样的某项指标，随机抽取 16 份水样，分别测出使用净水器前后的指标值并作配对比较。结果记录如下：净水器后指标值高于前的有 10 份，低于前的有 4 份，另有 2 份前后相等（记为剔除）。设配对差值的总体中位数为 θ，采用符号检验（显著性水平 α=0.05，双侧检验；当有效样本对数 n=14 时，双侧临界值为 2）。要求：(1) 指出该检验的有效样本对数 n 及统计量 S 的取值；(2) 依据符号检验的基本原理判断：能否认为该净水器显著改变了水样指标值？

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7. 某农业研究所比较两种肥料的增产效果，随机选取10块条件相近的田地作配对试验，每块田分成两半分别施用肥料甲与肥料乙，记录单位面积产量之差的符号。整理得：产量差为正的有3块，为负的有6块，差为0的有1块。采用符号检验（双侧检验，显著性水平α=0.05，零差值剔除后按n=9处理，且当统计量S=min(正号数, 负号数)≤1时拒绝原假设），则正确的检验结论是：　A. 拒绝原假设，两种肥料增产效果有显著差异　B. 不拒绝原假设，尚不能认为两种肥料增产效果有显著差异　C. 拒绝原假设，肥料甲显著优于肥料乙　D. 拒绝原假设，肥料乙显著优于肥料甲

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8. 为比较两种分析方法的检测精度，某实验室对同一批样本分别用甲、乙两种方法配对测定，共得10对数据，任意两方法之差均不为零。记每对差值（甲减乙）的符号，统计得正号9个、负号1个。用符号检验（双侧，显著性水平α=0.05）判断两种方法有无显著差异，已知拒绝域要求 p 值小于 α，则本次检验的 p 值为 ____（保留4位小数），检验结论为：两种方法存在显著差异（填“是”或“否”）。

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9. 某研究者对 50 名志愿者的睡眠时长是否达到推荐标准做符号检验，设达到与未达到的概率各为 0.5，实测正号个数 S=33，负号个数 17。采用大样本正态近似，检验统计量 Z=(S−n/2)/(√n/2)。计算 Z 的值并判断其落点：A. Z=1.13，绝对值小于 1.96，不拒绝原假设　B. Z=2.26，绝对值大于 1.96，拒绝原假设　C. Z=1.84，绝对值小于 1.96，不拒绝原假设　D. Z=2.55，绝对值大于 1.96，拒绝原假设

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10. 某饮料灌装线标称每瓶净含量的中位数为 500 毫升。质检员随机抽取 20 瓶，将每瓶净含量与 500 毫升比较，得到：大于 500 毫升的有 13 瓶，小于 500 毫升的有 3 瓶，恰等于 500 毫升的有 4 瓶。按符号检验的常规做法剔除恰相等的观测后，用精确二项分布检验灌装线净含量中位数是否偏离 500 毫升（双侧检验，显著性水平 α=0.05）。要求：写出有效样本量与正、负号个数，计算精确 p 值，并给出检验结论。

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11. 某实验室为检验一种催化剂是否改变了反应产率，选取10组平行条件进行配对实验，记录加入催化剂前后产率之差（后减前，单位：%）：3, -2, 5, 1, 6, 2, -1, 7, 4, 8。请用符号检验回答：（1）写出检验假设 H₀ 与 H₁（双侧）；（2）确定统计量 S+（正号个数）与 S-（负号个数）；（3）在 H₀ 成立下 S+ 服从二项分布 B(10, 0.5)，计算双侧精确 P 值（用分数表示）；（4）取显著性水平 α=0.05，给出检验结论。

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12. 为考察一种保温杯的保温性能是否优于旧款，随机抽取 12 个测试样本，分别测出新旧两款的相同降温时长后的水温并作配对比较（新减旧）。结果记录如下：新款水温高于旧款的有 9 个，低于旧款的有 2 个，另有 1 个两者相等（按符号检验规则予以剔除）。设正号与负号出现的概率相等，取双侧显著性水平 α=0.05，已知 B(11, 0.5) 满足 P(X≥10)=0.0059，P(X≥9)=0.0327，P(X≤2)=0.0327。请对新款保温性能与旧款是否存在差异作出检验结论。

