大学电动力学上册《稳恒电流场》练习题

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本单元考点（5 个）

电流密度与电流强度欧姆定律的微分形式焦耳定律与功率密度稳恒条件与KCL方程稳恒电流场的边值问题

本单元练习题（27 题）

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1. 两块平行的均匀导电介质层紧密贴合，界面为平面，两层厚度均为 d，电导率分别为 σ₁=2σ 和 σ₂=σ。稳恒电流沿垂直于界面的方向流动，系统可视为一维边值问题：界面处电流密度法向分量连续，电场强度切向分量连续。已知外加总电压为 U，忽略边缘效应，则第一层介质（σ₁ 层）两端的电压为（　　） A. U/3　B. U/2　C. 2U/3　D. U

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2. 两同心球形导体电极之间充满两层均匀导电介质，内层电导率为 σ，外层为 3σ，界面为半径 b=2 m 的球面；内电极半径 a=1 m，外电极内半径 c=4 m。设内电极电势为 U=14 V，外电极接地，稳恒电流沿径向流动。求：(1) 介质中的总电流 I；(2) 两介质界面处的电势 φ_b。

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3. 两块平行板电极间距为 L，极板间充满两种均匀导电介质，界面为与极板平行的平面，介质1（电导率 σ₁=σ）厚度 L₁=L/3，介质2（电导率 σ₂=2σ）厚度 L₂=2L/3。稳恒电流 I 沿垂直于极板方向流动，极板面积均为 S，漏电及边缘效应忽略。将此视为一维稳恒电流场边值问题：（1）写出两种介质中电流密度 J₁、J₂ 满足的边值关系；（2）求两介质中的电场强度 E₁、E₂；（3）求两极板间的电压 U。

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4. 两块均匀各向同性导电材料紧密叠合成横截面积处处相同的复合板，两界面平行。材料1厚度d₁=2.0 cm、电导率σ₁=1.0×10⁴ S/m；材料2厚度d₂=1.0 cm、电导率σ₂=2.0×10⁴ S/m。在复合板两端面间加稳恒电压U=6.0 V，电流沿厚度方向流动，界面处无电荷积累以外的其他效应。求：(1)复合板中的电流密度大小J；(2)两种材料内部的电场强度大小E₁和E₂。

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5. 一半球形接地电极半径 r₀ = 1.0 m 埋于大地中，稳恒电流自电极表面沿径向均匀流入周围土壤（即通过任一半径 r 的半球面时电流均匀分布）。已知电极表面处的电流密度大小为 J = 5.0 A/m²，则电极流出的总电流强度 I 为多少？ A. 31.4 A　B. 15.7 A　C. 62.8 A　D. 10.0 A

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6. 两同心球形导体电极之间充满均匀导电介质，但以过球心的平面为界，内、外两个半球壳区域的介质电导率分别为 σ₁=σ 与 σ₂=3σ。内电极半径 a=0.5 m，外电极内半径 b=2 m。设稳恒电流沿径向流动，界面（过球心的平面）上无电流穿过，系统可视为稳恒电流场的边值问题：内电极电势 U₀=3 V，外电极接地。求：（1）两半球区域中电势 φ(r) 的分布形式（用 r、U₀、a、b 表示，说明两区域电势相同的原因）；（2）系统的等效电阻 R；（3）从内电极流出的总电流 I。介质中体电荷密度可视为零。

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7. 海水中某点存在稳恒电流，电流密度大小 J = 0.80 A/m²，海水电导率 σ = 4.0 S/m。根据欧姆定律的微分形式 J = σE，该点电场强度的大小为 ____ V/m。

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8. 某均匀导电材料中通有稳恒电流，材料电阻率为 2.5×10⁻⁴ Ω·cm，其中某点处电流密度大小 J = 8×10⁵ A/m²。由焦耳定律的微分形式，该点处电流的热功率密度为 ____ W/m³，即 ____ W/cm³。

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9. 一均匀导电介质中，电导率为 γ，某点的电场强度大小为 E。根据欧姆定律的微分形式，该点电流密度的大小 J 为（　） A. γE B. γ/E C. E/γ D. γE²

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10. 一根铜质导线中通有稳恒电流，导线内某点处电流密度大小为 J=5×10⁶ A/m²，铜的电导率 σ=5×10⁷ S/m。由欧姆定律的微分形式 J=σE 可知该点场强 E 的大小为多少？若将此导线换成同截面、同电流的电导率 σ'=2.5×10⁷ S/m 的合金导线，该点场强变为原来的多少倍？A. 100 V/m，1倍 B. 0.1 V/m，2倍 C. 100 V/m，1/2倍 D. 0.1 V/m，1/2倍

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11. 一块各向同性的均匀导电介质，电导率为 γ = 2.0×10⁵ S/m，介质内某点存在稳恒电场，其电场强度大小 E = 5.0 V/m。由欧姆定律的微分形式 J = γE，该点电流密度的大小 J = ____ A/m²。

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12. 某均匀导电介质中通有稳恒电流，电流密度大小 J = 5×10⁵ A/m²，介质的电阻率 ρ = 2×10⁻⁷ Ω·m。由焦耳定律的微分形式，该处电流的功率密度（热功率体密度）p = ____ kW/m³。

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13. 一根粗细均匀的圆柱形铜导线，横截面为圆形，半径 r = 1.0 mm，通有稳恒电流 I = 5.0 A。设电流在横截面上均匀分布，求导线内的电流密度 J 的大小，并说明其方向与电流方向的关系。

