大学试验设计上册《因子设计》练习题

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本单元考点（5 个）

主效应与交互作用2^k因子设计因子设计方差分析交互作用图解释因子设计原则

本单元练习题（27 题）

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1. 某2²析因试验中，因子A、B各取低（−）与高（+）两水平，四个处理组合各重复一次的均值如下：A低B低为20，A高B低为28，A低B高为26。已知AB交互作用效应（定义为 ȳ_ab−ȳ_a−ȳ_b+ȳ_(1)）为−4。则A高B高处理组合的观测均值为多少？ A. 24 B. 30 C. 34 D. 38

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2. 在某化工过程试验中，研究者考察温度、压力、浓度、催化剂用量这4个因子各自对收率的影响，并按照因子设计原则安排 2^4 析因试验，每水平组合只做1次试验，共16次，且16次试验的顺序由随机化原则确定。依据因子效应的结构，全试验共可估计的效应（含主效应与各阶交互作用）个数为____。

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3. 某化工厂用 2^3 析因设计研究温度（A）、压力（B）、催化剂种类（C）对转化率（%）的影响，各处理组合的单次观测值为：a₀b₀c₀=10，a₁b₀c₀=18，a₀b₁c₀=14，a₁b₁c₀=26，a₀b₀c₁=16，a₁b₀c₁=20，a₀b₁c₁=24，a₁b₁c₁=24（下标0、1表示低、高水平）。下列结论正确的是： A. 三个主效应中A最大，且AB交互作用显著不为零 B. A与B主效应相等，AC交互作用效应为−4 C. C主效应为6，BC交互作用效应为−4 D. 三个二因子交互作用效应均为0

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4. 在某 2×2 析因试验中，因素 A 有 A₁、A₂ 两个水平，因素 B 有 B₁、B₂ 两个水平，各处理组合的总体均值如下：μ(A₁,B₁)=20，μ(A₁,B₂)=26，μ(A₂,B₁)=30，μ(A₂,B₂)=40。若以横轴表示因素 B 的两个水平，纵轴表示均值，分别作出 A₁ 与 A₂ 对应的两条折线，则这两条折线的位置关系是____（填“平行”或“相交”），据此可判断因素 A 与 B 之间____（填“存在”或“不存在”）交互作用。

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5. 某化工试验考察反应温度（因子A，两水平：A₁=60℃，A₂=80℃）与催化剂种类（因子B，两水平：B₁、B₂）对产品收率的影响。各处理组合下的平均收率（%）如下：A₁B₁为50，A₁B₂为62，A₂B₁为70，A₂B₂为58。请以温度为横轴、收率为纵轴，分别描绘B₁与B₂两条折线，并回答：（1）两条折线是否平行？（2）随着温度从A₁升到A₂，两种催化剂对应的收率变化方向是否一致？（3）据此判断该试验中A与B之间是否存在交互作用，并说明属于哪种类型（无交互、交叉型交互或非交叉型交互）。

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6. 某2²析因试验中，因子A、B各取低（−）与高（+）两水平，四个处理组合各重复两次的均值如下：A低B低为30，A高B低为40，A低B高为34，A高B高为41。则因子A的主效应与AB交互作用效应分别为多少？A. A主效应=8.5，AB交互作用=−1.5　B. A主效应=8.5，AB交互作用=−0.5　C. A主效应=7.5，AB交互作用=−1.5　D. A主效应=7.5，AB交互作用=−0.5

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7. 在一个 2^3 析因设计中，因子 A、B、C 各取两个水平（低记为 −，高记为 +）。用 Yates 记号，交互作用 ABC 的效应估计中，8 个试验组合的符号列由 (−1)^(因子处于高水平个数) 确定。则该符号列中取值为 +1 的试验组合共有几个？ A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个

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8. 在某 2² 析因设计中，因子 A、B 各取高低两水平，每个试验组合做一次观测，结果为：(1)=12，a=18，b=15，ab=25。则交互作用 AB 的效应估计值为____，主效应 A 的估计值与主效应 B 的估计值之差为____。

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9. 某2²析因试验中，因子A、B各取低（−）与高（+）两水平。因试验记录部分缺损，仅知三个处理组合的观测值为：A低B低=15，A高B低=24，A低B高=22（A高B高的数值遗失）。经原试验数据核算，因子A的主效应为9，因子B的主效应为−7。请根据主效应的定义，求出遗失的处理组合A高B高的观测值。

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10. 某食品工艺研究员按照 2^k 析因设计的原则安排试验，考察5个因子（烘烤温度、湿度、时间、糖用量、酵母用量）各取2个水平对面包体积的影响，每个处理组合重复1次试验。请依据 2^k 析因设计的效应构成原则计算：(1) 全部处理组合数；(2) 主效应个数；(3) 两个因子交互作用、三个因子交互作用、四个因子交互作用、五个因子交互作用的效应个数各是多少；(4) 该设计中全部效应（含主效应与各级交互效应）的总个数。

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11. 某发酵工艺采用 2^3 全因子析因设计，因子 A（接种量）、B（温度）、C（pH）各取高低两水平，每个试验组合做一次观测，结果（响应值）为：(1)=8，a=12，b=10，c=16，ab=20，ac=14，bc=22，abc=34。则交互作用 AB 的效应估计为____，其平方和 SS_AB=____（效应定义除以 2，平方和=对比平方除以 8）。

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12. 在某 2² 析因设计的方差分析中，因子 A 取 2 水平、因子 B 取 2 水平，每个处理组合重复 5 次。若检验因子 A 的主效应，其对应的 F 统计量的分子自由度是多少？ A. 1 B. 2 C. 4 D. 15