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13. 某农科站为考察新型肥料是否改变小麦单产，随机抽取 n=144 块条件相同的地块进行对比，记录每块地施用新肥后产量与标准产量的差的符号，得到正号个数 S=84，负号个数 60。设无差异时正号出现的概率为 0.5。试用符号检验的大样本正态近似，计算检验统计量 Z=(S−n/2)/√(n/4) 的值，并据此在双侧检验水平 α=0.05 下（临界值 Z₀.₀₂₅=1.96）判断是否拒绝原假设。

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14. 某饮料公司比较消费者对两种包装设计的偏好，随机调查 n=120 名消费者，记录每人更偏好新包装与否，得到偏好新包装的人数 S=74，其余 46 人偏好旧包装。设两种偏好概率各为 0.5，采用符号检验的大样本正态近似，检验统计量 Z=(S−n/2)/√(n/4)。则 Z 的观测值最接近于（　） A. 2.56　B. 1.83　C. 1.28　D. 0.98

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15. 在配对样本的符号检验中，研究者得到 n₀=25 对观测，其中恰有 3 对的前后测量值完全相等。关于这 3 对差值为零的数据在检验中的处理，下列说法正确的是： A. 应将差值为零的数据记为负号，纳入负号个数进行检验 B. 应将差值为零的数据舍弃，有效样本量调整为 n=22，再对正号个数作二项检验 B(22, 1/2) C. 应将差值为零的数据平均分给正号与负号，各记 1.5 个 D. 差值为零的数据应保留，有效样本量仍为 n=25，检验分布为 B(25, 1/3)

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16. 某工厂为考察设备改造后产品是否仍以等概率出现正负偏差，抽取 n=144 件产品做符号检验，设每个偏差取正号的概率为 0.5，实测正号个数 S=82，负号个数 62。采用符号检验的大样本正态近似，检验统计量 Z=(S−np₀)/√(np₀(1−p₀))，其中 p₀=0.5。计算得 Z≈____（保留两位小数）；取双侧显著性水平 α=0.05，临界值为 1.96，则结论为不拒绝原假设（填“拒绝”或“不拒绝”）____。

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17. 某品牌宣称其电池的中位续航时间为 μ₀=10 小时。质检员随机抽取 14 块电池独立测试，以 10 小时为界记录符号：高于 10 小时的有 11 块（记正号），低于 10 小时的有 3 块（记负号），无一块恰好等于 10 小时。采用双侧符号检验，原假设为中位数等于 10 小时，此时正号个数 X 服从二项分布 B(14, 1/2)。则该检验的双侧 p 值为 2P(X≥11)=____（结果保留 4 位小数）。

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18. 为比较两款电池的使用寿命，某质检部门选取10台同型号设备进行配对测试：每台设备同时装上电池甲与电池乙，记录两电池失效时间之差的符号。已知任意一差的符号均不为零，其中正号（甲寿命更长）出现9个，负号出现1个。设失效时间之差独立同分布，在甲、乙寿命无差异的原假设下每个正号出现概率为1/2。采用符号检验（双侧备择假设），则该检验的p值最接近多少？ A. 0.021 B. 0.055 C. 0.010 D. 0.109

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19. 某医疗器械公司比较两种血压测量仪的读数差异，随机选取14名受试者进行配对测量，每名受试者同时用仪器甲与仪器乙各测一次，记录收缩压读数之差 dᵢ = 甲 − 乙的符号。整理得：dᵢ > 0 的有10人，dᵢ < 0 的有3人，dᵢ = 0 的有1人。剔除零差值后，设正号个数为 S，采用符号检验（双侧检验，显著性水平 α = 0.05），检验统计量 S 服从 B(n, 0.5)，其中 n 为非零差值的个数。临界值依据为：当 2×P(B(n,0.5) ≥ S) < 0.05 时拒绝原假设。请完成：确定 n 与 S 的值，计算双侧检验的 p 值（精确到小数点后四位），并给出检验结论。

