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在某单参数高斯混合模型的一次 EM 迭代中，观测到两个样本 x₁=1，x₂=3。E 步算得两样本属于目标分量的后验责任分别为 r₁=3/4，r₂=1/4（其余权重归入另一固定分量，其参数不变）。若执行 M 步对该目标分量的均值 μ 进行更新，且责任满足归一化 ∑rᵢ=1，则更新后的 μ 值为多少？ A. 1.0 B. 1.5 C. 2.0 D. 2.5
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设目标分布定义在状态空间 {1,2,3} 上，概率为 p(1)=1/14, p(2)=4/14, p(3)=9/14。使用独立提议分布的 Metropolis-Hastings 采样，接受概率为 α(i→j)=min{1, [p(j)q(i)]/[p(i)q(j)]}。考虑两个提议分布：候选A为均匀分布 q(1)=q(2)=q(3)=1/3；候选B为 q(1)=1/6, q(2)=1/3, q(3)=1/2。对每个候选，先计算各状态处的比值 r(i)=p(i)/q(i)，再求三个状态的接受率 α(i→j)（对 i 固定、j 取其余两态）的平均值，最后求三状态平均的总体平均接受率。问：候选B的总体平均接受率是多少？它是否优于候选A？
在用Gibbs采样估计某后验分布时，运行 m=2 条平行链，每条链长 n=100。取链后半段计算得：链内平均方差 W=4，链间方差 B=400。采用 Gelman-Rubin 诊断，势缩减因子按 R̂ = √[ ((n−1)/n × W + B/n) / W ] 计算。若判定收敛的标准为 R̂ < 1.1，则关于该采样的正确结论及 R̂ 数值是： A. R̂ ≈ 1.21，已收敛 B. R̂ ≈ 1.10，恰好收敛 C. R̂ ≈ 1.00，已收敛 D. R̂ ≈ 1.41，未收敛
在 Metropolis-Hastings 算法中，设当前状态为 x，由提议分布 q(x′|x) 产生候选点 x′。已知目标密度 p(x)，则接受概率 α(x, x′) 的正确表达式为（ ） A. min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]} B. min{1, [p(x)q(x′|x)] / [p(x′)q(x|x′)]} C. p(x′)q(x′|x) D. min{1, p(x′)/p(x)}，无论提议分布是否对称
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，P(X=4)=1/3，P(X=6)=2/3。记第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ，更新函数 m(t)=E[N(t)]。(1) 写出 m(t) 与 Sₙ 的关系式；(2) 求 m(17)。
设二维目标分布定义为：X 的边缘先验为 N(0, 4)，给定 X=x 时 Y 的条件分布为 N(2x, 1)。用 Gibbs 采样从该分布抽样，迭代次序为先更新 X 再更新 Y。设初始值 Y₀=1，则第一次更新时需从条件分布 X|Y=1 抽样，该条件分布为正态分布，其方差为 ____。
设二维正态总体 (X,Y) 服从 N(0,0,1,1,ρ)，相关系数 ρ=1/3。对 (X,Y) 施行 Gibbs 采样：每次完整迭代先从条件分布 X|Y=y 抽取 x，再从条件分布 Y|X=x 抽取 y。由正态条件分布公式，X|Y=y 服从均值为____、方差为____的正态分布（方差写成分数）；若当前迭代得到的 y 值为 3，则下一步抽取的 X 的条件期望为____。
设随机过程 X(t) = A，其中 A 为随机变量，其均值 E[A] = 0，方差 D[A] = 4。判断：过程 X(t) 是否为宽平稳过程？是否必为严平稳过程？并求其自相关函数 R_X(t₁, t₂) 与均值函数 m_X(t)。
在 Metropolis-Hastings 算法中，从当前状态 x 出发，由提议分布 q(x′|x) 产生候选点 x′ 后，需以概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]} 接受候选点。若提议分布为对称分布，即 q(x′|x) = q(x|x′)，则接受概率简化为 α(x, x′) = min{1, ____}。
设 X₁, X₂, …, X₄₈ 相互独立且同服从区间 (0,1) 上的均匀分布，记 S₄₈ = ∑ᵢ₌₁⁴⁸ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，S₄₈ 近似服从正态分布，则 P(S₄₈ > 27.5) ≈ ____（用标准正态分布函数 Φ 表示数值，已知 Φ(1.75) = 0.9599）。
