大学电动力学上册《带电粒子场与辐射的经典理论》练习题

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本单元考点（5 个）

运动带电粒子的李纳-维谢尔势带电粒子的辐射场低速运动的偶极辐射辐射阻尼与经典原子模型切连科夫辐射

本单元练习题（27 题）

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1. 电荷量为 q 的点电荷沿 x 轴以恒定速度 0.5c（c 为真空光速）运动，t'=0 时刻恰好经过原点。空间中观察点 P 位于 (60,0,0)（坐标单位与 c×时间单位一致）。已知在观察时刻 t=90/c，该电荷产生于 P 点的标势由李纳-维谢尔势给出：φ = q/(4πε₀) × 1/[R(1−n·β)]，其中 R 为推迟时刻电荷到 P 的距离，n 为由推迟时刻电荷位置指向 P 的单位矢量，β 为推迟时刻电荷的无量纲速度。求 t=90/c 时 P 点的标势 φ（用 q/(4πε₀) 表示）。 A. φ = (1/30)·q/(4πε₀) B. φ = (1/60)·q/(4πε₀) C. φ = (1/15)·q/(4πε₀) D. φ = (1/10)·q/(4πε₀)

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2. 在经典原子模型中，电子作简谐振动时因不断辐射电磁能量而使振幅逐渐衰减，这一效应称为辐射阻尼。根据经典电动力学，作加速运动的带电粒子单位时间辐射的能量与加速度的平方成正比，比例系数对给定粒子为常量。则当电子振幅减小时，其辐射功率将如何变化？A. 保持不变　B. 与振幅平方成正比地减小　C. 与振幅成正比地增大　D. 与振幅平方成反比地增大

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3. 两个带电粒子均在真空中以远小于光速的速度做低速非相对论运动，符合电动力学中低速运动带电粒子的偶极辐射条件。粒子1的电荷量为 q、加速度大小为 a；粒子2的电荷量为 2q、加速度大小为 a/4，其余条件相同。由低速运动的偶极辐射功率公式，两粒子辐射总功率之比 P₁:P₂ 为（　　） A. 1:1　B. 2:1　C. 4:1　D. 16:1

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4. 在经典原子模型中，电子作简谐振动时会不断向外辐射能量，导致振幅逐渐衰减，这一效应称为辐射阻尼。根据经典电磁理论，作加速运动的带电粒子单位时间辐射的能量与加速度的平方成正比。对于振幅为 A 的经典谐振电子，下列关于辐射阻尼效应的描述正确的是： A. 振幅 A 保持不变，只有频率逐渐降低 B. 电子因辐射能量而使振幅 A 随时间逐渐衰减 C. 电子从外界吸收能量使振幅 A 逐渐增大 D. 振幅 A 先增大后减小，最终发散

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5. 某介质对某频率光的折射率为 n=1.5。一带电粒子在该介质中做匀速直线运动，仅当其速度超过光在该介质中的相速度时才会产生切连科夫辐射。取真空中光速 c=3×10⁸ m/s。该粒子在介质中产生切连科夫辐射所需的最小速度为： A. 3×10⁸ m/s B. 2.5×10⁸ m/s C. 2×10⁸ m/s D. 1.5×10⁸ m/s

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6. 在切连科夫辐射中，带电粒子在介质中辐射的条件是其速度 v 满足 v 大于 c/n（c 为真空中光速，n 为介质折射率）。已知某介质对可见光的折射率 n=1.5，真空中光速 c=3×10^8 m/s，则带电粒子在该介质中产生切连科夫辐射所需的最小速度为____ m/s。

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7. 两个电子均在低速（v≪c）下做加速运动，其加速度大小分别为 a 和 3a，其他条件相同。由电动力学中低速运动带电粒子的偶极辐射公式可知，两电子辐射总功率之比 P₂/P₁ = ____（填数字）。

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8. 一束带电粒子在水介质（折射率 n=4/3）中做匀速直线运动，速度大小 v=2.4×10^8 m/s，真空中光速 c=3×10^8 m/s。请判断该粒子能否产生切连科夫辐射，并求出辐射波前的切连科夫角 θ（即 cosθ=c/(nv) 中的 θ）。

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9. 一电荷量 q=1.6×10⁻¹⁹ C 的带电粒子在真空中以远小于光速的速度做低速非相对论运动，某时刻加速度大小 a=3×10¹⁸ m/s²。已知 1/(4πε₀)=9×10⁹ N·m²/C²，c=3×10⁸ m/s。（1）由偶极辐射公式 P=q²a²/(6πε₀c³) 计算，该粒子此时刻的辐射功率约为 5.1×10⁻¹⁷ W；若保持电荷量不变而加速度增大为原来的4倍，则辐射功率变为原来的____倍。

