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湘教版·数学（高中）高一下册《第6章数学建模》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（3 个）

数学建模的基本步骤函数模型的实际应用数学建模案例分析

本单元练习题（27 题）

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1. 某小组研究"小区门口排队等候时间"问题，其建模过程依次记录了如下片段：①收集一天中不同时段到达人数的数据并代入模型计算等候时间；②分析计算结果与实际观察是否相符；③简化实际问题，忽略天气等次要因素，只保留到达规律与窗口服务速度；④针对"如何增开窗口使平均等候时间不超过5分钟"这一问题明确研究目标。按照数学建模的基本步骤，④②①③的正确执行顺序应为（　　） A. ④③①② B. ④③②① C. ③④①② D. ④①③②

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2. 某建模小组研究小区停车场收费与停车时长的关系，建立收费函数模型后，需将预测结果与实际收费数据对比以检验模型。按数学建模的一般步骤，他们已完成「实际情境问题」与「建立模型」两个环节，接下来的两个环节依次是____、____。

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3. 某社区为研究共享单车投放数量问题，某数学建模小组已确定要研究的问题，并作出了合理假设，建立了投放数量与居民需求之间关系的数学模型。按照数学建模的基本步骤，该小组接下来应进行的一项工作是什么？

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4. 某校用数学模型预测午餐时段食堂的排队人数。研究者先依据一周的记录建立模型并求出预测值，随后用未参与建模的另一周记录进行比较，发现预测与实际相差较大，便判断模型暂不适用。上述“比较并判断”的工作属于数学建模的哪一步？ A. 提出假设　B. 建立模型　C. 检验模型　D. 应用模型

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5. 某水箱开始时有水1000 L，放水过程中每2 h记录一次水量，记录结果为：2 h时800 L，4 h时600 L。为分析水量变化，提出模型A：V=1000−100t；模型B：V=1000×0.8^(t/2)，其中t为放水时间（h），V为水量（L）。若以模型与两次记录都相符作为选模标准，则应选模型____；据此预测放水6 h时水箱中有水____ L。

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6. 某水池蓄水200 L，以每小时8 L的速度匀速排水。设排水t小时后池中水量为y L，则y关于t的函数模型为 y=200−8t。按此模型，池中水量恰好剩44 L时，t的值为（　　） A. 17　B. 19.5　C. 24　D. 32

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7. 某实验室对一种化学试剂进行存放观察，试剂质量 y（克）随存放时间 t（小时）的变化近似满足指数衰减模型 y=160×(1/2)^(t/4)。按此模型，存放8小时后试剂质量为____克；当试剂质量衰减到20克时，存放时间为____小时。

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8. 某兴趣小组研究“校门口斑马线行人过街等待时间”问题，其工作记录片段依次为：甲、收集不同时段行人到达与信号灯变化的数据；乙、对行人到达规律作出合理假设并建立等待时间模型；丙、将模型预测值与实地观测值比较，分析误差并改进模型；丁、明确“如何缩短行人平均等待时间”这一研究问题。按照数学建模的基本步骤，上述工作正确的先后顺序是（　　） A. 丁→甲→乙→丙　B. 丁→乙→甲→丙　C. 甲→丁→乙→丙　D. 乙→丁→甲→丙

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9. 某自助打印点每次打印收取设备启动费2元，另按每页0.3元收费。设一次打印x页的总费用为y元，则费用y关于页数x的函数模型为____。

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10. 某小组研究“路灯间距与夜间照明覆盖”的数学建模问题，其工作流程依次为：①收集道路长度、路灯功率等数据并代入模型求解；②分析求解结果与实际观测是否相符，若相差较大则修正模型；③明确研究对象并作出合理假设；④将修改后的模型应用于实际路段。按照数学建模的基本步骤，上述工作正确的执行顺序是____（用序号按顺序填写，如①②…），其中“收集数据并代入模型求解”对应的基本步骤名称是____。

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11. 某工作室的打印机在连续打印的一段时间内，线轴上剩余的塑料丝质量可近似看作时间的一次函数。打印4 min和10 min后，剩余质量分别为184 g和130 g。若这一模型在前20 min内成立，剩余质量降至85 g时，打印机已连续打印多少分钟？

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12. 某校园打印点按函数模型 C(x)=0.2x+1 计算打印费用，其中 x 为打印页数，C(x) 的单位为元。小林打印了15页，按该模型需支付多少元？

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13. 某净水装置中，污染物含量 y（mg/L）随处理时间 t（小时）近似满足指数型衰减规律：每经过5小时，y 变为原来的一半。已知开始处理时污染物含量为480 mg/L。(1) 写出 y 关于 t 的函数模型；(2) 按此模型，处理多少小时后污染物含量恰好降至15 mg/L？