设某设备的相继工作寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [2,6] 上服从均匀分布，设备损坏后立即更换，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新方程 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−s)dF(s) 与初等更新定理，极限 lim(t→∞) m(t)/t 的值为（ ）。 A. 1/3 B. 1/4 C. 1/2 D. 4
设齐次马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，其一步转移矩阵为 P，其中第一行为 (0.5, 0.3, a)，第二行为 (b, 0.2, 0.6)，第三行为 (0.4, c, 0.1)。根据转移矩阵的定义，每行元素之和为 1，求 a×b×c 的值。A. 0.01 B. 0.02 C. 0.04 D. 0.05
设随机变量序列 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，且对任意 n，条件分布 P(Xₙ₊₁=j | X₁, X₂, …, Xₙ) 仅依赖于 Xₙ 的取值。该序列满足马尔可夫性（无记忆性）的一步转移概率 P(Xₙ₊₁=j | Xₙ=i) 与 n 和历史状态均无关。下列哪一项是该序列成为马尔可夫链的本质特征？ A. 状态空间必须是有限集 B. 下一步的状态分布只依赖于当前状态，与更早的历史无关 C. 转移概率必须随时间 n 变化 D. 每个状态必须能转移到其他任意状态 A. 状态空间必须是有限集 B. 下一步的状态分布只依赖于当前状态，与更早的历史无关 C. 转移概率必须随时间 n 变化 D. 每个状态必须能转移到其他任意状态
设 {X(t), t≥0} 为均方连续的宽平稳过程，均值 m=E[X(t)]=2，相关函数 R(τ) 满足 R(τ)→0（τ→∞）。则该过程的均值具有遍历性，即时间平均 (1/T)∫₀ᵀ X(t)dt 当 T→∞ 时均方收敛于 ____；若 R(τ)=4e^(-3|τ|)，则该过程均值为遍历的（填“是”或“否”）：____。
设 {X(t), t∈R} 为弱平稳过程，其自相关函数为 R_X(τ)=4e^(−|τ|)cos(2τ)+9。请计算该过程的方差 D(X)。
某网络数据中心光模块故障次数 N(t) 是强度 λ=3（次/天）的泊松过程，相邻两次故障的到达时间间隔 X₁, X₂, … 相互独立。设从时刻 0 起已观察到 5 次故障，记 T 为从第 5 次故障时刻起直到第 6 次故障发生所需等待时间。(1) 写出 T 的分布类型与参数；(2) 利用指数分布的无记忆性说明 T 的分布与已发生 5 次故障这一事实无关，并求 P(T > 1/2)（单位：天）；(3) 求 E(T)。
用控制变量法估计 I=∫₀¹ x²dx。抽取 X₁,X₂,X₃ 独立服从 U(0,1)，样本值依次为 0.2、0.5、0.9。取控制变量 W=X，已知 E[W]=1/2，且 Cov(x²,X)>0。已知原始蒙特卡洛估计高估了真值，则控制变量修正估计为 h̄−(W̄−E[W])=____（用分数表示）。
用控制变量法估计积分 I=∫₀¹ eˣdx。取 X 服从 U(0,1)，以 h(X)=e^X 为基本估计量，并选已知期望 E[X]=1/2 的随机变量 X 本身作控制变量，即用 Y=e^X+c(X−1/2) 估计。现有三个样本 X₁=0.1、X₂=0.3、X₃=0.8（对应 e^0.1≈1.10517，e^0.3≈1.34986，e^0.8≈2.22554）。先用样本协方差与样本方差估计最优系数 c，再求控制变量估计量的值（保留三位小数）。 A. 1.560 B. 1.690 C. 1.723 D. 1.718
在分层采样中，将总体划分为若干层后，需要在各层内分别抽取样本，再将各层估计量按层权重加权合并得到总体估计。这样做能降低估计方差的根本原因是：分层采样利用了总体先验信息，使每个层内部的个体（ ） A. 之间差异尽可能大，而不同层之间差异尽可能小 B. 之间尽可能相似（层内同质），而不同层之间差异尽可能大（层间异质） C. 与不同层之间的个体完全无差异，从而增大有效样本量 D. 的分布完全不相关，从而消除所有随机误差
用蒙特卡洛方法近似积分 I=∫₀¹ 1/(1+x) dx。设 U~Uniform(0,1)，估计量为 X̂=1/(1+U)。(1) 求 Var(X̂)，结果保留 4 位小数；(2) 若用独立同分布的 10000 个样本取平均作为估计量，求该估计量的方差（结果用科学计数法表示）。