大学试验设计上册《响应面设计与优化》练习题

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本单元考点（5 个）

响应面基本思想中心复合设计Box-Behnken设计二次回归模型最优条件求解

本单元练习题（27 题）

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1. 某化工过程采用三因素中心复合设计（CCD）进行响应面优化：因素数 k=3，设计包含 2³ 个析因点、2k 个轴向点以及 6 个中心点，轴向点距中心的编码距离 α 取旋转性要求下的 α=(2³)^(1/4)。若某个轴向点的编码变量取值为 (α, 0, 0)，则该设计总试验次数与 α 的数值分别为（　） A. 20 次，α≈1.682　B. 22 次，α≈1.732　C. 20 次，α≈2.000　D. 26 次，α≈1.414

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2. 某发酵工艺优化采用四因素（k=4）可旋转中心复合设计，设计由 2⁴ 个二水平析因点、2k 个轴向点和 6 个中心点构成。为使设计满足可旋转性（即预测方差仅与距中心的距离有关），轴向点的编码距离 α 应取（　），该设计的总试验次数为（　）。 A. α=√2，总次数 30 B. α=2，总次数 30 C. α=2，总次数 26 D. α=(2⁴)^(1/4)，总次数 24

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3. 某化工工程师采用二阶响应面模型拟合产率 y（%）关于编码变量 x₁、x₂ 的关系：y = 100 − 3x₁² − 2x₂² + 4x₁x₂ + 2x₁ − 6x₂，其中 x₁、x₂ 的试验区域为 [−5, 5]×[−5, 5]。（1）求该响应面的驻点（x₁, x₂）；（2）判断驻点处响应面的类型（极大值点、极小值点或鞍点）；（3）求驻点处的预测产率，并说明该驻点是否位于试验区域内。

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4. 某生物发酵工艺优化试验考察三个因素（接种量 x₁、发酵温度 x₂、发酵时间 x₃），采用 Box-Behnken 设计安排试验，各因素编码水平取 −1、0、1。该设计的试验点全部位于各因素组成的三维立方体的棱中点处，即每个试验点恰有两个因素取 ±1，其余一个因素取 0，且这样的棱中点组合各安排一次试验；另在中心点 (0, 0, 0) 重复安排 3 次试验用于估计纯误差。请计算：（1）棱中点试验点的个数；（2）该 Box-Behnken 设计的总试验次数。

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5. 某化工工艺优化试验考察反应温度、反应时间、催化剂用量三个因素（k=3），采用 Box-Behnken 设计安排试验，各因素编码水平取 −1、0、1。已知该设计的试验点仅由两类构成：三个因素中取两个因素处于极端水平（±1）、第三个因素处于中心水平（0）的组合点，以及各因素均处于中心水平的中心点。若研究者在该设计基础上重复安排 5 个中心点，则完成该 Box-Behnken 设计所需的总试验次数为____。

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6. 某发酵工艺采用二阶响应面模型拟合酶活性 y（U/mL）关于两个编码变量 x₁、x₂ 的关系：y = 90 − 2x₁² − 5x₂² + 6x₂。该模型对应响应曲面为开口向下的二次曲面。试通过求偏导数确定响应值 y 达到最大时 x₁ 与 x₂ 的最优编码值，并求出该最大响应值。

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7. 某提取工艺采用两因素（k=2）可旋转中心复合设计优化收率。设计由 2² 个二水平析因点、2k 个轴向点及 6 个中心点组成，因素 A（温度）与 B（时间）的编码值均以步长 10°C、5 min 变换于中心点 80°C、30 min。请计算：(1) 为满足可旋转性，轴向点距离中心的编码值 α；(2) 该设计的总试验点数；(3) A 因素轴向点对应的实际温度值（两个）。

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8. 在响应面法的中心复合设计中，若采用二次回归模型拟合响应面，当有两个因素 x₁、x₂ 时，二次回归模型的一般形式是（　　） A. y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ B. y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₁₂x₁x₂ C. y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₁₁x₁² + β₂₂x₂² + β₁₂x₁x₂ D. y = β₁₁x₁² + β₂₂x₂²