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14. 某小组研究温室夜间温度变化。小组先明确研究问题并作出合理假设，再选取变量、建立温度关系模型；接着把已知数据代入模型，得到预测温度；最后将预测结果与实测温度比较，判断模型是否符合实际。按数学建模的基本步骤，代入数据得到预测温度属于____，比较并判断模型是否符合实际属于____。

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15. 某户外监测设备满电后持续工作，电池剩余电量 y（%）与工作时间 t（h）的关系近似为一次函数。工作2 h和5 h时，剩余电量分别为84%和60%。若设备电量降至20%时停止工作，按此模型从满电到停止工作共需____ h。

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16. 某农场计划用一段长60 m的围栏，靠一面足够长的直墙围出一个矩形菜园（墙的一侧不需围栏）。设垂直于墙的一边长为 x m，矩形菜园的面积为 y m²，则 y 关于 x 的函数解析式为 y=x(60-2x)。按此模型，当 x 取何值时面积 y 最大？最大面积为多少？ A. x=15，最大面积450 m² B. x=15，最大面积225 m² C. x=20，最大面积200 m² D. x=30，最大面积0 m²

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17. 某数学建模小组研究某产品生产总成本y（元）与产量x（件）的关系，收集到两组数据：产量100件时总成本3500元，产量200件时总成本6000元。小组认为y与x近似满足一次函数模型y=a+bx（a,b为常数，x>0）。请先确定该模型，再计算当产量为250件时模型预测的总成本。已知250件时的实际总成本为7350元，模型预测的总成本与实际总成本相差多少元？

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18. 某校社团想估计校园内某类树木的总数量，已明确要解决的问题，并对树木分布作出合理假设。按照数学建模的基本步骤，接下来应进行哪项工作？ A. 检验模型　B. 建立数学模型　C. 评价模型　D. 求解模型

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19. 某实验中，某种幼苗在一段时间内的高度可近似看作随培育天数均匀增长。幼苗初始高度为8 cm，每天增长2 cm。设培育t天后的高度为h cm，则函数模型为h=____。

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20. 一台灌装设备启动时，储液罐内有70 L液体。设备连续运行5 min和11 min时，罐内液体分别为190 L和334 L。假设运行过程中液体体积随时间作一次函数变化，且储液罐未达到容量上限前设备持续进液，储液罐达到430 L时设备自动停止。设备启动后多少分钟自动停止？

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21. 某应急蓄水池原有水量860 L。连续排水期间，排水3 h和8 h后，池中水量分别为740 L和540 L。假设排水过程中水量随时间作一次函数变化，且安全水量不得低于300 L。若排水时长按整小时计，最多可连续排水多少小时？ A. 12 h　B. 13 h　C. 14 h　D. 15 h

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22. 某校数学建模小组研究操场积水面积随排水时间的变化，建立模型 A(t)=120−8t（0≤t≤15），其中 t 的单位为分钟，A(t) 的单位为平方米。模型中的 8 表示积水面积平均每分钟减少____平方米。

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23. 某建模小组研究教室一天中气温随时间的变化，测量了若干组数据后建立了一个气温关于时间的函数模型。接下来他们应做的工作是（　　） A. 直接宣布建模结束 B. 将模型预测值与实际测量数据对比，检验模型的准确性 C. 重新回到实际情境重新提出问题 D. 立即把模型推广到所有教室使用

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24. 某培养皿中细菌数量 y（个）随培养时间 t（小时）近似满足指数增长模型，每经过3小时细菌数量翻一番。已知开始培养时细菌数量为50个，则细菌数量首次达到400个时，培养时间 t 为多少小时？A. 6　B. 9　C. 12　D. 15

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25. 某水产养殖小组想用数学模型预测养殖池的溶氧量。小组已经明确研究问题，作出合理假设，收集并整理了相关数据，建立了模型，并用模型求出了预测结果。接下来，小组应进行哪一步，才能判断模型是否适用于实际情形？

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26. 某地建模小组预测晴天光伏电站的午间发电功率。模型甲假设未来天气与历史晴天相近，给出的预测值为18 MW；模型乙假设未来持续阴天，给出的预测值为9 MW。经气象部门确认，预测时段为晴天，且设备运行状态与历史晴天记录时相同。依据建模假设，应采用哪个预测值？

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27. 某实验室的储水箱在恒定流速下进水，进水时间 t（min）与箱内水量 V（L）近似满足一次函数模型。进水4 min时水量为320 L，进水10 min时水量为680 L。若水量达到0.8 m³时停止进水，此时共进水多少分钟？

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湘教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章平面向量及其应用（27题）第1章导数及其应用（27题）第1章数（27题）第2章一元二次函数、方程和不等式（9题）第2章空间向量与立体几何（27题）第2章 三角恒等变换（27题）第2章平面解析几何初步（27题）第3章函数的概念与性质（27题）第3章概率（27题）第3章复 数（27题）第3章圆锥曲线与方程（27题）

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