大学电动力学上册《稳恒磁场》练习题

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本单元考点（5 个）

毕奥-萨伐尔定律安培环路定理磁场的高斯定理与磁矢势磁偶极子与磁矩磁介质的磁化与边界条件

本单元练习题（27 题）

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1. 真空中，半径 R=0.1 m 的细圆环均匀带电 Q=2×10⁻⁶ C，绕过圆心且垂直于环面的轴以恒定角速度 ω=10⁴ rad/s 转动，形成磁矩 m₁。另有一平面载流小圆线圈，面积 S=2×10⁻³ m²，电流 I=0.1 A，其磁矩 m₂ 方向与 m₁ 方向恰好相反，两磁矩中心重合。则该带电转动圆环的磁矩大小 m₁=____ A·m²，系统总磁矩大小为____ A·m²。

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2. 已知某区域内磁矢势为 A₁ = (−B₀y/2, B₀x/2, 0)，其中 B₀ 为正常量。（1）求该区域的磁感应强度 B，并验证 ∇·B = 0（即磁场高斯定理 ∮B·dS = 0 对任意闭合曲面成立）；（2）取标量函数 ψ = (B₀/4)x² − (B₀/4)y²，构造新矢势 A₂ = A₁ + ∇ψ，求 A₂ 的各分量，并说明由 A₂ 求得的磁感应强度与（1）的结果相同，这一结果说明了什么；（3）对 A₂ 再验证 ∇·B = 0。

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3. 两根无限长同轴直圆柱形导线：内柱半径为 R，通有沿轴向均匀分布的电流 2I；外柱半径为 2R，通有沿轴向的电流 3I，方向与内柱电流相反。由安培环路定理，在距公共轴线 r=3R 处的磁感应强度大小为（　　） A. μ₀I/(6πR)　B. μ₀I/(2πR)　C. 5μ₀I/(6πR)　D. μ₀I/(3πR)

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4. 无限大平面界面两侧为均匀磁介质，磁导率分别为 μ₁ 与 μ₂。已知界面无自由电流，界面两侧 1 侧的磁场强度为 H₁，其法向分量 H₁n 与切向分量 H₁t 为已知量。求 2 侧磁场强度的法向分量 H₂n 与切向分量 H₂t，用 μ₁、μ₂、H₁n、H₁t 表示。

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5. 细导线分别弯成周长相同的平面圆环和正方形线圈，通以相同电流 I=2.0 A，均置于真空中。已知圆环半径 r=0.05 m。将两载流线圈分别视为磁偶极子，则正方形线圈的磁矩大小 m₂ 与圆环的磁矩大小 m₁ 之比 m₂:m₁ 为多少？A. 1:1　B. π:4　C. 4:π　D. π:2

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6. 一根长 8 cm 的细直导线沿 x 轴放置，通有恒定电流 I=10 A。点 P 位于该线段的中垂线上，到导线的垂直距离 d=3 cm。由毕奥-萨伐尔定律可求有限长直导线在其垂直平分面上一点产生的磁感应强度大小。取 μ0=4π×10⁻⁷ T·m/A，则 P 点磁感应强度的大小为 ____ T（用分数与 10 的幂表示，如 a/b×10⁻⁷ T）。

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7. 一段半径为 R 的圆弧形细导线对圆心 O 张的圆心角为 2π/3，弧中通有电流 I。根据毕奥-萨伐尔定律，弧上任一电流元 Idl 到 O 的距离均为 R 且 Idl 与其位矢垂直，则圆心 O 处磁感应强度的大小为 ____。

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8. 磁导率分别为 μ₁=2μ₀ 与 μ₂=3μ₀ 的两种均匀磁介质被一无限大平面界面分开，界面上无自由传导电流。设界面法向单位矢量 n̂ 沿 x 轴正向，从介质1指向介质2。已知介质1中紧邻界面处的磁场强度为 H₁=(3x̂+4ŷ) A/m，其中 x̂ 为法向、ŷ 为切向。由边值关系可得介质2中紧邻界面处的磁场强度 H₂=(____x̂+4ŷ) A/m；介质1中的磁化强度大小 |M₁|=____ A/m。