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9. 采用 Box-Behnken 设计对 3 个因素 A、B、C（各取 −1、0、1 三个水平）进行试验。该设计的试验点由各因素中心点与三个因素中取两个因素处于极端水平（±1）而第三个因素处于中心水平的所有组合构成。则该设计所需的不同试验组合数为 ____ 组；其中因素 A 取极端水平（−1 或 1）的试验组合有 ____ 组。

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10. 在响应面方法中，若某二阶响应曲面的驻点位于试验设计区域之内，且该驻点处响应取得最大值，则该响应面在驻点附近呈山形凸起，通常称其为____型响应面；此时最优工艺条件应取为该____的坐标（第二空填'驻点'或'边界点'之一）。

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11. 某食品工艺优化试验考察提取温度(x₁)、提取时间(x₂)、乙醇浓度(x₃)三个因素，采用 Box-Behnken 设计安排试验，各因素取 −1、0、1 三个编码水平。该设计不含因素同时取极端水平的角点，试验点仅由「三因素中任取两因素取极端水平（各取 ±1），剩余因素取中心水平 0」的边中点，以及若干中心重复点组成。若本设计安排 4 个中心重复点，求：(1) 边中点的个数；(2) 试验总次数；(3) 每个非中心试验点中取值为 0 的因素个数。

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12. 响应面方法的基本思想是：当真实响应与各因素之间的函数关系未知时，在因素空间的局部区域内，选用合适的低阶多项式（通常为一次或____阶多项式）作为响应函数的近似，并利用试验数据对该多项式中的未知参数进行____（方法），从而得到响应面的估计；在此基础上，通过沿响应面____（方向）移动或对拟合曲面求极值，逐步逼近并确定最优的工艺条件。

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13. 某食品干燥工艺采用三因素可旋转中心复合设计（k=3）。设计由 2³ 个二水平析因点、2k 个轴向点和 5 个中心点组成。请计算：(1) 该设计的总试验点数；(2) 为使设计满足可旋转性，轴向点距中心的编码距离 α 应取的值（即 α=(2^k)^(1/4)，结果保留三位小数）。

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14. 在响应面法的中心复合设计中，某试验针对两个因素拟合二次回归模型。由试验数据估计得到：回归常数项为10，因素x₁的一次项系数为-4，因素x₂的一次项系数为8，x₁的平方项系数为-2，x₂的平方项系数为-4，x₁与x₂的交互项系数为0。请完成以下计算：（1）求该二次回归模型驻点的坐标；（2）计算驻点处的响应预测值；（3）根据平方项系数判断该驻点是响应面的极大值点、极小值点还是鞍点。

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15. 某化学工艺采用二阶响应面模型 y = 100 - 4(x₁-2)² - 3(x₂-1)² + 6，其中 x₁、x₂ 为编码后的工艺参数。为使响应值 y 达到最大，最优工艺条件为 x₁=____，x₂=____，此时 y 的最大值为____。

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16. 某天然产物提取工艺优化试验拟采用 Box-Behnken 设计安排四因素试验（k=4），各因素编码水平取 −1、0、1。已知该设计的试验点由两类组成：边中点（任取两个因素处于极端水平 ±1，其余因素固定在中心水平 0）与若干中心点重复。本试验计划重复中心点 3 次。(1) 写出该 Box-Behnken 设计的边中点个数与试验总次数；(2) 若另一种方案在相同的边中点基础上只重复中心点 1 次，试验总次数是多少；(3) 说明该设计中是否存在三个及以上因素同时取极端水平 ±1 的试验点，并给出理由。

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17. 在响应面法的中心复合设计中，某次试验涉及三个因素 x₁、x₂、x₃。用二次回归模型拟合响应面时，除常数项与各因素的一次项外，还必须包含哪些项？　A. 仅包含各因素的二次项 x₁²、x₂²、x₃²　B. 仅包含两两交互项 x₁x₂、x₁x₃、x₂x₃　C. 各因素的二次项 x₁²、x₂²、x₃² 以及两两交互项 x₁x₂、x₁x₃、x₂x₃　D. 仅包含三次交互项 x₁x₂x₃

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18. 某化学合成工艺采用五因素（k=5）可旋转中心复合设计进行响应面优化。设计由 2⁵ 个二水平析因点、2k 个轴向点和 6 个中心点组成。为使设计满足可旋转性，轴向点距中心的编码距离 α=(2^k)^(1/4)。请填写：(1) 轴向点距离 α≈____（保留三位小数）；(2) 该设计的总试验点数为____。

