大学电动力学上册《静电场中的导体与电介质》练习题

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本单元考点（5 个）

导体静电平衡条件电介质的极化与极化强度电位移矢量与介质中的高斯定理极化电荷与边界条件电容与部分电容

本单元练习题（27 题）

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1. 平行板电容器极板间充满两层紧贴的均匀电介质，介质1（相对介电常数 εr1=2）与介质2（εr2=4）沿电场方向串联叠放。极板自由电荷面密度为 σ0=4.0×10⁻⁹ C/m²。设界面法向单位矢量 n 由介质1指向介质2，忽略边缘效应。由电位移矢量法向分量连续（无自由电荷于界面）可知 D1=D2=σ0，从而 E1=σ0/(2ε0)，E2=σ0/(4ε0)，P1=ε0(εr1−1)E1，P2=ε0(εr2−1)E2。求界面上极化电荷面密度 σ'=(P1−P2)·n 的值。 A. −1.0×10⁻⁹ C/m² B. +1.0×10⁻⁹ C/m² C. −2.0×10⁻⁹ C/m² D. +2.0×10⁻⁹ C/m²

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2. 一均匀电介质球置于均匀外电场 E₀ 中被均匀极化，已知其极化强度 P 的大小为 2×10⁻⁹ C/m²。则介质球内任一点的体束缚电荷密度 ρ' = ____ C/m³；若该介质球半径为 1 cm，则其表面束缚电荷面密度的最大值 σ'_max = ____ C/m²（保留两位有效数字）。

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3. 一半径 R=2.0 cm 的导体球带自由电荷 Q=4.5×10⁻⁹ C，其外紧密包一层相对介电常数 εr=3 的均匀线性各向同性电介质球壳，球壳外为真空。静电平衡时，关于电介质内、外表面上极化电荷总量 Q′_内与 Q′_外，下列判断正确的是 A. Q′_内=−4.5×10⁻⁹ C，Q′_外=0 B. Q′_内=−3.0×10⁻⁹ C，Q′_外=+3.0×10⁻⁹ C C. Q′_内=0，Q′_外=+4.5×10⁻⁹ C D. Q′_内=−1.5×10⁻⁹ C，Q′_外=−1.5×10⁻⁹ C

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4. 一点电荷 q=2.0×10⁻¹⁰ C 置于无限大接地导体平板上方，距板面 d=0.40 m。静电平衡时导体内部场强处处为零，板面最近处（点电荷正下方）的感应面电荷密度可写为 σ=−a×10⁻¹⁰/π C/m²，则 a=____。

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5. 一无限大均匀带电平面上方充满相对介电常数为 εr=3 的均匀各向同性电介质，自由电荷面密度为 σ=6×10⁻⁹ C/m²，静电平衡且介质均匀无限。介质中电位移矢量 D 的大小为多少？ A. 1×10⁻⁹ C/m²　B. 2×10⁻⁹ C/m²　C. 6×10⁻⁹ C/m²　D. 18×10⁻⁹ C/m²

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6. 一平行板电容器极板面积为 S=2 m²，极板间距 d=1 mm。两极板间沿平行于极板方向分成左右两半区域填充均匀电介质：左半区域（面积为 S/2）充满相对介电常数 εr1=2 的介质，右半区域（面积为 S/2）充满相对介电常数 εr2=4 的介质，两介质交界面与极板平行方向对齐，不计边缘效应。两极板间加电压 U=100 V。求：（1）该电容器的总电容 C；（2）左右两区域极板上所带自由电荷面密度之比 σ1:σ2；（3）电容器储存的总电能 W。

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7. 一半径 R₁=1.0 cm 的导体球带自由电荷 Q=9×10⁻⁹ C，球外紧贴一层内半径 R₁、外半径 R₂=3.0 cm 的均匀线性各向同性电介质球壳，相对介电常数 εr=3，球壳外为真空。静电平衡后，介质球壳内表面的极化电荷总量为____，外表面的极化电荷总量为____（均需填正负号与数值）。

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8. 一平行板电容器极板面积为 S，极板间距为 d，两极板间充满相对介电常数为 εr 的均匀线性各向同性电介质。不计边缘效应，该电容器的电容为（　） A. εrε₀S/d　B. ε₀S/(εr d)　C. ε₀d/S　D. εr d/S