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10. 一个电荷量 q = 3×10⁻⁶ C 的带电粒子在真空中运动，某时刻其速度大小为 0.6c（c 为真空中光速），加速度大小 a = 2×10¹⁴ m/s²，且加速度方向恰好垂直于速度方向。观察点位于粒子前方与速度方向成 90° 角、距离 R = 3 m 处。求该时刻观察点处粒子辐射场（加速场）的电场强度大小 E。

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11. 某介质对某波长光的折射率 n=1.6。一电荷量为 q 的带电粒子在该介质中沿直线匀速运动，其速度大小为 v=(5/6)c，其中 c 为真空中光速。（1）通过计算判断该粒子能否在该介质中产生切连科夫辐射；（2）若能辐射，求辐射方向与粒子运动方向之间的夹角 θ（用 cosθ 的精确分数值表示，并给出 θ 的近似值，精确到 0.1°）；（3）求该介质中能产生切连科夫辐射的最小速度 v_min（用 c 表示）。

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12. 带电粒子电荷量为 q，沿 x 轴正方向以恒定速度 v=0.5c（c 为真空光速）运动。某时刻粒子位于坐标原点，观察点 P 位于 x 轴正方向上距原点 R 处。根据李纳-维谢尔势，粒子在该时刻于 P 点产生的标势 φ 与静止点电荷势 q/(4πε₀R) 之比 φ÷[q/(4πε₀R)] 为多少？A. 0.5　B. 1　C. 1.5　D. 2

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13. 在经典原子模型中，电子作简谐振动 x(t) = A·cos(ω₀t)，因辐射电磁能量而受到辐射阻尼，振幅逐渐衰减。已知电子质量 m、电量 e，振动频率 ω₀，辐射功率 P = (e²a²)/(6πε₀c³)，其中 a 为加速度。设振幅衰减很慢，可取一个周期内加速度平方的平均值 ⟨a²⟩ = (1/2)A²ω₀⁴。求电子因辐射损失的平均功率 P̄（用 A、ω₀、e、ε₀、c 表示），并说明振幅 A 随时间的变化趋势。

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14. 一微观粒子在真空中以远小于光速的速度做低速非相对论运动，其电荷量为 4e（e 为元电荷），某时刻加速度大小为 a。另一电子（电荷量大小为 e）在相同条件下以同样大小的加速度做低速运动。由低速运动带电粒子的偶极辐射公式可知，该粒子的辐射总功率与电子辐射总功率之比 P₁/P₂ = ____。

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15. α粒子（电荷量 2e）与氘核（电荷量 e）均在真空中做低速（v≪c）非相对论加速运动。已知低速运动带电粒子的偶极辐射总功率为 P = q²a²/(6πε₀c³)，其中 q 为电荷量，a 为加速度大小。（1）若二者加速度大小相同，求它们的辐射总功率之比 P_α/P_d；（2）若要求二者辐射总功率相同，求它们的加速度大小之比 a_α/a_d。

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16. 一电子在真空中低速（v≪c）运动，可按电动力学中低速运动带电粒子的偶极辐射公式处理其辐射。某时刻它的加速度大小为 a，辐射总功率为 P₁ = 9×10⁻¹⁸ W；经一小段时间后，速度仍远小于光速，但加速度大小变为 a/2，设电荷量与辐射条件不变。（1）求这两个时刻辐射总功率之比 P₁:P₂；（2）求后一时刻的辐射总功率 P₂。

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17. 电荷量为 q 的带电粒子以恒定速度 v=0.6c（c 为真空光速）沿 z 轴正方向运动。某一时刻，观察点 P 位于距粒子推迟位置 R 处，且 P 对粒子速度方向的夹角为 60°。已知李纳-维谢尔标势为 φ = q/[4πε₀(1−n·β)R]，其中 n 为由推迟位置指向观察点方向的单位矢量，β = v/c。设 φ₀ = q/(4πε₀R)，则该观察点处 φ/φ₀ = ____。

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18. 一个带电粒子（电荷量 q）在真空中作直线加速运动，其速度 v 与加速度 a 同向平行。已知其速度大小为 0.5c（c 为真空中光速）。根据李纳（Liénard）公式，该粒子单位时间辐射的能量中含修正因子；若用相对论情形的辐射功率与非相对论拉莫尔公式算得的功率之比来衡量相对论效应，则此比值等于 ____（用最简分数表示）。

