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自助法（Bootstrap）对经验分布进行重抽样时，最关键的操作特征是：从容量为 n 的原始样本中____地抽取 n 个观测值，构成一个自助样本；若重复 B 次，标准误的估计直接取 B 个自助统计量的样本标准差。
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关于自助法（Bootstrap）重抽样的基本做法，下列说法正确的是（ ） A. 从总体中重新抽取多个独立样本，每次样本量等于原样本量 B. 从原始样本中有放回地随机抽取观测，构造与原样本同大小的重抽样样本 C. 将原始样本随机划分为若干子样本，分别计算统计量 D. 对原始样本的每个观测值乘以一个随机扰动项，构造新样本
在求解无约束优化问题时，梯度下降法（又称最速下降法）仅利用目标函数的一阶导数信息确定搜索方向，其收敛速度通常为线性收敛；而牛顿法利用目标函数的二阶导数（Hessian 矩阵）构造搜索方向，在最优解附近通常具有____收敛速度。对于凸二次函数，牛顿法理论上只需____次迭代即可到达精确最优解。
在EM算法中，记 θ^(t) 为第 t 次迭代后的参数估计。关于其单调性与收敛性，下列说法正确的是：A. 每次迭代后观测数据的对数似然 L(θ^(t+1)) ≥ L(θ^(t))，但不保证收敛到全局最大值点 B. 每次迭代后对数似然严格递增，且必收敛到全局最大值点 C. 对数似然在每次迭代后可能下降，取决于初始值的选取 D. EM算法保证收敛到似然函数的唯一全局最大值点
设某学生用 Metropolis-Hastings 算法从目标分布 π(x) 中抽取了一条长度 n=400 的马尔可夫链样本，记样本均值为 x̄，用于估计 Eπ(X)。已知该链的有效样本量为 ESS=100，且样本标准差 s=2。请按 MCMC 样本误差估计的常用公式，计算该估计量的蒙特卡洛标准误 MCSE = s/√ESS。
设二维正态总体 (X,Y) 服从 N(0,0,1,1,ρ)，其中相关系数 ρ=1/2。现用 Gibbs 采样从该分布抽样：每次完整迭代依次从条件分布 X|Y=y 与 Y|X=x 中抽取新值。已知当前状态为 (x₀,y₀)=(2,0)，第一次从 X|Y=y₀ 抽样时所用标准正态随机数为 z₁=2/√3，第二次从 Y|X=x₁ 抽样时所用标准正态随机数为 z₂=0。请写出两个满条件分布 X|Y=y 与 Y|X=x 的均值和方差，并据此计算一次完整迭代后的新状态 (x₁,y₁)。
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=(x−1)²+4(y+2)²，学习率（步长）取 α=1/10，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。若从初始点 (x₀,y₀)=(3,0) 出发迭代两步，则所得迭代点 (x₂,y₂) 为（ ） A. (2.32, −1.92) B. (2.28, −1.92) C. (2.60, −1.60) D. (2.28, −2.08)
用牛顿法求函数 f(x)=x² 的极小点，取初始点 x₀=2，则迭代一次后得到的 x₁ = x₀ − f′(x₀)/f″(x₀) 为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
某研究小组用Metropolis-Hastings算法从目标分布中抽取样本以估计后验均值。链长为 n=10000（舍弃预烧期后），样本方差为 s²=5。经检验，估计后验均值时样本的集成自相关时间为 τ=5（已按初序单调估计量法估计，保守起见可直接用于误差计算）。若用 MCSE = √(s²·τ/n) 估计均值的蒙特卡洛标准误差，则该后验均值估计的 MCSE = ____。
用 Metropolis-Hastings 算法抽取某后验分布的 200 个样本，按顺序等分为前后两批，每批 100 个。已算得前一批样本均值为 2.8，后一批样本均值为 3.2。采用批量均值法（两批情形）估计样本均值的 Monte Carlo 标准误，其估计值为多少？ A. 0.20 B. 0.28 C. 0.40 D. 0.04
设马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移矩阵为 P = [[0.4, 0.3, 0.3], [a, 0.3, 0.1], [0.6, 0.1, 0.3]]， 其中 a 为待定常数。已知分布 π = (1/2, 1/4, 1/4)。若该链满足细致平衡条件 π(i)P(i,j) = π(j)P(j,i)（对所有状态 i, j），则 a 的值应为多少？ A. 0.6 B. 0.3 C. 0.15 D. 0.25
设 X₁, X₂, …, X₁₀₀ 相互独立同分布，均服从参数 λ=1/2 的指数分布（均值 E(Xᵢ)=2，方差 D(Xᵢ)=4），记 S₁₀₀=∑ᵢ₌₁¹⁰⁰ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，P(S₁₀₀≤220) 近似等于 Φ(____)。
用随机游走 Metropolis-Hastings 采样目标密度 p(x) ∝ e^(−x²/2)（x>0），提议分布为对称正态 q(x′|x) ∝ e^(−(x′−x)²/2)。若当前状态 x=1，提议 x′=3，则该提议被接受的概率为（ ） A. e^(−4) B. e^(−2) C. e^(−1) D. 1
设马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移矩阵为 P = [[0.5, 0.3, 0.2], [0.3, 0.4, 0.3], [0.2, 0.3, 0.5]]。若分布 π = (π₁, π₂, π₃)（各分量均大于 0）满足细致平衡条件 πᵢPᵢⱼ = πⱼPⱼᵢ（对所有状态对成立），则该分布为（ ） A. π = (0.4, 0.3, 0.3) B. π = (1/3, 1/3, 1/3) C. π = (0.5, 0.3, 0.2) D. π = (0.25, 0.5, 0.25)
设 {X(t), t≥0} 为宽平稳过程，E[X(t)]=0，自相关函数 R_X(τ)=4e^(−3|τ|)。按相关函数遍历性的均方判据，需考察积分 C=∫₋∞^(+∞) (R_X(τ)−0)² dτ 是否有限。则该积分 C=____
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(3)−B(1)，Y = B(5)−B(2)，则协方差 Cov(X,Y) = ____。
用自归一化重要性采样估计某期望，抽取的三个样本对应的 h(x) 取值分别为 2、4、6，相应的重要性权重（未归一化）分别为 1、2、3。若某同学先把权重逐个除以权重总和再做加权平均，他将得到的结果与未归一化加权公式 ∑wᵢhᵢ/∑wᵢ 的计算结果之差是多少？ A. 0 B. 2/3 C. 14/3 D. 7
设需估计 I=E[X]=∫x f(x)dx。采用自归一化重要性采样：从分布 g(x) 抽取 n 个样本 x₁,…,xₙ，令 wᵢ=f(xᵢ)/g(xᵢ)，则 I 的估计量应为（ ） A. (1/n)∑xᵢwᵢ B. ∑xᵢwᵢ / ∑wᵢ C. (1/n)∑wᵢ D. (∑xᵢwᵢ)² / ∑wᵢ
设 {X(t)} 为均方连续的实弱平稳过程，其自相关函数为 R(τ)=e^(−2|τ|)·cos(3τ)。(1) 求 X(t) 的功率谱密度 S(ω)；(2) 求过程的总平均功率。
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X=B(3)，Y=B(5)−B(2)，则 Cov(X,Y) 等于多少？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 5