大学电动力学上册《电磁波的传播》练习题

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本单元考点（5 个）

电磁波动方程与平面波解电磁波的偏振特性电磁波在介质中的色散与群速度电磁波在界面上的反射与折射波导中的电磁波模式

本单元练习题（27 题）

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1. 真空中波长为 1 m 的平面电磁波垂直进入无耗非磁性介质（折射率 n=2）中继续传播，频率保持不变。该波在介质中的波数 k（rad/m）为： A. 2π　B. 3π　C. 4π　D. 8π

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2. 两束同频率的单色平面电磁波沿 z 方向传播：波1的电场沿 x 方向，振幅为 E₀；波2的电场沿 y 方向，振幅为 2E₀，且波2的相位比波1超前 π/2。两波在空间同一点叠加后的合成波属于哪种偏振态？ A. 线偏振 B. 圆偏振 C. 椭圆偏振（长轴沿 y 方向） D. 椭圆偏振（长轴沿 x 方向）

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3. 某单色平面电磁波的电场为 E = 3e_x cos(kz−ωt) + 4e_y cos(kz−ωt − π/2)（SI 单位）。该波在空间固定点处电场矢端随时间描出椭圆，其长半轴长为 ____，短半轴长为 ____。

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4. 某介质的折射率满足色散关系 n(ω)=√(2+ω²/ω₀²)，其中 ω₀ 为常数。一列中心频率为 ω₀ 的波包在此介质中传播，其群速度为____（用 c 与 ω₀ 表示）。

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5. 频率为 100 MHz 的平面电磁波自真空垂直射入无耗非磁性介质（相对介电常数 εr=4，磁导率 μr=1）后继续以平面波形式传播，频率保持不变。真空中的光速取 c=3×10^8 m/s。求：(1) 该波在此介质中的传播速度 v；(2) 该波在此介质中的波长 λ；(3) 该波在此介质中的波数 k（用 π 表示）。

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6. 一束平面电磁波从水中（折射率 n₁=4/3）入射到水与空气（折射率 n₂=1）的分界面上。（1）求平行偏振波（p 波）反射为零的布儒斯特角 θ_B；（2）求此时的折射角 θ₂；（3）验证 θ_B+θ₂ 等于 90°，并说明其物理意义。

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7. 一束平面电磁波从折射率 n₁=√3 的均匀无损介质射向该介质与空气（n₂=1）的分界面，入射角 θ 从 0° 连续增大。求：（1）平行偏振（p 波）反射振幅为零的布儒斯特角 θ_B；（2）波发生全反射的临界角 θ_c；（3）说明入射角在 θ_B 与 θ_c 之间时反射波与折射波是否存在，并指出此时折射角的范围。

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8. 真空中一束平面电磁波的电场可表示为 E(z,t)=E₀cos(4π×10⁸ t − kz) (SI 单位)。该波自真空垂直进入无耗非磁性介质（εr=4，μr=1）后仍以平面波形式传播，频率保持不变。已知平面波解满足波动方程，真空中光速 c=3×10⁸ m/s。则该电磁波的频率为 ____ Hz，它在介质中的波长为 ____ m。

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9. 一束平面电磁波从真空（折射率 n₁=1）入射到折射率 n₂=√3 的均匀无损介质平面上，入射角 θ 可调。（1）用布儒斯特定律求平行偏振波（p 波）反射为零的入射角 θ_B；（2）当入射角为 θ_B 时，s 波（垂直偏振）的振幅反射系数为 r_s=(n₁cosθ−n₂cosθ_t)/(n₁cosθ+n₂cosθ_t)，其中 θ_t 为折射角，由折射定律确定。求该角度下 s 波的振幅反射系数 r_s 及其反射率 |r_s|²。

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10. 某介质的折射率随角频率变化的关系为 n(ω)=2−(ω/ω₀)²，其中 ω₀ 为已知常数，c 为真空中光速。一列中心频率为 ω₀ 的窄波包在此介质中传播。（1）求该介质在中心频率处的相速度 v_p；（2）求该波包的群速度 v_g，并说明其符号（即群速度方向与波矢方向相反）反映了该介质在此频段属于正常色散还是反常色散。

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11. 一束平面电磁波从折射率 n₁=2 的均匀无损介质射向该介质与空气（n₂=1）的分界面。分别计算发生全反射的临界角 θc 与平行偏振（p 波）反射为零的布儒斯特角 θB，则两者之差 θc−θB 最接近多少？ A. 3.4°　B. 6.4°　C. 13.4°　D. 16.6°

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12. 一束沿 z 方向传播的单色平面电磁波，其电场为 E = E₀e_x cos(kz−ωt) + (√3/2)E₀e_y cos(kz−ωt)。试写出该波在空间任一固定点处电场矢端随时间描绘的轨迹方程，并判断该波的偏振状态（说明是线偏振、圆偏振还是椭圆偏振）。

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13. 平面电磁波从真空（折射率 n₁=1）以布儒斯特角入射到折射率 n₂=1.5 的无损介质表面。用布儒斯特定律确定入射角 θ_B 的大小：A. θ_B≈33.7°　B. θ_B≈48.6°　C. θ_B≈56.3°　D. θ_B=45°

