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设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，B(t)～N(0,t) 且增量相互独立。记 M = max{B(s): 0≤s≤1}。利用布朗运动的对称性与 M 的分布函数 P(M≤a)=2Φ(a)−1（a>0，Φ 为标准正态分布函数），则 P(M≤1) = ____（用 Φ 的表达式表示，并给出四位小数值）。
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设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(3)−B(1)，Y = B(7)−B(2)。由布朗运动的协方差结构 Cov(B(s),B(t)) = min(s,t)，可算得 Cov(X,Y) = ____。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3,4}，一步转移概率为：p₀₁=1；p₁₂=1；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₃=1；p₄₀=1/2，p₄₄=1/2。其余 pᵢⱼ=0。请对该链的每个状态判定其是常返态还是瞬过态，并在注明理由后求该链的平稳分布 π=(π₀,π₁,π₂,π₃,π₄)。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 的概率密度为 f(x)=2/(1+x)^3（x≥0），m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理，lim(t→∞) m(t)/t 等于多少？ A. 1/2 B. 1 C. 2 D. 3
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。取区间 [0,4] 的一列分割，使最大小区间长度 mesh→0，例如将 [0,4] 作 n 等分，分点 tₖ=4k/n（k=0,1,…,n）。记二次变差部分和 Vₙ=∑ₖ₌₁ⁿ [B(tₖ)−B(tₖ₋₁)]²，则当 n→∞ 时，Vₙ 依概率收敛到（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且服从区间 (0,3) 上的均匀分布，记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需等待的时间）。求极限 lim(t→∞) E[γ(t)]。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率为：p₁₁=1/2，p₁₃=1/2；p₂₂=1；p₃₁=1/4，p₃₃=3/4。试对每个状态判定它是常返状态还是瞬过（非常返）状态，并说明理由。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率为：p₁₁=1/3，p₁₂=2/3；p₂₁=1；p₃₃=1/4，p₃₄=3/4；p₄₃=1。则下列结论正确的是： A. 状态1与状态2均为常返态 B. 状态1瞬过，状态2常返 C. 状态3瞬过，状态4常返 D. 状态4瞬过，状态3常返
设某仪器的相继使用寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [2,5] 上服从均匀分布，损坏后立即更换，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。则对任意 t∈[0,2)，更新函数 m(t) 的值为多少？ A. m(t)=0 B. m(t)=t/7 C. m(t)=t/3 D. m(t)=1
用蒙特卡洛法近似积分 I=∫₀¹ eˣ dx。记 U~Uniform(0,1)。(1) 取估计量 X̂=e^U，求 Var(X̂)（保留4位小数）；(2) 改用对偶变量估计量 Ŷ=(e^U+e^(1−U))/2，求 Var(Ŷ)（保留4位小数）；(3) 求方差缩减倍数 Var(X̂)/Var(Ŷ)（保留1位小数），并说明当固定总计算量为 n 次函数求值时两种估计量的收敛阶。
设某机器的相继使用寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [1,3] 上服从均匀分布，损坏后立即更换，{N(t), t≥0} 为对应更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理，更新速率极限 lim(t→∞) m(t)/t = ____。
设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=4 与 λ₂=6（单位：次/小时）。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t) 为叠加过程。求概率 P(N(1)=3 且 N₁(1)=2)，并求在 N(1)=3 的条件下 N₁(1)=2 的条件概率。
用对偶变量法估计积分 I=∫₀¹ x² dx。方法一为朴素蒙特卡洛估计量 f(U)，其中 U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二取对偶样本对，估计量为 T=[f(U)+f(1−U)]/2。设单样本方差之比为 Var(T)/Var(f(U))，则方差缩减的比例（即减少的方差占原方差的分数）为： A. 1/16 B. 1/12 C. 15/16 D. 3/4
用蒙特卡洛方法估计定积分 I=∫₀¹ e^x dx 时，取 U₁,…,U_n 为 (0,1) 上独立均匀随机数，按样本均值法应使用的估计量为 Î=(1/n)∑ᵢ₌₁ⁿ g(Uᵢ)，则其中被积函数对应的 g(x)=____
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ 1/(1+x) dx，独立抽取 n=400 个 U(0,1) 样本 x₁,…,x₄₀₀，计算得 g(xᵢ)=1/(1+xᵢ) 的样本均值 X̄=0.694，样本标准差 S=0.200。若以 X̄ 作为 I 的估计，则该估计的标准误为（ ） A. 0.200 B. 0.010 C. 0.005 D. 0.050
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ x² dx。设 X₁,…,Xₙ 为来自均匀分布 U(0,1) 的独立样本，取估计量 Îₙ=(1/n)∑Xᵢ²。当 n 增大时，关于 Îₙ 的说法正确的是：A. Îₙ 依概率收敛于 I，且标准差按 1/√n 的速度减小 B. Îₙ 依概率收敛于 I，且标准差按 1/n 的速度减小 C. Îₙ 不收敛，但方差随 n 线性减小到零 D. Îₙ 收敛于 I 的精确值，方差恒为零
设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ (5X_n + 3) (mod 16)，种子 X₀ = 1。记 X_n 为第 n 次迭代后的状态。经逐次迭代可得序列，则使 X_n = X₀ 成立的最小正整数 n = ____；该发生器的周期长度为 16，由 full period 定理条件 a ≡ 1 (mod 4)、c 与 16 互素、c 为奇数可知其达到最大周期，据此该发生器输出序列在重复前可产生互不相同的均匀伪随机数个数为 ____。
用蒙特卡洛方法近似积分 I = ∫₀¹ x² dx。设 U₁,…,Uₙ 为来自 [0,1] 上均匀分布的独立随机样本，估计量记为 Îₙ = (1/n)∑ᵢ Uᵢ²。(1) 写出 E[Îₙ] 并验证其无偏；(2) 计算 Var(Îₙ)；(3) 指出 Îₙ 的均方根误差随 n 增大的收敛速度量级。
设 ξ₁,ξ₂,… 独立同分布，P(ξᵢ=1)=2/3，P(ξᵢ=0)=1/3，令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，已知 {Sₙ, n≥0} 关于 {Fₙ} 是下鞅。由杜布分解定理，存在可料递增过程 {Aₙ}（A₀=0）使 {Sₙ−Aₙ} 关于 {Fₙ} 为鞅。则 Aₙ 应为（n≥1）： A. Aₙ=n/3 B. Aₙ=n/2 C. Aₙ=2n/3 D. Aₙ=n
设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ aX_n + c (mod m)，参数取 a=5，c=3，m=17。已知发生器输出的第二个数为 X₁=9，则由它反推出的初始种子 X₀=____（即满足递推关系的 0≤X₀<17 的唯一整数）。