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9. 真空中有两根无限长平行直导线，相距 d=9 cm，分别通有同方向的稳恒电流 I₁=3 A 和 I₂=6 A。由安培环路定理可知，无限长直电流 I 在距离 r 处产生磁感应强度大小 B=μ₀I/(2πr)。在两导线所确定的平面内、位于两导线之间的连线上，磁感应强度为零的点距电流 I₁=3 A 的导线____ cm。

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10. 半径为 R 的圆形导线通有电流 I，真空磁导率为 μ0。由毕奥-萨伐尔定律可导出轴线上距圆心 z 处的磁感应强度大小为 B(z)=μ0IR²/[2(R²+z²)^(3/2)]。若在轴线上取两点 P₁ 和 P₂，P₁ 位于圆心处，P₂ 距圆心为 2R，则 P₂ 与 P₁ 两点磁感应强度大小之比 B(P₂)/B(P₁) 等于 A. 1/5　B. 1/(5√2)　C. 1/(4√5)　D. 1/(5√5)

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11. 一根无限长直圆柱形导线，半径为 R，通有均匀分布的电流 I。由安培环路定理，在导线内部距轴线 r<R 处，磁感应强度大小 B=____；在导线外部 r>R 处，B=____。（用 μ₀、I、R、r 表示）

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12. 一磁偶极子磁矩大小为 m = 2.0 A·m²，方向沿 z 轴正方向。求在磁矩中心（即偶极子所在处）沿 z 轴正方向距离 r = 0.10 m 处（r 远大于偶极子线度），该磁偶极子产生的磁感应强度大小。

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13. 一半径为 R 的细导线圆环通有电流 I，圆环位于水平面内。根据毕奥-萨伐尔定律，圆环中心处磁感应强度的大小为多少？ A. μ₀I/(2πR) B. μ₀I/(2R) C. μ₀I/(4R) D. μ₀I/R

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14. 一载流圆线圈半径为 R，通有电流 I。已知圆线圈轴线上距圆心为 x 处的磁感应强度大小可由毕奥-萨伐尔定律求得。若轴线上某点 P 处的磁感应强度大小恰好为圆心 O 处磁感应强度大小的 1/8，则 x = ____（用 R 表示）。

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15. 已知某区域磁场的磁矢势为 A = (−2y, 2x, 0)（单位：T·m，坐标单位为 m）。(1) 由 B = ∇×A 求该区域的磁感应强度 B；(2) 验证该磁场满足磁场的高斯定理 ∮B·dS = 0（即 ∇·B = 0）。

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16. 真空中有一细导线绕成的平面圆环，半径 R = 0.20 m，通有恒定电流 I = 3.0 A，环面法线方向由右手螺旋定则确定。该载流圆环可视为磁偶极子，其磁矩大小 m = ____ A·m²；若环上电流方向反向，则磁矩方向将 ____（填“不变”或“反向”）。

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17. 设某区域内磁矢势为 A = (0, 3x, 0)（SI 单位），区域位于 z>0。由 B = ∇×A 可得磁感应强度 B 的大小为 ____ T；再由磁场的高斯定理，B 对坐标面 z=0 上正方形 0≤x≤2 m、0≤y≤2 m 所围平面的磁通量为 ____ Wb。

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18. 一根沿 z 轴正半轴从原点延伸到无穷远的细直导线，通有电流 I（方向沿 z 轴正向），x 轴上一点 P 到原点的距离为 d。根据毕奥-萨伐尔定律，P 点磁感应强度的大小为（　　） A. μ₀I/(4πd)　B. μ₀I/(2πd)　C. μ₀I/(2d)　D. μ₀I/(4d)

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19. 真空中有稳恒电流分布。取一固定的闭合积分回路 L，已知磁感应强度 B 沿 L 的环量 ∮L B·dl = 2.4π×10⁻⁶ T·m。若除穿过 L 的电流外，其余电流均在回路外部，取 μ0 = 4π×10⁻⁷ T·m/A，则穿过回路 L 的电流代数和为 A. 3 A B. 6 A C. 12 A D. 24 A