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13. 在一个 2^3 析因设计中，因子为 A、B、C，每个因子取两个水平，全因子试验共需____个试验组合。若只安排主效应 A 和交互作用 AB，则它们各自的自由度之和为____。

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14. 某2³全因子试验中，因子为温度、时间和浓度，各取2个水平。请指出该设计共包含多少个不同的处理组合（即试验点），并按定义分别说明：主效应有哪几个？交互效应中，两个因子的交互项有哪几个、三个因子的交互项是哪一个？

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15. 某化工研究员采用 2³ 析因设计考察因子 A（温度）、B（压强）、C（催化剂种类）对产率的影响，每个因子取 2 个水平，每个处理组合重复 4 次，共 32 次试验。方差分析计算得：SS_A=120，SS_B=90，SS_C=60，SS_AB=40，SS_AC=24，SS_BC=16，SS_ABC=8，SS_E=96。请在 0.05 显著性水平下检验 A 与 B 的交互作用：写出该效应平方和的自由度、误差自由度、交互作用的 F 统计量，并给出结论（临界值 F₀.₀₅(1,24)=4.26）。

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16. 某化工反应采用 2^3 析因设计，因子为温度 A、压强 B、催化剂 C，各取高低两水平，8 个试验组合的一次观测值如下： (1)=10，a=14，b=16，c=20，ab=28，ac=24，bc=32，abc=40。记主效应及交互作用估计为对比之和除以 4，则交互作用 AB 的效应估计值为： A. 3 B. 6 C. 4.5 D. 12

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17. 在某 2³ 析因设计中，因子 A、B、C 各取 2 个水平，每个处理组合重复 2 次。为检验交互作用 A×B 是否显著，采用因子设计方差分析：交互作用 A×B 的平方和自由度为 ____，误差平方和的自由度为 ____，当 F 统计量超过相应显著性水平的临界值时，认为交互作用 A×B 显著。

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18. 在某 2^4 析因设计中，因子 A、B、C、D 各取两个水平，全因子试验共需____个试验组合。现采用定义关系 I=ABCD 的 2^(4−1) 分式析因设计，则在此分式设计中与主效应 A 完全混杂（成别名）的效应是____（用效应记号表示）。

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19. 在某纺织工艺的 2^2 析因试验中，因子A为处理温度（低水平记(1)、高水平记a），因子B为整理剂浓度（低水平记(1)、高水平记b），指标为布料断裂强度（N）。四个处理组合各做一次试验，结果为：(1)=15，a=23，b=19，ab=35。请计算因子A的主效应、因子B的主效应以及AB交互作用效应，并判断AB交互作用的方向（正向或负向）。

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20. 某食品厂研究烘焙温度（A：低（−）、高（+））与糖用量（B：低（−）、高（+））对蛋糕松软度评分的影响，采用2²析因设计，每个处理组合重复3次，各组合的评分均值如下：A低B低为50，A高B低为58，A低B高为54，A高B高为70。试计算因子A的主效应、因子B的主效应以及AB交互作用效应。

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21. 在某 2×2 析因试验中，因子 A 有两水平 A₁、A₂，因子 B 有两水平 B₁、B₂，各处理组合下的观测均值如下：μ(A₁,B₁)=10，μ(A₁,B₂)=18，μ(A₂,B₁)=16，μ(A₂,B₂)=12。若以因子 A 的两水平为横轴、均值为纵轴绘制交互作用图，请判断因子 A 与因子 B 之间是否存在交互作用，并分别说明固定 B₁ 与固定 B₂ 时均值随 A 水平变化的趋势，据此解释理由。

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22. 在一个 2^4 析因设计中，因子 A、B、C、D 各取两个水平。该设计可估计的效应共有：4 个主效应、6 个两因子交互作用、4 个三因子交互作用和 1 个四因子交互作用。则全部效应的总个数为多少？ A. 8 B. 11 C. 15 D. 16

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23. 在某 2² 析因设计中，因子 A、B 各取 2 个水平，每个处理组合重复 3 次，共 12 次试验。经因子设计方差分析得到：因子 A 的平方和 SS_A=48，因子 B 的平方和 SS_B=96，交互作用 A×B 的平方和 SS_AB=24，误差平方和 SS_E=40。请写出方差分析表中因子 A、因子 B 及交互作用 A×B 对应的 F 统计量（各主效应与交互作用的自由度均为 1，误差自由度为 8），并判断在显著性水平 α=0.05 下（临界值 F₀.₀₅(1,8)=5.32）交互作用 A×B 是否显著。

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24. 在某 2³ 析因设计的方差分析中，因子 A、B、C 各取 2 个水平，全因子试验共 8 个处理组合，每个处理组合重复 n 次，误差自由度恰为 16。则 n 为多少？ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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25. 在某 2³ 析因设计中，因子 A、B、C 各取 2 个水平，每个处理组合重复 2 次，共 16 个观测值。进行因子设计方差分析时，误差（组内）平方和的自由度为 ____。

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26. 在某 2^3 析因设计中，因子 A、B、C 各取高低两水平，每个试验组合观测一次。已知 7 个组合的观测值为：(1)=8，a=12，b=10，c=14，ac=20，bc=16，ab=18。若交互作用 AB 的效应估计为 2，则剩余组合 abc 的观测值=____。

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27. 某食品厂采用 3×2 析因设计考察因子 A（添加剂种类，3 个水平）与因子 B（烘焙温度，2 个水平）对蛋糕蓬松度的影响，每个处理组合重复 4 次，共 24 次试验。经因子设计方差分析得到：交互作用 A×B 的平方和 SS_AB=24，误差均方 MSE=3。则检验交互作用 A×B 是否显著所用 F 统计量为（　　）。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

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