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20. 在某配对实验中，对 n=25 组样本差值的符号进行检验，记录到正号个数 S=18，负号个数 7。采用符号检验的大样本正态近似，检验统计量 Z=(S−n/2)/(√n/2)，则 Z 的值为 ____。

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21. 某厂声称其零件长度的中位数为 25.0mm。随机抽取 14 件，测得长度大于 25.0mm 的有 12 件，小于 25.0mm 的有 2 件。采用符号检验（双侧，显著性水平 α=0.05），检验统计量 S=min(12,2)=2，对应的双侧精确 p 值约为 ____（保留三位小数），故结论为拒绝原假设。

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22. 某质检员对 80 件产品的某项性能指标是否高于标准值做符号检验，记高于标准值的样品数为 S。设高于与低于标准值的概率各为 0.5。若实测得 S=58，采用大样本正态近似并作连续性校正，检验统计量 z 的值最接近于多少？ A. 2.87 B. 3.91 C. 4.03 D. 3.35

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23. 为比较两种教学方法的效果，随机选取8名学生，先统计每人方法A与方法B的成绩差值的符号，得正号5个、负号2个、零差值1个。若采用符号检验（显著性水平α=0.05，双侧，记号p值按二项分布B(7, 1/2)计算），则正确的做法是剔除零差值后n=7，S=5，对应双侧p值为（　）。A. 2×[C(7,5)+C(7,6)+C(7,7)]×(1/2)⁷=2×29/128=29/64≈0.453，不拒绝原假设　B. C(7,5)×(1/2)⁷=21/128≈0.164，不拒绝原假设　C. 29/64≈0.453，拒绝原假设　D. 21/128≈0.164，拒绝原假设

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24. 对某城市100个监测点记录其气温是否高于常年同期值，设高于与低于的概率各为0.5，进行符号检验。实测正号个数 S=62。由于 n=100 较大，采用符号检验的大样本正态近似，检验统计量 Z=(S−n/2)/√(n/4)。则该统计量的观测值为____。

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25. 某公司比较两套培训方案，随机抽取9名员工参加配对试验，每名员工先后接受方案A与方案B培训，记录同一考核成绩之差 dᵢ = 成绩A − 成绩B（i=1,…,9）。统计差值符号得：dᵢ>0 的有8人，dᵢ<0 的有1人，无零差值。采用符号检验（原假设 H₀：两方案效果无差异，双侧检验，显著性水平 α=0.05），设正号个数为 X，在 H₀ 下 X ~ B(9, 0.5)。双侧检验的 p 值为 2×P(X ≤ 1)。则该检验的 p 值为 ____（结果保留三位小数），由于 p 值小于 0.05，结论是 ____（填“拒绝 H₀”或“不拒绝 H₀”）。

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26. 关于符号检验的基本原理，下列说法：甲：符号检验的原假设通常是正号与负号出现的概率各为1/2；乙：在原假设成立时，正号个数服从二项分布 B(n, 1/2)，其中 n 为有效符号（不计零差）个数；丙：符号检验只利用观测值与中位数（或配对差值）大小的方向信息，而不利用其具体数值大小；丁：符号检验要求样本所来自的总体服从正态分布，否则检验失效。其中正确观点的个数为：A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

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27. 某仪器出厂标称其测量误差中位数为 0。为检验该中位数是否为 0，随机抽取 12 次独立重复测量，将每次误差与 0 比较：大于 0 的有 9 次，小于 0 的有 3 次，无相等者。采用符号检验（双侧，显著性水平 0.05，拒绝域为 S ≤ 2），记 S = min(正号个数, 负号个数)，则检验统计量 S 的观察值为 ____，故____（填“拒绝”或“不拒绝”）中位数为 0 的原假设。

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