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20. 一根无限长直密绕螺线管，单位长度匝数 n=1000 匝/m，通有电流 I=2.0 A。忽略端部效应和漏磁。取一矩形安培环路：长边 a 恰在螺线管内部且平行于轴线，长边 b 在管外远处，两长边相距足够远。由安培环路定理：(1) 说明为什么环路外长边 b 上 B 的环流贡献可视为零；(2) 求管内磁感应强度 B 的大小（μ₀=4π×10⁻⁷ T·m/A）。

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21. 在两种均匀各向同性磁介质的分界面上不存在自由传导电流，关于界面两侧磁场 B 与 H 的边值关系，下列说法正确的是： A. B 的法向分量连续，H 的切向分量连续 B. B 的切向分量连续，H 的法向分量连续 C. B 与 H 的法向、切向分量都连续 D. B 与 H 的法向、切向分量都不连续

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22. 两种均匀线性磁介质的分界面为无限大平面，界面自由传导电流为零。介质1磁导率 μ₁=2μ₀，介质2磁导率 μ₂=5μ₀。已知介质1一侧紧邻界面处的磁感应强度 B₁ 的法向分量 B₁n=0.6 T，切向分量 B₁t=0.8 T。则介质2一侧紧邻界面处的磁感应强度切向分量 B₂t 的大小为（　　） A. 0.8 T　B. 2.0 T　C. 0.32 T　D. 1.5 T

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23. 两个均匀各向同性磁介质的分界面为一无限大平面，法线方向由介质2指向介质1。介质1磁导率为 μ₁，介质2磁导率为 μ₂。界面上有自由面电流，其线密度为 K，方向沿界面切向。已知介质1一侧紧靠界面处的磁感应强度 B₁，其法向分量 B₁n 与切向分量 B₁t 均已知，且 K 与 B₁t 方向垂直。求介质2一侧紧靠界面处的磁感应强度的法向分量 B₂n 和切向分量 B₂t。

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24. 一半径 R = 0.5 m 的均匀带电薄圆盘，总电荷 Q = 4.0×10⁻⁶ C，绕过圆心且垂直于盘面的轴以恒定角速度 ω = 100 rad/s 匀速转动。将此旋转带电圆盘视为磁偶极子，求其磁矩的大小 m（单位：A·m²）。

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25. 两种均匀各向同性线性磁介质的分界面为无限大平面，界面法线方向 n 从介质1指向介质2，界面上无自由传导电流。介质1的磁导率为 μ1=3μ0，介质2的磁导率为 μ2=4μ0。已知介质1中紧贴界面处的磁感应强度 B1 的大小为 5 T，其方向与法线 n 的夹角 θ1 满足 sinθ1=3/5（切向分量为 3 T，法向分量为 4 T）。求：(1) 介质2中紧贴界面处磁感应强度 B2 的大小；(2) B2 与法线 n 的夹角 θ2。

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26. 一个密绕在圆环上的螺绕环，总匝数 N=1000 匝，环内通有电流 I=0.5 A，环的平均半径 r=5 cm。忽略漏磁，将环内磁场视为均匀分布且沿环向。由安培环路定理，取一条以环心为圆心、半径为 r 的圆形环路（环面与螺绕环的环面共面），则环内磁感应强度大小 B 及环外（r 远大于环管截面处的环外区域）磁感应强度分别为 A. B=2×10⁻³ T，环外为零　B. B=4×10⁻³ T，环外为零　C. B=2×10⁻³ T，环外不为零　D. B=1×10⁻³ T，环外为零

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27. 设某区域内磁矢势为 A = (y², xz, x+y)（SI 单位，坐标单位为 m）。（1）求该区域的磁感应强度 B = ∇×A，并验证 ∇·B = 0，说明其与磁场高斯定理的一致性；（2）计算通过矩形平面区域 S（0≤x≤1 m，0≤y≤2 m，z=0，法向沿 +z 方向）的磁通量 Φ。

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