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14. 矩形波导横截面边长为 a=7.2 cm、b=3.6 cm，内部为真空。已知截止频率公式为 fc = c/2 × √[(m/a)² + (n/b)²]。试计算 TE₁₀ 模的截止频率 fc，并判断频率为 2.5×10⁹ Hz 的电磁波能否以 TE₁₀ 模在此波导中传播。

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15. 一束平面电磁波从真空（折射率 n₁=1）垂直入射到折射率 n₂=3 的无限大介质界面上。已知电场振幅反射系数 r = (n₁−n₂)/(n₁+n₂)，透射系数 t = 2n₁/(n₁+n₂)。则反射波与入射波电场振幅之比为____，透射波与入射波电场振幅之比为____。

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16. 真空中的平面电磁波波长为 6 m，垂直进入无耗非磁性介质（折射率 n=2）后仍以平面波形式传播，频率保持不变。该波在此介质中的波数 k（rad/m）为： A. π/3　B. π/2　C. 2π/3　D. 4π/3

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17. 一单色平面电磁波的电场为 E = E₀(e_x cos(kz−ωt) + √3 e_y cos(kz−ωt + π/2))。设 e_x、e_y 为相互垂直的单位矢量，请填空：该电磁波的偏振态为____偏振，合成电场矢量端点随时间旋转一周的周期为____（用 ω 表示）。

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18. 某矩形波导横截面边长为 a=5.0 cm、b=2.0 cm，内部为真空（c=3×10⁸ m/s）。已知 TE_mn 模的截止频率为 fc = (c/2)×√[(m/a)² + (n/b)²]。试求：(1) TE₁₀、TE₂₀、TE₀₁ 三个模的截止频率；(2) 当工作频率为 5.0 GHz 时，上述三个模中哪些能在波导中传播？

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19. 某介质的折射率满足色散关系 n(ω)=√(1+ω²/ω₀²)，其中 ω₀ 为常数，c 为真空中光速。一列中心频率为 ω₀ 的波包在此介质中传播。（1）求该介质在频率 ω₀ 处的群速度折射率 n_g = n + ω dn/dω；（2）求此波包的群速度 v_g（用 c 表示，并给出以 m/s 为单位的近似值）。

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20. 某种色散介质的折射率随角频率变化的关系为 n(ω)=1+(ω/ω₀)²，其中 ω₀ 为已知常数。一列以 ω₀ 为中心频率的窄波包在此介质中传播，则该波包的群速度 vg 与相速度 vp 之比 vg/vp 为（　） A. 1/4　B. 1/2　C. 3/4　D. 4/7

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21. 真空中波长为 0.3 m 的平面电磁波自真空垂直进入无耗非磁性介质（相对介电常数 εr=9，磁导率 μr=1）中继续以平面波形式传播，频率保持不变，真空中光速取 c=3×10⁸ m/s。该波在介质中的波数 k = ____ rad/m。

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22. 一束平面电磁波从玻璃（折射率 n₁=1.5）射向玻璃与空气（n₂=1）的分界面，入射角 θ 由 0° 逐渐增大。当入射角增大到临界角 θ_c 时开始发生全反射。由折射定律 n₁·sinθ_c = n₂·sin90° 可得 θ_c = ____,（结果保留一位小数）。若入射角 θ > θ_c，则透射波沿界面方向的波矢分量对应的折射角为 90°，透射波振幅沿法向按指数 ____（填“衰减”或“增长”）。

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23. 一束沿 +z 方向传播的单色平面电磁波，其电场为 E = E₀e_x cos(kz−ωt) + (E₀/2)e_y cos(kz−ωt + π/2)。该波为椭圆偏振波，其电场矢端椭圆的长轴沿____方向，长半轴与短半轴之比为____。

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24. 某单色平面电磁波沿 +z 方向传播，其电场可表示为 E = (E₀/2)·e_x cos(kz−ωt) + E₀·e_y cos(kz−ωt + π/2)，其中 e_x、e_y 为相互垂直的单位矢量。由于两分量相位差为 ±π/2，该波为正椭圆偏振，且偏振椭圆的两半轴分别沿 e_x 和 e_y 方向。该偏振椭圆的短半轴与长半轴之比为（　） A. 1/4　B. 1/2　C. 2/3　D. 1

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25. 矩形波导横截面边长 a=6.0 cm、b=3.0 cm，内部为真空，波速 c=3×10⁸ m/s。已知 TE_mn 模的截止频率为 fc = (c/2)×√[(m/a)² + (n/b)²]。现以频率 f=4.0×10⁹ Hz 的电磁波馈入该波导。则能在此波导中以传输模式（kz 为实数）传播的 TE 模共有____种，其中截止波长最长的模式的截止波长为____ cm。

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26. 矩形波导横截面边长满足 a>b，内部为真空。已知 TE_mn 模的截止频率为 fc = (c/2)×√[(m/a)² + (n/b)²]。在所有 TE_mn 模中，截止频率最低、因而成为该波导主模（基模）的是哪一个？ A. TE₂₀　B. TE₀₁　C. TE₁₁　D. TE₁₀

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27. 一束沿 +z 方向传播的单色平面电磁波，其电场为 E = E₀e_x cos(kz−ωt) + E₀e_y cos(kz−ωt − π/3)，e_x、e_y 为相互垂直的单位矢量。该波的偏振状态是（　） A. 线偏振 B. 圆偏振 C. 椭圆偏振 D. 非偏振

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