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线性同余发生器的递推公式为 xᵢ₊₁ = (a·xᵢ + c) mod m。若取 a = 5，c = 3，m = 8，种子 x₀ = 1，则由该发生器产生的下一个均匀随机数 x₁ = ____。
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设 {Mₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的鞅，M₀=0，且 E[|Mₙ|]<∞ 对每个 n 成立。设 T 为关于 {Fₙ} 的有界停时（存在常数 N 使 T≤N a.s.）。由鞅性质，对每个 n≥0 有 E[Mₙ]=____；由可选停时定理，M_T 的数学期望 E[M_T]=____。
设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=1−e^(−2x)（x≥0）。(1) 用逆变换法推导：若 U~U(0,1)，则 X=−ln(1−U)/2 服从该分布；(2) 若某次模拟得到的均匀随机数为 U=0.75，求对应的 X 值（用 ln 表示）。
设 {ξₙ, n≥1} 为独立随机变量序列，其中 P(ξₙ=2)=1/3，P(ξₙ=−1)=2/3。记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，定义 Mₙ=Sₙ−nEξ₁（约定 M₀=0）。请验证 {Mₙ, Fₙ, n≥0} 是鞅，并计算 E[Mₙ]。
用接受-拒绝方法从密度 f(x)=2x（0≤x≤1）中抽样，取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1 作为建议分布。(1) 求最小的常数 c，使得 f(x)≤c·g(x) 对一切 x∈[0,1] 成立；(2) 设已生成均匀随机数 U₁=0.8 和 U₂=0.3，写出利用这两个数执行一次接受-拒绝采样的完整步骤，并判断本次抽样被接受还是被拒绝。
设 {Mₙ} 为关于 {Fₙ} 的鞅，已知 supₙ E[|Mₙ|] < ∞，且 Mₙ 依概率收敛于某个随机变量 M∞。根据鞅收敛定理的正确表述，下列结论中必然成立的是： A. Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，但 E[|M∞|] < ∞ 不一定成立 B. Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，且 E[|M∞|] ≤ lim E[|Mₙ|] < ∞ C. Mₙ 必为非负鞅，故 M∞ ≥ 0 几乎必然成立 D. Mₙ 几乎必然收敛于 0，且 E[M∞] = 0
设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=3)=1/2，P(Xᵢ=0)=1/2，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1），{Mₙ} 关于自然 σ-域流是鞅。虽然 sup E[Mₙ]=∞、鞅不满足 L¹ 有界条件，但由独立重复试验中 Xᵢ=0 几乎必然发生无穷多次可知 Mₙ 几乎必然收敛，其极限 M∞ = ____。
设 {Mₙ, n≥0} 为关于滤流 {Fₙ} 的鞅，且 E|Mₙ|<∞ 对每个 n 成立。下列哪个条件可直接由鞅的定义得到？A. E[Mₙ | Fₙ₋₁] = Mₙ₋₁ 对一切 n≥1 成立 B. E[Mₙ²] = E[M₀²] 对一切 n 成立 C. Mₙ 几乎必然收敛 D. E[Mₙ] = 0 对一切 n 成立当且仅当 M₀=0
设 {ξₙ, n≥1} 为相互独立的随机变量序列，具有相同的分布：P(ξₙ=2)=1/3，P(ξₙ=1/2)=2/3。记 Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，定义 Mₙ=ξ₁ξ₂…ξₙ（约定 M₀=1）。(1) 求 Eξₙ 与 Eξₙ²；(2) 证明 {Mₙ, Fₙ, n≥0} 是鞅（即验证 Mₙ 可积、Fₙ 可测且 E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ）；(3) 计算 E Mₙ 与 E M₃²。
