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设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=x³（0≤x≤1）。请用逆变换法证明：若 U~U(0,1)，则 X=U^(1/3) 服从该分布，并写出验证过程。
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用逆变换法生成离散分布随机数：设随机变量 X 的分布律为 P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5。设 U~U(0,1)，按顺序划分区间，若 0.2<U≤0.5 则取 X=____。
设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ (3X_n + 5) (mod 13)，种子 X₀ = 2，其中 X_n 表示第 n 次迭代后的状态。请依次计算 X₁、X₂、X₃、X₄、X₅，并确定该发生器从种子出发的状态序列的周期长度。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，B(t)～N(0,t) 且增量相互独立。记 M = max{B(s): 0≤s≤4}。由布朗运动的反射原理，P(M ≥ 2) = 2P(B(4) ≥ 2) = ____（用标准正态分布函数 Φ 表示）。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。布朗运动的每一条样本路径在区间 [0,∞) 上是 t 的____函数，且对任意固定的 t≥0，B(t) 服从正态分布。特别地，P(lim(h→0) B(t+h) − B(t) = 0) = ____。
设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的非负鞅，M₀ 为常数。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到某随机变量 M∞。试判断下列结论中必然成立的是哪一个。 A. E[M∞] = M₀ 且 Mₙ 依 L¹ 收敛于 M∞ B. E[M∞] ≤ M₀，但 Mₙ 未必依 L¹ 收敛于 M∞ C. E[M∞] ≥ M₀ D. Mₙ 几乎必然收敛到常数 M₀
设 ξ₁, ξ₂, … 为相互独立的随机变量序列，分布为 P(ξₙ=3)=1/2，P(ξₙ=1)=1/2（n≥1）。令 Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，F₀ 为平凡 σ-域，并定义 Mₙ=cⁿ·ξ₁ξ₂…ξₙ（n≥0，约定 M₀=1），其中 c 为待定正常数。(1) 求 c 的值，使得 {Mₙ, n≥0} 关于滤流 {Fₙ} 是鞅；(2) 对该 c 值，直接由鞅的定义计算 E M₃ 的值。
设 {Xₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的下鞅，且 E[Xₙ]<∞ 对每个 n 成立。根据杜布分解定理，可将 Xₙ 分解为 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中下列结论正确的是：A. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是可料递增过程且 A₀=0 B. {Mₙ} 是下鞅，{Aₙ} 是可料递减过程且 A₀=0 C. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是任意适应过程且 A₀=0 D. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是可料递增过程且 A₀ 可取任意实数
设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=−1)=1/2，各 Xᵢ 相互独立），则 {Sₙ, n≥0} 关于 {Fₙ}（Fₙ=σ(X₁,…,Xₙ)）是鞅。令 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}，再令 τ = T ∧ 20（即 τ = min{T, 20}）。（1）验证 τ 是关于 {Fₙ} 的停时；（2）利用可选停时定理计算 E[S_τ]。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）：Q = [ -4, 1, 3; 0, -2, 2; 5, 1, -6 ]。则 p₃₁'(0) 等于多少？ A. 1 B. -6 C. 5 D. 6
设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {1,2,3}，转移率矩阵 Q 的非对角元素为：q₁₂=3；q₂₁=1, q₂₃=3；q₃₁=2, q₃₂=2，对角元 qᵢᵢ=-∑(j≠i)qᵢⱼ。(1) 写出该链的嵌入链（跳跃链）的一步转移概率矩阵 P；(2) 据嵌入链判断该连续时间马尔可夫链的状态分类（是否不可约、各状态的常返性）。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 p₁₂'(0)=2，p₂₃'(0)=3，p₃₁'(0)=1，p₃₂'(0)=2，且从状态 2 出发在极短时间内跳向状态 1 与跳向状态 3 的倾向之比为 1:3（即 q₂₁:q₂₃=1:3）。试求 q₂₁、q₂₂、q₂₃ 及 p₂₂'(0)。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3,4}，其 Q 矩阵为 Q = [ -6, 2, 3, 1; 1, -4, 0, 3; 2, 5, -8, 1; 0, 2, 1, -3 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。试求 q₁₄ 及 p₃₃'(0) 的值。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 q₃₁=2，q₃₃=-7，且状态 3 只向状态 1、2 转移，则 p₃₂'(0) 等于多少？ A. 2 B. 5 C. 7 D. 9
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=1, λ₁=2, λ₂=3（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=4, μ₂=6, μ₃=8。若该过程存在平稳分布 {πₙ, n=0,1,2,3}，则 π₀ 等于多少？ A. 96/131 B. 24/131 C. 8/131 D. 3/131
设目标函数 f(x₁,x₂)=x₁²+4x₂²，当前迭代点 x=(2,1)。采用回溯线搜索的梯度下降法：搜索方向取负梯度方向 d=−∇f(x)，初始步长 α₀=1，每步将步长减半（即 α←α/2），接受准则为 Armijo 条件 f(x+αd)≤f(x)+0.25·α·∇f(x)ᵀd。（1）写出 ∇f(x) 与 f(x) 的值；（2）求回溯过程最终接受的步长 α；（3）给出新的迭代点 x⁺=x+αd。
设样本统计量 θ̂=5.00，基于 B=1000 次自助重抽样得到的自助估计均值为 5.12，自助估计的样本方差为 0.09。按自助法，偏差的估计为自助估计均值与 θ̂ 之差，标准误的估计为自助估计方差的平方根。则偏差估计为 ____，标准误估计为 ____。
某统计量 θ̂ 的 200 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((200))。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取 α=0.05，下、上端点分别取第 ⌈0.025×200⌉=5 个与第 ⌈0.975×200⌉=195 个次序统计量。已知 θ̂*_((5)) = 2.8，θ̂*_((195)) = 4.6。该自助置信区间为（ ） A. (2.8, 4.6) B. (2.8, 4.0) C. (3.0, 4.6) D. (2.5, 4.9)
设 f(x)=x²，从 x=1 出发沿下降方向 d=-1 作回退线搜索：初始步长 t₀=8，每次迭代令 t←t/2，接受准则为 Armijo 条件 f(x+td) ≤ f(x)+0.9t·f'(x)d。从 t₀ 开始依次检验并减半，直到条件首次满足为止。则共需将步长减半____次，最终被接受的步长 t=____。
设样本 x₁,…,x₅ = 2,4,6,8,10。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的 Jackknife 标准误：依次每次删去一个观测，计算其余 n−1 个观测的均值 x̄₍ᵢ₎，再由 Jackknife 公式 SE_JK = √[ ((n−1)/n)·∑(x̄₍ᵢ₎−x̄₍·₎)² ] 求值。该 Jackknife 标准误等于（ ） A. √2 ≈ 1.414 B. √10/5 ≈ 0.632 C. 2√2 ≈ 2.828 D. √5/2 ≈ 1.118