大学电动力学上册《狭义相对论》练习题

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本单元考点（5 个）

洛伦兹变换与时空间隔同时性的相对性与时间膨胀长度收缩效应四维矢量与电磁场变换相对论力学与质能关系

本单元练习题（27 题）

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1. 设参考系 S' 以速度 v=0.6c 相对 S 系沿 x 轴正方向匀速运动。在 S 系中观测到两个事件：事件1发生于 t₁=0、x₁=0，事件2发生于 t₂=5 s、x₂=3c·s（c 为真空光速）。由洛伦兹变换，两事件在 S' 系中的时间间隔 Δt'=t₂'−t₁'=____ s；由时空间隔不变性，两事件对应的原时间隔（固有时）cΔτ=____ c·s。

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2. 惯性系 S′ 相对 S 系以速度 v=0.6c 沿 x 轴运动（c=3×10^8 m/s，γ=5/4）。S 系中某点电磁场为：E=(0, 3.25×10^6, 0) V/m，B=(0, 0, 1.25×10^−2) T。求 S′ 系中该点的场分量 E′_y 和 B′_z，并利用场的不变量 E²−c²B² 验证结果。

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3. 一列火车以速率 v=0.6c（c 为真空光速）沿 x 轴相对地面匀速行驶。车厢内一静止乘客观察到相邻两次进站信号铃响的时间间隔为 5 s，则地面观察者测得这两次铃响的时间间隔为多少？ A. 4 s　B. 5 s　C. 6.25 s　D. 8.3 s

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4. 惯性系 S′ 相对 S 系以速度 v=0.6c 沿 x 轴匀速运动（γ=5/4）。S 系中某点电磁场为 E=(3, 4, 0)×10^6 V/m，B=(0, 0, 5/c) T（c 为光速）。利用电磁场变换公式，S′ 系中该点的 E′_y 分量为多少？ A. 1.25×10^6 V/m B. 1.0×10^6 V/m C. 5.0×10^6 V/m D. 5.75×10^6 V/m

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5. 一静止质量为 m₀ 的粒子被加速后，其动能恰好等于静止能量的一半。求该粒子的总能量 E 与静止能量 E₀ 的比值，以及它的速度大小 v（以光速 c 表示）。

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6. 飞船沿 x 轴以速率 v=0.6c 相对地面匀速飞行。在飞船参考系 S' 中，舱内相距 Δx'=600 m 的前后两点各放一个同步钟，两钟在 S' 系中同时读数为零。则地面参考系 S 中测得这两个事件的时间间隔为 ____ μs（以地面系中前方事件较后方事件滞后为正），此时两钟读数之差为 ____ μs。

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7. 惯性系 S′ 中某点电磁场为 E′=(3×10^6, 0, 0) V/m，B′=(0, 0, 0.01) T。利用电磁场的两个洛伦兹不变量判断：E′·B′ = ____，E′² − c²B′² = ____（c=3×10^8 m/s）。由此可知该场在任意惯性系中均为纯辐射场（平面电磁波场）。

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8. 设参考系 S′ 以速度 v=0.8c 相对 S 系沿 x 轴正方向匀速运动。在 S 系中，事件1发生于 (t₁=0 s, x₁=0 m)，事件2发生于 (t₂=3×10⁻⁷ s, x₂=90 m)。求这两事件的时空间隔平方 Δs²=(cΔt)²−(Δx)² 的值。 A. −2.7×10¹⁶ m²　B. 0 m²　C. 2.7×10¹⁶ m²　D. 8.1×10¹⁶ m²

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9. 某粒子的静止质量为 m₀，在实验室系中测得其相对论动量大小为 p = (5/12)·m₀c。设光速为 c。（1）求该粒子的总能量 E（用 m₀c² 表示）；（2）求该粒子的运动速率 v（以光速 c 表示）。

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10. 一列火车沿 x 轴以速率 v=0.8c（c 为真空光速）相对地面匀速行驶。在火车参考系 S' 中，车厢内相距 Δx'=900 m 的前后两点各放一只同步的钟。（1）地面参考系 S 测得这两只钟的读数差为多少？哪只钟读数较大？（2）车上某时钟走过 15 s（固有时），地面观察者测得该过程经历多长时间？

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11. 一个电子经加速后动能等于其静止能量，则该电子的总能量与静止能量之比为多少？（静止能量 E₀=mc²）A. 1.5　B. 2　C. 3　D. 4

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12. 一艘飞船相对地球沿直线匀速飞行，速度为 0.8c。飞船上的钟记录飞行过程历时 6 年（固有时），则地球参考系中的观察者测得该飞行过程历时多少年？ A. 7.2 年　B. 8 年　C. 10 年　D. 3.6 年