设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的鞅，且 sup E[Mₙ²] ≤ 25。由 L² 有界鞅的收敛定理，存在随机变量 M∞ 使得 Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，同时均方收敛，即 E[(Mₙ−M∞)²] 收敛到 ____。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₁=-3, q₁₂=3；q₂₁=2, q₂₂=-2；q₃₁=1, q₃₂=5, q₃₃=-6。记其嵌入链（跳跃链）为 {Yₙ}。则在嵌入链中，从状态 3 出发下一步跳到状态 2 的概率为（ ）。 A. 1/6 B. 5/6 C. 5/8 D. 1/2
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=4, λ₁=2, λ₂=1（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=1, μ₂=2, μ₃=3。求其平稳分布中 π₃ 的值。
设连续时间马尔可夫链状态空间为 {0,1,2}，转移率矩阵 Q 的非对角元素为：q₀₁=2, q₀₂=0；q₁₀=4, q₁₂=1；q₂₀=0, q₂₁=2。（1）写出该链的嵌入链（跳转链）的一步转移概率矩阵 P；（2）判定嵌入链各状态的类型（正常返、零返或瞬过）。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2}，出生率 λ₀=3, λ₁=6（λ₂=0），死亡率 μ₁=2, μ₂=8。由平稳分布满足的细致平衡关系 πₙλₙ=πₙ₊₁μₙ₊₁ 及归一化条件，可得平稳分布中的 π₂=____。
设连续时间马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₂=5, q₂₃=3, q₃₁=2，且对角元 qᵢᵢ<0（i=1,2,3），状态 4 为吸收状态（q₄ⱼ=0, j≠4）。写出该链的嵌入链（跳跃链）转移概率矩阵的行支撑，并判断嵌入链的状态分类：哪些状态互通？A. 嵌入链中 1、2、3 互通，4 为吸收态 B. 嵌入链中 1、2、3、4 全部互通 C. 嵌入链中 1 与 2 互通，3、4 各自孤立 D. 嵌入链中 1→2→3→1 构成闭集，4 可达 1
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率 λₙ=1（n≥0），死亡率 μₙ=n+1（n≥1）。已知其平稳分布存在，则 π₀=____，π₂=____。（结果用 e 表示）
设观测数据 x₁,…,xₙ 来自一维高斯混合模型，含隐变量 zᵢ∈{1,2} 表示第 i 个观测所属的成分。在第 t 步 E 步已算得后验责任 γᵢ=P(zᵢ=1|xᵢ)。下列关于 Q 函数构造与 M 步的说法正确的是：A. Q(θ|θ^(t))=∑ᵢ[γᵢln(π₁φ(xᵢ;μ₁,σ₁²))+(1-γᵢ)ln(π₂φ(xᵢ;μ₂,σ₂²))]，M 步在固定 γᵢ 下最大化 Q 求新参数 B. M 步需对隐变量 zᵢ 重新随机抽样后再求参数 C. Q 函数只含观测数据的对数似然，与后验 γᵢ 无关 D. M 步直接最大化完整数据的对数似然，无需借助 Q 函数
设马尔可夫链状态空间为 {1,2}，转移矩阵 P = [[0.7, 0.3], [0.6, 0.4]]。已知分布 π = (a, 1−a)（a∈(0,1)）满足关于 P 的细致平衡条件 π₁P₁₂ = π₂P₂₁，则 a = ？ A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 3/5
用蒙特卡洛方法估计定积分 I=∫₀¹ x² dx。（1）采用样本均值法：取 U₁,…,U_n 为 (0,1) 上的独立均匀随机数，用 (1/n)∑xᵢ² 估计 I，求单次估计量 x²（x∼U(0,1)）的方差，并求使估计标准误不超过 0.001 所需的最小样本量 n；（2）改用对偶变量法：以 (Uᵢ²+(1-Uᵢ)²)/2 作为基本估计量，求其方差，并计算普通样本均值法方差与之的比值。
用接受-拒绝方法从密度 f(x)=6x(1−x)（0≤x≤1）中抽样，建议分布取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1。(1) 求满足 f(x)≤c·g(x) 对一切 x 成立的最小常数 c；(2) 求每次提议被接受的概率；(3) 已知某次提议被接受，求该样本落在区间 [0,1/2] 内的概率。