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大学电动力学上册《静电场》练习题

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本单元考点（5 个）

库仑定律与电场强度高斯定理及其应用电势与电势差泊松方程与拉普拉斯方程静电场能量与能量密度

本单元练习题（27 题）

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1. 一个真空平行板电容器，极板面积 A=0.1 m²，两极板间距 d=1 mm，两极板间电势差 U=3000 V，边缘效应可忽略。（已知真空介电常数 ε₀=8.85×10^(-12) F/m）（1）求两极板间静电场的能量密度 w；（2）由能量密度积分求电容器储存的总静电能量 W。

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2. 真空中两点电荷 q₁ = q₂ = 2.0×10⁻⁶ C，分别位于点 A(0,0,0) 与点 B(4,0,0)，坐标单位为 m，静电力常量 k = 9.0×10⁹ N·m²/C²。求两点电荷在点 P(2,0,2) 处产生的合电场强度的大小与方向。

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3. 真空中有一内半径 a=0.1 m、外半径 b=0.3 m 的无限长中空圆柱形带电体，电荷体密度 ρ=2×10⁻⁶ C/m³ 均匀分布，系统关于轴线对称。利用高斯定理：（1）求圆柱空腔内距轴线 r=0.05 m 处的电场强度；（2）求壳层内部距轴线 r=0.2 m 处电场强度的大小（用 ε₀ 表示）。

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4. 真空中有一半径为 R 的均匀带电球体，总电荷量为 Q，电荷均匀分布。利用高斯定理，球体内距球心 r 处（r<R）的电场强度大小为多少？A. Q/(4πε₀R²)　B. Qr/(4πε₀R³)　C. Q/(4πε₀r²)　D. Q(R−r)/(4πε₀R³)

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5. 真空中一点电荷带电量 q=2×10⁻⁸ C，已知静电力常量 k=9×10⁹ N·m²/C²。将一检验电荷沿任意路径从距该点电荷 r₁=3 cm 处移动到 r₂=9 cm 处，求此两点间的电势差 U₁₂=φ(r₁)−φ(r₂)。 A. 2000 V B. 3000 V C. 4000 V D. 6000 V

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6. 两块无限大接地导体平板平行放置，分别位于 x=0 与 x=2 m 处，两板之间充满体电荷密度恒为 ρ=4ε₀（SI 单位，V/m² 量纲系数）的均匀电荷。设两板间电势满足一维泊松方程 d²Φ/dx² = −ρ/ε₀，且 Φ(0)=Φ(2)=0。则两板间 x=0.5 m 处的电势为（　） A. 0.5 V B. 1.0 V C. 1.5 V D. 3.0 V

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7. 已知真空中某静电场的电势分布为 φ(x,y,z)=2(x²+y²+3z²)（SI 单位制，ε₀ 为真空介电常数），则由泊松方程可知空间电荷密度 ρ=____ε₀（以 ε₀ 为单位填写数值）。

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8. 真空中两同心导体球面，内球半径 a=0.1 m，外球壳半径 b=0.3 m，内球带电荷量 Q=9×10⁻⁹ C，外球壳接地。已知静电力常量 k=9×10⁹ N·m²/C²。则内、外球面间的电势差 U=____ V；两球面间中点 r=0.2 m 处相对外球壳的电势 φ=____ V。

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9. 真空中两点电荷 q₁ = 4×10⁻⁶ C 位于点 A(0,0,0)，q₂ = -1×10⁻⁶ C 位于点 B(3,0,0) m。求两点电荷连线中点 C(1.5,0,0) m 处的电场强度 E（大小与方向），以及点电荷 q₁ 在 C 点单独产生的场强大小。已知真空介电常数 ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m，1/(4πε₀) = 9×10⁹ N·m²/C²。

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10. 真空中一点电荷带电量 q = 1.0×10⁻⁶ C，静电力常量 k = 9.0×10⁹ N·m²/C²。根据库仑定律，与该点电荷相距 r = 3.0 m 处的电场强度大小 E = ____ N/C。

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11. 两块无限大接地导体平板平行放置，分别位于 x=0 与 x=1 m 处，两板之间充满体电荷密度 ρ=12ε₀（SI 单位，V/m² 量纲系数）的均匀电荷，板间区域外电势为零。试由泊松方程出发：(1) 写出板间区域满足的微分方程及边界条件，并说明解的唯一性依据；(2) 求板间电势分布 φ(x)；(3) 求 x=1/3 m 处的电势值以及板间电场 E=0 的位置。

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12. 真空中有一无限长均匀带电直圆柱体，半径为 R，电荷体密度为 ρ。利用高斯定理，圆柱体内距轴线 r 处（r<R）的电场强度大小为____，方向沿____。

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13. 真空中两点电荷 q₁ = 1.0×10⁻⁶ C 位于 x 轴上原点，q₂ = 4.0×10⁻⁶ C 位于 x = 3.0 m 处，静电力常量 k = 9.0×10⁹ N·m²/C²。由库仑定律与电场强度叠加原理，两电荷之间（0 < x < 3.0 m）电场强度为零的点的坐标为 x = ____ m。