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19. 质子（电荷量 e）与 μ 子（电荷量大小为 e）均在真空中以远小于光速的速度做低速非相对论加速运动。已知某时刻质子的加速度大小为 a、辐射总功率为 P；若 μ 子在同一时刻的加速度大小为 2a，其他条件相同，则由低速运动带电粒子的偶极辐射公式可知，μ 子的辐射总功率为 ____（用 P 表示）。

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20. 在经典原子模型中，电子作简谐振动因持续辐射能量而受辐射阻尼，振幅随时间按指数规律衰减，A(t) = A₀·e^(−t/τ)。关于弛豫时间 τ（表征辐射阻尼强弱的特征时间），下列说法正确的是： A. τ 越小，辐射阻尼越强，振幅衰减越快 B. τ 越小，辐射阻尼越弱，振幅衰减越慢 C. τ 的大小与电子振动频率 ω₀ 无关 D. τ 与电子质量 m 成反比

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21. 某介质对某一频率光的折射率为 n=√2。一带电粒子在该介质中沿直线匀速运动，只有当其速度超过光在该介质中的相速度时才能产生切连科夫辐射。试求该粒子产生切连科夫辐射所需的最小速度，用真空中光速 c 表示：v_min=____（以 c 的倍数形式填写）。

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22. 电荷量 q=7×10⁻⁹ C 的带电粒子以恒定速度 v=0.6c（c 为真空光速）沿 x 轴正方向运动。某时刻粒子位于坐标原点，观察点 P 与原点相距 R=3 m，且连线 OP 与 x 轴正方向夹角为 60°。根据李纳-维谢尔势，标势 φ = q/(4πε₀ R(1−v cosθ/c))，其中 θ 为粒子速度方向与 R 的夹角，ε₀ 为真空介电常数（1/(4πε₀)=9×10⁹ N·m²/C²）。则该时刻 P 点的标势 φ = ____ V。

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23. 某介质对某一波长的光的折射率 n=2，一电荷量为 q 的带电粒子在该介质中沿直线匀速运动，速度大小 v=(3/4)c（c 为真空中光速）。已知带电粒子产生切连科夫辐射的条件是 v>c/n，辐射沿与粒子速度方向成角 θ 发出，满足 cosθ=c/(nv)。则该粒子辐射的锥角半角 θ 满足 cosθ 的值为（　） A. 1/2　B. 2/3　C. 3/4　D. 4/5

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24. 某介质对某波长光的折射率 n=1.8。一电荷量为 q 的带电粒子在该介质中沿直线匀速运动，速度大小 v=0.75c（c 为真空中光速）。（1）判断该粒子能否在该介质中产生切连科夫辐射，并说明理由；（2）若能产生，求辐射方向与粒子运动方向之间的夹角 θ。

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25. 某介质对某一频率光的折射率 n=4/3，真空中光速 c=3×10^8 m/s。一带电粒子在该介质中沿直线匀速运动，速度大小 v=0.9c。（1）求光在该介质中的相速度，并判断该粒子是否满足切连科夫辐射条件；（2）若满足条件，求辐射波前（马赫锥）半角 θ，即 cosθ=c/(nv) 中的 θ 角（用反三角函数及角度表示）。

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26. 电荷量为 q 的点电荷沿 z 轴正方向以恒定速度 v=0.8c（c 为真空光速）运动。某观察时刻，场点 P 位于粒子推迟位置处张角为 θ 的方向上，到推迟位置的距离为 R，且 cosθ=1/4。根据李纳-维谢尔势公式 φ = q/[4πε₀(1−n·β)R]，其中 n 为推迟位置指向场点 P 的单位矢量，β=v/c，n·β 为二者的标量积。求：(1) P 点的标势 φ（用 q、ε₀、R 表示）；(2) P 点的矢势 A（用 q、ε₀、R、c 表示）。

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27. 某带电粒子在真空中运动，某时刻其速度 v 与加速度 a 同向平行（β = v/c = 3/5）。根据李纳-维谢尔势，其辐射场可表示为 E_rad ∝ [n×((n−β)×a)]/(1−n·β)³，其中 n 为由粒子指向场点的单位矢量，β = v/c。设 θ 为 n 与速度 v 方向的夹角，则辐射场大小恰好为零的方向对应的角度 θ 为 A. 0°（沿速度方向） B. 90°（垂直于速度方向） C. 60° D. 45°

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