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19. 某催化剂制备工艺优化采用四因素（k=4）可旋转中心复合设计。设计由 2⁴ 个二水平析因点、2k 个轴向点及 7 个中心点组成。为使设计满足可旋转性，需确定轴向点距中心点的编码距离 α 并计算总试验点数。则 α=____，该设计的总试验点数为____。

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20. 在响应面方法的二次回归模型 y=β₀+Σβᵢxᵢ+Σβᵢᵢxᵢ²+ΣΣβᵢⱼxᵢxⱼ 中，关于模型结构的下列说法，正确的是（　　） A. 模型中不含交叉项 βᵢⱼxᵢxⱼ，否则将成为三次模型 B. 交叉项 βᵢⱼxᵢxⱼ 用于刻画因素之间的交互作用 C. 只要某因素的二次项系数 βᵢᵢ 不为零，模型在该因素方向上一定是递增的 D. 二次回归模型的稳定点只可能是极大值点 E. 一次项系数的大小反映该因素对响应面弯曲程度的影响

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21. 在响应面法的中心复合设计中，对两个因素 x₁、x₂ 拟合二次回归模型时，下列哪一项不属于该二次回归模型所包含的项？A. 常数项 β₀　B. 一次项 β₁x₁ 与 β₂x₂　C. 二次项 β₁₁x₁² 与 β₂₂x₂²　D. 三次交互项 β₁₁₁x₁³

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22. 在响应面方法中，二次回归模型被广泛用于逼近真实的响应面。关于二次回归模型本身的特点，下列说法正确的是（　　） A. 它对响应面的逼近精度可以通过显著性检验判断，并在设计区域内用于寻找最优工艺条件 B. 它只能描述响应面随因素单调变化的关系，无法刻画响应面存在极大值或极小值的情形 C. 它要求响应与各因素之间必须严格满足线性关系，否则模型失效 D. 它拟合成功后可直接外推到任意远离试验设计区域的因素水平并保证预测同样可靠

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23. 某化工合成工艺采用三因素 Box-Behnken 设计（各因素编码水平取 −1、0、1）。该设计的试验点仅由两类构成：立方体棱的中点（三个因素中恰有两个取 ±1、一个取 0）以及若干中心点（三因素均取 0）。若某同学拟在设计中加入以下四个试验点，其中必不属于该 Box-Behnken 设计结构的是： A. (1, −1, 0) B. (0, 1, 1) C. (1, 1, 1) D. (−1, 0, −1)

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24. 某生物发酵工艺优化试验拟采用 Box-Behnken 设计考察四个因素（k=4），各因素编码水平取 −1、0、1。该设计的试验点全部位于立方体的棱中点处，即每次固定 k−1 个因素处于中间水平 0，其余因素处于极端水平 −1 或 1，另在中心点重复若干次试验。若极端水平组合的试验点按上述规则全部安排，且中心点重复 2 次，则该 Box-Behnken 设计的总试验次数为 ____。

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25. 某吸附工艺采用两因素（k=2）中心复合设计进行响应面优化，设计由 2² 个二水平析因点、2k 个轴向点和 5 个中心点组成。则该设计的总试验点数为 ____，其中轴向点个数为 ____。

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26. 在中心复合设计（CCD）中，轴向点（又称星点）的设置方式是： A. 位于各因素的高、低两水平（±1）交叉组合处 B. 位于坐标轴上，仅一个因素取 ±α，其余因素均取中心水平 0 C. 位于设计区域的中心，各因素均取 0 水平 D. 在每个因素轴上只取 +α 一侧，共 k 个轴向点

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27. 在响应面方法中，当真实响应与各因素之间的函数关系未知时，通常在因素空间的局部区域内用低阶多项式作为响应函数的近似。现考察一个含3个因素（x₁、x₂、x₃）的完全二阶多项式响应面模型：该模型包含一个常数项、三个线性项（x₁、x₂、x₃）、三个平方项（x₁²、x₂²、x₃²）以及所有的交叉乘积项（形如 xᵢxⱼ，i<j）。请确定：该模型中交叉乘积项的个数，以及模型中待估回归系数的总个数。

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