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13. 一列飞船沿 x 轴以速率 v=0.6c 相对地面匀速飞行。在飞船参考系 S' 中，位于 x'₁=-30 m 与 x'₂=+30 m 处的两盏指示灯同时闪光。设地面参考系 S 中飞船沿 x 正方向运动，x' 轴与 x 轴平行且同向。问：在地面参考系中这两个闪光事件的时间间隔 Δt=t₂-t₁ 为多少？哪一盏灯先闪？A. Δt=1.5×10⁻⁷ s，x'₁ 处的灯先闪　B. Δt=1.2×10⁻⁷ s，x'₂ 处的灯先闪　C. Δt=1.5×10⁻⁷ s，x'₂ 处的灯先闪　D. Δt=0，两灯仍同时闪光

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14. 一飞船以 0.8c 的速度相对地面匀速飞行。飞船上静止放置一根直杆，宇航员测得杆长为 10 m，则地面上观察者测得该杆沿运动方向的长度为____ m（结果保留两位小数）。

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15. 某微观粒子的静止质量为 m₀。当它的总能量为静止能量的 3 倍时，求该粒子的运动速度大小 v（以光速 c 表示）。

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16. 飞船以 0.8c（c 为真空光速）相对地面匀速飞行，飞船内一静止放射性原子核测得其平均寿命（固有时）为 3 μs。则地面实验室测得该批原子核的平均寿命为 ____ μs。

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17. 某飞船以 v=0.8c 相对地面参考系 S 沿 x 轴正方向匀速飞行。飞船参考系 S′ 中，某放射性样品的衰变开始与结束两个事件发生在同一地点。已知 S 系中测得两事件的时间间隔为 10 s，则 S′ 系中测得的时间间隔为____s；与这两个事件相应的时空间隔 Δs=√(c²Δt²−Δx²) 的大小为____光秒（以光秒为单位，即 c×1 s 的长度）。

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18. 一束宇宙线中的 μ 子相对地面实验室以速率 v=0.6c 匀速运动。实验室测得运动 μ 子的平均寿命为 5 μs。若以固有时表征其固有寿命，则与 μ 子相对静止的参考系中测得其平均寿命为多少？ A. 3.2 μs　B. 4 μs　C. 5 μs　D. 6.25 μs

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19. 一飞船以速率 v=0.6c（c 为真空光速）相对地面匀速飞行，飞船内静止的某不稳定粒子其平均寿命为 2 μs（固有时）。则地面参考系测得该粒子的平均寿命为 ____ μs。

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20. 某粒子的静止质量为 m₀，在实验室中测得其动量为 p = √3·m₀c。求：（1）该粒子的动能 Ek（用 m₀c² 表示）；（2）粒子运动速度大小 v 与光速 c 的比值 v/c。

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21. 一质量为 m₀ 的粒子在惯性系中做高速运动，其动能恰好等于静止能量的 1/4。（1）求该粒子的运动速率 v（以光速 c 表示）；（2）求该粒子相对论动量 p 的大小（用 m₀ 与 c 表示）。

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22. 某粒子静止质量为 m₀，测得其相对论动量为 p = (4/3)·m₀c。则该粒子的总能量 E = ____m₀c²，运动速率 v = ____c。

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23. 一静止质量为 m₀ 的粒子在惯性系中运动，测得其总能量为静止能量的 5/4。（1）该粒子的运动速率 v = ____c；（2）该粒子的相对论动量大小 p = ____m₀c。

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24. 惯性系 S′ 相对 S 系以速度 v=0.8c 沿 x 轴匀速运动（γ=5/3）。已知 S′ 系中某点电磁场为 E′=(0, 3×10^6, 0) V/m，B′=(0, 0, 1×10^-2) T。利用电磁场逆变换 E_x=E′_x、E_y=γ(E′_y+vB′_z)、E_z=γ(E′_z−vB′_y)，求 S 系中该点电场的 y 分量 E_y。A. 5×10^6 V/m　B. 7×10^6 V/m　C. 9×10^6 V/m　D. 15×10^6 V/m

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25. 一根直杆相对惯性系 S' 静止，杆沿 x' 方向放置，静长为 25 m。S' 系相对地面惯性系 S 沿 x 方向以 0.6c 的速度匀速运动。则 S 系中的观察者测得该杆沿运动方向的长度为（　） A. 20 m　B. 25 m　C. 15 m　D. 12.5 m

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26. 惯性系 S′ 相对 S 系以速度 v=0.6c 沿 x 轴匀速运动，γ=5/4，c=3×10^8 m/s。S′ 系中某点的电磁场为 E′=(0, 3×10^6, 0) V/m，B′=(0, 0, 0.01) T。利用电磁场量的洛伦兹变换公式，求 S 系中该点的电场强度 E 和磁感应强度 B。

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27. 惯性系 S′ 相对 S 系以速度 v=0.6c 沿 x 轴匀速运动（c=3×10^8 m/s，γ=5/4）。已知 S′ 系中某点的电磁场为 E′=(0, 6×10^6, 0) V/m，B′=(0, 0, 0) T。（1）写出该点电磁场从 S′ 系到 S 系的变换公式（E∥=E′∥，E⊥=γ(E′⊥−v×B′)，B 同理）；（2）求 S 系中该点的电场强度 E 和磁感应强度 B 的各分量。

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