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9. 两种均匀电介质在界面处紧密接触，介质1的相对介电常数为2，介质2的相对介电常数为3，界面无自由电荷。已知电场在介质1中垂直于界面指向介质2，其法向分量为6 V/m。由边界条件知D₁n=D₂n，可求得介质2中场强的法向分量E₂n=____ V/m；界面上两种介质极化电荷面密度的净值为 P₁n−P₂n =____ C/m²（以电场方向为正法向，ε₀=8.85×10⁻¹² F/m）。

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10. 一平行板电容器极板面积为S，间距为d，真空时电容为12 pF。现将极板间沿垂直于极板方向分层填充两层均匀电介质：紧贴正极板的介质厚d/2、相对介电常数εr1=2，另一层厚d/2、相对介电常数εr2=4（界面平行于极板）。忽略边缘效应，填充后该电容器的电容为____ pF。

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11. 一不带电的同心金属球壳，内半径 R₁=0.10 m，外半径 R₂=0.20 m。在球壳内球心处放置一点电荷 q=2.0×10⁻⁸ C。已知静电平衡时导体内场强处处为零。求：（1）球壳内表面感应电荷总量；（2）球壳外表面感应电荷总量；（3）距球心 r=0.30 m 处的电场强度大小（静电力常量 k=9.0×10⁹ N·m²/C²）。

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12. 一平行板电容器先与电源相连充电至稳定，然后断开电源，再将相对介电常数为 εr=3 的均匀电介质插入并充满两极板之间（忽略边缘效应）。设极板上自由电荷面密度为 σ₀=6×10⁻⁵ C/m²，插入介质后介质表面的极化电荷面密度大小为（　　） A. 2×10⁻⁵ C/m² B. 3×10⁻⁵ C/m² C. 4×10⁻⁵ C/m² D. 6×10⁻⁵ C/m²

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13. 一平行板电容器极板面积为 S，两极板间距 d=2.0 cm，极板间充满相对介电常数 εr=3 的均匀各向同性电介质。静电平衡时测得介质表面的极化电荷面密度大小为 |σ′|=4.0×10⁻⁷ C/m²。求：(1) 极板上自由电荷面密度 σ₀；(2) 介质内的极化强度 P；(3) 介质内电位移 D 与场强 E 的大小。

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14. 一平行板电容器内充满相对介电常数 εr=3 的均匀线性各向同性电介质，极板间距远小于极板线度，可忽略边缘效应。静电平衡时极板间电场强度大小为 E=2×10⁵ V/m，方向由上极板竖直指向下极板。已知真空介电常数 ε₀=8.85×10⁻¹² C²/(N·m²)。求：(1) 介质内极化强度 P 的大小；(2) 介质上表面（朝向上极板的表面）与下表面（朝向下极板的表面）极化电荷面密度各为多少；(3) 上极板自由电荷面密度 σ₀ 与介质上表面极化电荷面密度大小之比。

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15. 一平行板电容器极板间充满相对介电常数 εr=5 的均匀线性各向同性电介质，忽略边缘效应。静电平衡时介质内部电场强度大小为 E=3.0×10⁵ V/m，方向垂直于极板。已知真空介电常数 ε₀=8.85×10⁻¹² F/m。求：(1) 介质与极板相邻表面上的极化电荷面密度；(2) 介质内电极化强度 P 的大小；(3) 电位移 D 的大小。

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16. 一平行板电容器极板面积为 S=0.5 m²，极板间距 d=2 cm。极板间沿垂直于极板方向串联填充两层均匀电介质：厚度均为 d/2，相对介电常数分别为 εr1=2 和 εr2=4。已知真空介电常数 ε0=8.85×10⁻¹² F/m，不计边缘效应，则该电容器的电容为 ____ F。

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17. 两种均匀各向同性电介质在界面处紧密接触，界面无自由电荷。关于静电场在界面两侧的分布，下列说法正确的是（　） A. 电场强度的法向分量必连续，电位移矢量的法向分量也必连续 B. 电位移矢量的法向分量必连续，电场强度的法向分量一般不连续 C. 电场强度的切向分量一般不连续，电位移矢量的切向分量必连续 D. 电场强度的法向分量和切向分量都必连续