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14. 真空中某一球对称静电区域的电势分布为 φ(r)=100−5r²（SI 单位制，r 以 m 计，φ 以 V 计）。由泊松方程 ∇²φ=−ρ/ε₀ 可得该区域内的电荷密度 ρ=____ε₀（C/m³）；若该区域内某点挖去一薄层电荷而电势在此点发生有限突变，则唯一性定理在此处____（填“仍然成立”或“不再成立”）。

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15. 真空中有一球形电容器，内导体球半径 a=0.2 m，外导体球壳内半径 b=0.3 m，内球带电荷 Q=2×10⁻⁶ C，外球壳带 −Q。已知 ε₀=8.85×10⁻¹² F/m。（1）写出 r 处（a<r<b）电场能量密度 u(r) 的表达式并求 r=0.25 m 处的值；（2）对能量密度在全区域积分，求该电容器储存的总静电能 W。

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16. 真空中有一半径 R=0.2 m 的均匀带电球体，总电荷量 Q=4×10⁻⁸ C，静电力常量 k=9×10⁹ N·m²/C²。取无穷远处电势为零，球心与球内距球心 r=0.1 m 处两点的电势差 U 为多少？ A. 225 V　B. 450 V　C. 900 V　D. 1350 V

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17. 真空中两点电荷 q₁ = 2.0×10⁻⁶ C 位于原点 O(0,0,0)，q₂ = -2.0×10⁻⁶ C 位于点 B(4,0,0) m。静电力常量 k = 9.0×10⁹ N·m²/C²。根据库仑定律求两点电荷连线中点 M(2,0,0) 处的电场强度大小和方向。

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18. 真空中有一半径 R=0.3 m 的均匀带电球体，总电荷量 Q=1.8×10⁻⁸ C 均匀分布于球体内，静电力常量 k=9×10⁹ N·m²/C²。设球心处电势为 V_c（以无穷远为电势零点），球面处电势为 V_s，则 V_c − V_s 等于多少？ A. 270 V　B. 540 V　C. 810 V　D. 135 V

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19. 真空中有一无限大均匀带电平面，面电荷密度为 σ>0。利用高斯定理可判断其两侧电场方向为： A. 两侧均垂直于平面背离平面　B. 两侧均垂直于平面指向平面　C. 两侧均沿平面切向　D. 一侧背离平面，另一侧指向平面

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20. 真空中某区域内的电势分布为 φ(x,y,z)=6x−4y+3z+2（SI 单位制）。由拉普拉斯方程与泊松方程的关系可知，该区域内 ∇²φ=____，电荷密度 ρ=____（用 ε₀ 表示）。

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21. 真空中有一半径为 R 的均匀带电球面，总电荷量为 Q（Q>0）。利用高斯定理，求距球心 r 处的电场强度大小：（1）r<R；（2）r>R。

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22. 真空中两点电荷：q₁=4×10⁻⁸ C 位于原点，q₂=−1×10⁻⁸ C 位于 x=0.3 m 处。取无穷远处电势为零，静电力常量 k=9×10⁹ N·m²/C²。则沿 x 轴上 x₁=0.1 m 与 x₂=0.2 m 两点间的电势差 U₁₂=φ(x₁)−φ(x₂)=____ V。

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23. 真空中两同心薄球壳，内球壳半径 R₁=0.10 m，带电荷 q₁=2.0×10⁻⁹ C；外球壳半径 R₂=0.20 m，带电荷 q₂=−6.0×10⁻⁹ C。利用高斯定理求两球壳之间距球心 r=0.15 m 处的电场强度大小与方向。静电力常量 k=9.0×10⁹ N·m²/C²。

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24. 真空中有一均匀带电球壳层，内半径 a=1 m，外半径 b=3 m，电荷体密度 ρ 为正常量。利用高斯定理，壳层内距球心 r=2 m 处的电场强度大小为（设 ε₀ 为真空介电常数）：A. 7ρ/(12ε₀)　B. ρ/(3ε₀)　C. 2ρ/(3ε₀)　D. 7ρ/(6ε₀)

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25. 真空中两点电荷 q₁ = 3.0×10⁻⁶ C 位于原点 O(0,0,0)，q₂ = -3.0×10⁻⁶ C 位于点 B(0,4,0) m，坐标单位为 m，静电力常量 k = 9.0×10⁹ N·m²/C²。根据库仑定律与电场强度叠加原理，两点电荷在点 P(0,1,0) 处共同产生的合场强大小为多少？ A. 2.4×10⁴ N/C　B. 2.7×10⁴ N/C　C. 3.0×10⁴ N/C　D. 3.3×10⁴ N/C

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26. 真空中两点电荷，q₁=3×10⁻⁸ C 位于坐标原点，q₂=−1×10⁻⁸ C 位于 x 轴上 x=0.2 m 处，静电力常量 k=9×10⁹ N·m²/C²，取无穷远处电势为零。则 x 轴上 x₁=0.1 m 处 P₁ 点的电势为____V，x₂=0.3 m 处 P₂ 点的电势为____V，将电荷量 q₀=2×10⁻⁹ C 的点电荷从 P₁ 移到 P₂，电场力做功为____J。

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27. 真空中一半径为 R 的均匀带电球体，总电荷量为 Q，电荷均匀分布。求该带电球体激发的静电场总能量。已知 ε₀ 为真空介电常数。 A. 3Q²/(20πε₀R) B. Q²/(8πε₀R) C. 11Q²/(40πε₀R) D. 3Q²/(5πε₀R)

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