沪教版·数学（高中）高一下册《第8章平面向量》练习题

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本单元考点（6 个）

平面向量的概念与线性运算向量的共线与分解定理平面向量的坐标表示及运算平面向量的数量积向量数量积的应用（夹角、长度、垂直）向量的应用（几何与物理问题）

本单元练习题（27 题）

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1. 质点受到两个互相垂直的力，大小分别为3 N和4 N，则这两个力的合力大小为____。

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2. 某无人船在平面水域中以固定方式航行，取两个不共线的位移向量a、b为位置表示的基底。航行τ小时后，船相对出发点的位移为[(2τ/1小时)+1]a+[(τ/1小时)−1]b；一条航道的方向向量为5a+b。船的位移首次与航道方向平行时，航行了多少小时？

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3. 某设备受到两个力的作用，分别为向东600 N和向北800 N。若要再施加一个力使设备所受合力为零，该力的大小应为多少？ A. 200 N　B. 1000 N　C. 1400 N　D. 480000 N

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4. 一台测绘机器人先按位移向量 u=(2,1) m 行进两次，再沿位移向量 w 行进一次，最终位移为 r=(2,8) m。若 r=2u+w，则向量 w 是多少？

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5. 一艘小船在静水中速度大小为4 km/h，河水流速大小也为4 km/h，两速度方向的夹角为120°。则小船实际航行速度（合速度）的大小为____ km/h，合速度方向与每一分速度方向的夹角均为____°。

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6. 一台巡检机器人先沿向量 a 的方向移动，位移大小为 6 m；随后沿向量 b 的方向移动，位移大小为 8 m。两次移动后的总位移大小为 10 m。两次移动方向的夹角是多少度？

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7. 在平面直角坐标系中，无人配送车从起点P出发，第一段位移向量为 a=(3,−2) km，第二段位移向量为 b=(−1,4) km。若配送车改为从终点Q沿与总位移方向相反、长度为总位移2倍的一段位移返回P，求这段返回位移的向量（用坐标表示）。该返回位移向量是多少？

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8. 已知向量 a=(1,2)，b=(3,-1)，则 2a-b 等于（　）。 A. (-1,5)　B. (5,3)　C. (1,3)　D. (-1,3)

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9. 设向量a、b不共线，向量u=2a−b，v=(t+1)a+2tb。若u与v共线，则实数t的值为（　） A. −1/5　B. 1/5　C. −1/3　D. 1/3

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10. 已知非零向量 a、b 满足 |a|=3，|b|=4，|a+b|=√13，且向量 a 与 b 的夹角取值范围为 [0°,180°]，则该夹角为____。

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11. 已知平面向量 a=(2,1)，b=(1,−1)。若向量 a+λb 与向量 a−b 互相垂直，则实数 λ 的值为（　　） A. −4　B. −1/4　C. 1/4　D. 4

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12. 已知向量 a=(−2,1)，b=(1,3)，则 a+b 等于（　）。 A. (−1,4)　B. (−3,2)　C. (3,−2)　D. (−1,−4)

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13. 设向量 x、y、a、b 满足 x=3a+2b，y=a−b，则下列恒成立的是（　） A. a=(x+2y)/5　B. a=(x−2y)/5　C. a=(2x+y)/5　D. a=(x+y)/5

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14. 设平面向量p=2a+b，q=a−2b，则3a−b等于（　） A. p+q　B. p−q　C. (p+q)/5　D. 5(p+q)

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15. 在△ABC中，D为BC的中点，则向量AD＝____。

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16. 一名测绘员把向东、向北的位移分别记作坐标的第一、第二分量。某次行进中，第一段位移向量为 u=(3,1) km，第二段位移向量为 v，最终位移向量为 2u+v=(8,5) km。第二段位移向量 v 是多少？

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17. 设向量a、b不共线，向量u=2a+3b，v=(k+1)a+(2k−1)b。若v与u共线，则k=____，且此时v=____u。

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18. 巡检车从仓库出发，规定向东、向北的单位位移向量分别为 e、n，长度单位均为千米。第一段位移为 4e+3n，第二段位移为 −2e+5n，第三段位移为 −(e+2n)。巡检车最终相对仓库的位移向量是多少？

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19. 已知平面向量 a，b 不共线，向量 m=3a+xb，向量 n=a+2b。若 m 与 n 共线，则实数 x=____；此时 m=λ n 中的 λ=____。

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20. 一艘巡逻艇从码头A出发，先向东航行8 km到达B处，再向北航行6 km到达C处。若用向量 a 表示从A到B的位移，向量 b 表示从B到C的位移，则巡逻艇从A到C的总位移向量 a+b 的模是多少千米？

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21. 无人机先向东飞行6 km，再向北飞行8 km，这两段位移的合位移大小为（　）。 A. 2 km　B. 10 km　C. 14 km　D. 48 km

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22. 已知向量 a=(2,1)，b=(-1,2)。若(2a−b)+λ(a+b)=(7,6)，则实数λ的值为（　　） A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

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23. 已知平面向量 a，b 满足 a=(4,−1)，b=(−2,3)。若 c=a+2b，则 c=____；向量 |a|=____。

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24. 已知平面向量 a、b 满足 |a|=√5，|b|=√10，且 a·b=−3，则 |a+b|=____，|a−b|=____。

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25. 某平面实验中，两条不平行的单位方向向量分别记为 a、b。一作用力 F 可唯一分解为沿这两个方向的分力，且 F=(6 N)a+(4 N)b。沿方向 a 的分力大小是多少？

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26. 设向量 a、b 为平面内任意两个向量，向量 u、v 满足 2u+v=a，u−2v=b。则 u=____，v=____。

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27. 在平面直角坐标系中，一个物体受到两个力F₁=(1,2)N和F₂=(2,1)N的作用，则这两个力的合力向量坐标是多少？

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第5章导数及其应用（27题）第6章三角（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）第10章空间直线与平面（27题）引论（27题）第2章等等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章圆锥曲线（9题）第1部分数学建模活动案例（27题）第7章三角函数（27题）第11章简单几何体（18题）

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