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18. 同心球形电容器内导体球半径为 R₁，外导体球壳内半径为 R₂，两极间充满相对介电常数为 εr 的均匀电介质。该电容器的电容为 ____（用 ε₀、εr、R₁、R₂ 表示）。

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19. 一封闭导体空腔处于静电平衡状态，腔内有一不与腔壁接触的点电荷。下列关于该导体静电平衡条件的说法中，正确的是：A. 导体内部场强处处为零，且整个导体是等势体 B. 导体内部场强不为零，但导体表面是等势面 C. 导体内部场强处处为零，但导体各点电势不一定相等 D. 导体靠近腔内电荷的一侧场强较大，导体不是等势体

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20. 一块均匀极化的电介质平板，其内部各点极化强度 P 的大小均为 4×10⁻⁹ C/m²，方向与平板某表面的外法线方向成 60° 角。求该表面上的面束缚电荷密度 σ′（C/m²）。 A. 4×10⁻⁹ C/m² B. 2×10⁻⁹ C/m² C. 2√3×10⁻⁹ C/m² D. 4√3×10⁻⁹ C/m²

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21. 一不带电的同心导体球壳，内半径 R₁=0.10 m，外半径 R₂=0.30 m。在球壳内腔的球心处放置一点电荷 q=3.0×10⁻⁸ C。（真空介电常量 ε₀=8.85×10⁻¹² C²/(N·m²)，静电力常量 k=1/(4πε₀)=9.0×10⁹ N·m²/C²）求：(1) 静电平衡时球壳内表面与外表面上的感应电荷各是多少？(2) 导体壳壁内部（R₁<r<R₂）场强是多少？(3) 距球心 r=0.50 m 处的场强大小是多少（V/m）？

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22. 一平行板电容器极板线度远大于极板间距，可忽略边缘效应。两极板上自由电荷面密度分别为 ±σ，其中 σ=4×10⁻⁸ C/m²；极板间充满相对介电常数 εr=3 的均匀线性各向同性电介质。求：(1) 电介质表面极化电荷面密度的大小 σ′；(2) 介质内部电场强度大小 E（已知真空介电常数 ε0=8.85×10⁻¹² F/m）。

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23. 一平行板电容器极板间距远小于极板线度，忽略边缘效应。极板间上半部为真空，下半部为相对介电常数 εr=4 的均匀线性各向同性电介质，真空与介质的分界面平行于极板。静电平衡时介质内的电场强度大小 E=2.5×10⁵ V/m，方向由正极板指向负极板（垂直于界面）。求介质表面极化电荷的面密度 σ′。

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24. 一电介质球半径 R=0.1 m，被非均匀极化，其内部任一点极化强度 P=αr，其中 α=6×10⁻¹² C/m³，r 为从球心指向该点的位置矢量。求：(1) 球内体束缚电荷密度 ρ′；(2) 球面上的面束缚电荷密度 σ′；(3) 球内体束缚电荷总量与球面束缚电荷总量。

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25. 真空与相对介电常数 εr=4 的均匀线性各向同性电介质的分界面上无自由电荷。已知真空一侧紧靠界面处电场强度大小 E₁=600 V/m，方向与界面法线成 30° 角（从真空指向介质）。由边界条件可知：介质一侧电场强度的切向分量 E₂t = ____ V/m；介质一侧电位移矢量的法向分量 D₂n = ____ C/m²（真空介电常数 ε₀=8.85×10⁻¹² F/m）。

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26. 一半径 R=2 cm 的导体球带自由电荷 Q=6×10⁻¹¹ C，球外充满相对介电常数 εr=2 的均匀各向同性电介质。由介质中的高斯定理，在距球心 r=0.3 m 处的电场强度大小为____V/m。

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27. 两块均匀极化的电介质平板紧密贴合，界面两侧介质中的极化强度均沿+x方向，大小分别为 P₁=3×10⁻⁹ C/m² 与 P₂=1×10⁻⁹ C/m²。以界面处由介质1指向介质2的方向为法线正方向，则界面上的面束缚电荷密度 σ' 为多少？ A. 4×10⁻⁹ C/m² B. −2×10⁻⁹ C/m² C. 2×10⁻⁹ C/m² D. −4×10⁻⁹ C/m²

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