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14. 一块均匀石墨材料的电导率为 σ=2.5×10⁴ S/m。稳恒情况下，石墨体内某点的电流密度矢量 j 与该点电场强度 E 方向相同，且已知该点 j=1.0×10⁵ A/m²。（1）写出欧姆定律微分形式的表达式；（2）求该点电场强度 E 的大小；（3）若将石墨换成电导率为 σ'=5×10⁴ S/m 的均匀材料，保持该点电场强度 E 不变，求新的电流密度 j' 的大小。

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15. 在稳恒电流场中，某节点处有三条支路：支路1的电流 I₁=5 A 沿指向该节点的方向流动，支路2的电流 I₂=3 A 沿背离该节点的方向流动，支路3的电流 I₃ 沿背离该节点的方向流动。由稳恒条件（电流场的连续性方程对该节点的积分形式，即KCL方程）可得 I₃=____ A。

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16. 一根均匀导电材料中存在稳恒电流，测得某点处的焦耳热功率密度为 2×10⁵ W/m³，该材料的电阻率为 2×10⁻⁷ Ω·m。求：(1) 该点电流密度 J 的大小；(2) 该点电场强度 E 的大小。

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17. 某均匀导电介质中通有稳恒电流，某点处电流密度大小 J = 4×10⁵ A/m²，该介质的电阻率 ρ = 2×10⁻⁷ Ω·m。由焦耳定律的微分形式，该点处电流的功率密度 p = ____ W/m³。

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18. 一均匀导电介质板沿厚度方向通有稳恒电流，介质电阻率 ρ = 1.1×10⁻⁶ Ω·m，板内某点处焦耳热功率密度 p = 4.4×10⁴ W/m³。由焦耳定律的微分形式 p = ρJ²，该处电流密度大小 J = ____ A/m²；若介质板内功率密度处处均匀，板面积为 0.25 m²、厚度为 0.02 m，则整块介质板单位时间内产生的焦耳热 P = ____ W。

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19. 某电路节点连接三条支路。稳恒条件下，流入节点的电流 I₁=4 A，另一条流入支路的电流 I₂=6 A，第三条支路电流背离节点流动，则该支路电流 I₃=____ A。

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20. 某电路节点连接四条支路。已知 I₁=2 A 流入节点，I₂=4 A 流出节点，I₃=6 A 流出节点。根据稳恒条件（基尔霍夫电流定律），第四条支路的电流 I₄ 应为多少？A. 8 A 流入节点 B. 8 A 流出节点 C. 4 A 流入节点 D. 12 A 流出节点

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21. 两块均匀各向同性导电板左右并排拼接，共用两个平行端面，两板厚度相同、端面电场强度相同均为 E=0.5 V/m。板1电导率 σ₁=2 S/m，板2电导率 σ₂=8 S/m，界面与端面垂直。由欧姆定律的微分形式 J=σE，求两板中电流密度大小之差 J₂−J₁。 A. 2 A/m²　B. 3 A/m²　C. 4 A/m²　D. 5 A/m²

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22. 一块均匀导电材料中通有稳恒电流，材料电阻率 ρ = 5×10⁻⁷ Ω·m，某点处电流密度大小 J = 2×10⁵ A/m²。由焦耳定律的微分形式，求该点处电流的热功率密度 p 的大小（以 W/m³ 为单位）。

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23. 一均匀导电介质中通有稳恒电流，已知某点处电流密度大小 J = 2×10⁵ A/m²，该点焦耳热功率密度 p = 4×10⁴ W/m³。由焦耳定律的微分形式 p = ρJ²，该介质的电阻率 ρ 为多少？ A. 1×10⁻⁶ Ω·m B. 2×10⁻⁶ Ω·m C. 1×10⁻⁵ Ω·m D. 5×10⁻⁷ Ω·m

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24. 两块平行板电极间距 d=0.01 m，极板面积 S=0.2 m²，板间电压 U=100 V。板间充满两种均匀导电介质，其分界面为与极板垂直的平面，两种介质各占极板面积的一半，电导率分别为 σ₁=σ=5×10⁻² S/m 和 σ₂=3σ。设系统处于稳恒状态，电位沿垂直极板方向线性分布，试将其作为稳恒电流场边值问题求解：（1）求两种介质中的电流密度 J₁ 和 J₂；（2）求流过极板的总电流 I。

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25. 某均匀导电介质中通有稳恒电流，介质电导率 σ = 2×10⁷ S/m，某点处电流密度大小 J = 3×10⁵ A/m²。由焦耳定律的微分形式 p = J²/σ，该点处焦耳热功率密度 p 为多少？ A. 4.5×10³ W/m³　B. 2.25×10³ W/m³　C. 9×10³ W/m³　D. 4.5×10⁴ W/m³

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26. 一根圆柱形导线横截面为圆形，半径 R = 2.0 cm，通有稳恒电流，电流密度沿径向非均匀分布，大小为 J = J₀(1 − r²/R²)，其中 r 为场点到轴线的距离，J₀ 为轴线处的电流密度。则通过 r 从 R/2 到 R 的环形截面的电流强度占总电流强度的比例为A. 7/16　B. 9/16　C. 3/4　D. 1/2

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27. 一段圆锥台形导体沿轴向通有稳恒电流 I = 2.0 A，电流在每个横截面上均匀分布。导体两端横截面均为圆形，大端半径 r₁ = 4.0 mm，小端半径 r₂ = 1.0 mm。设导体内部电流满足稳恒条件（通过任意横截面的电流强度相同），则大、小两端电流密度大小之比 J₁:J₂ = ____，小端电流密度大小 J₂ = ____ A/m²。（结果中 π 保留符号）

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