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某统计计算任务有两种可选算法：算法甲的基本操作次数为 f(n)=n²，算法乙的基本操作次数为 g(n)=n·log₂n。若在 n=1024 个数据点上运行，则算法甲与算法乙的基本操作次数之比为 ____（结果用小数表示），由此可知计算效率更高的是算法 ____。
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某算法对一个含 n 个样本的数据集排序，其时间复杂度为 O(n·log n)；另一算法对同一数据集做简单遍历求和，时间复杂度为 O(n)。当 n 足够大时，遍历求和算法的运行效率____于排序算法（填“高”或“低”），理由是 O(n) 的增长阶____（填“低于”或“高于”）O(n·log n)。
设一维高斯混合模型含两个等权重分量（混合系数各为 0.5），密度为 0.5·N(x;μ₁,1)+0.5·N(x;μ₂,1)。观测样本为 x₁=0, x₂=2，初始参数 μ₁=−1, μ₂=1。对隐变量 zᵢ∈{1,2} 执行 EM 算法的一次迭代：E 步计算每个样本属于分量 1 的后验责任 wᵢ=P(zᵢ=1|xᵢ)，M 步更新 μ₁′=∑ᵢwᵢxᵢ/∑ᵢwᵢ。则更新后的 μ₁′ 等于（ ） A. 4/(e⁴+3) B. 2/(e⁴+1) C. 4/(e⁴+2) D. 2/(e⁴+3)
设线性方程组 10x₁+x₂=11，x₁+10x₂=12。用Jacobi迭代法（分量迭代格式 x₁^(k+1)=(11−x₂^(k))/10，x₂^(k+1)=(12−x₁^(k))/10）求解，取初始向量 x^(0)=(0,0)ᵀ，则 x^(1)=(____, ____)。
用牛顿法求 f(x,y)=x²+2y²+xy 的极小点，初始点 x₀=(1,2)ᵀ。梯度为 ∇f=(2x+y, x+4y)ᵀ，Hessian 为 H=[[2,1],[1,4]]。在 x₀ 处 ∇f(x₀)=(4,9)ᵀ，则牛顿方向 d=−H⁻¹∇f(x₀)=____，一次迭代后的迭代点 x₁=x₀+d=____。
设样本 x₁,…,x₆ = 1,3,5,7,9,11，样本均值为统计量 θ̂。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法：每次删去一个观测，计算 n=6 个删一估计量 θ₍ᵢ₎，再由伪值 θ̃ᵢ = n·θ̂ − (n−1)·θ₍ᵢ₎ 得到 Jackknife 标准误 se_Jack = √(∑(θ̃ᵢ−θ̄̃)²/(n(n−1)))，其中 θ̄̃ 为伪值的均值。则 se_Jack = ____（用最简根式表示）。
设对称正定矩阵 A = [[4, 2], [2, 3]]，对其进行 Cholesky 分解 A = LLᵀ，其中 L 为下三角矩阵且对角元取正值。则 L 的迹（主对角元之和）等于多少？ A. 3 + √2 B. 2 + √2 C. 2 + √3 D. 3 + √3
设对称正定矩阵 A = [[9, 3], [3, 5]]，其 Cholesky 分解为 A = LLᵀ，其中 L 为下三角矩阵。则 l₁₁ = ____，l₂₁ = ____，l₂₂ = ____。
设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵为对称正定对角阵 A=diag(100, 0.01)，用双精度浮点数（机器精度约 ε=10⁻¹⁶）直接求解。已知解的相对误差大致被 ε·κ₂(A) 控制（κ₂ 为谱条件数）。请估计 κ₂(A) 及解的相对误差量级。A. κ₂(A)=10⁴，相对误差约 10⁻¹² B. κ₂(A)=10⁴，相对误差约 10⁻¹⁶ C. κ₂(A)=10²，相对误差约 10⁻¹⁴ D. κ₂(A)=10⁶，相对误差约 10⁻¹⁰
设对称正定矩阵 A = [[4, 2], [2, 3]]，求其 Cholesky 分解 A = LLᵀ 中下三角矩阵 L 的元素。则 l₁₁、l₂₁、l₂₂ 依次为（ ） A. 2、1、√2 B. 2、1、2 C. 4、2、√3 D. 2、√2、√3
设某统计量 θ̂ 的 B=400 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((400))。采用百分位法构造 θ̂ 的 95% 自助置信区间，取 α=0.05，下、上分位点分别取第 ⌈αB/2⌉ 与第 ⌈(1−α/2)B⌉ 个次序统计量。已知 θ̂*_((10)) = 8.2，θ̂*_((390)) = 11.6，θ̂*_((20)) = 9.1，θ̂*_((380)) = 11.2。据此得到的 95% 自助置信区间为（ ） A. (8.2, 11.6) B. (9.1, 11.2) C. (8.2, 11.2) D. (9.1, 11.6)
为估计某总体均值 θ，从样本计算出点估计 θ̂ = 5.2。进行 B = 1000 次自助重抽样，得到 1000 个自助估计值并从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((1000))。已知排序后的结果中 θ̂*_((24)) = 3.06，θ̂*_((25)) = 3.14，θ̂*_((26)) = 3.21，θ̂*_((974)) = 7.32，θ̂*_((975)) = 7.48，θ̂*_((976)) = 7.55。按百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取下、上分位点对应的次序统计量编号分别为 ⌈0.025B⌉ 和 ⌈0.975B⌉（即第 ⌈0.025×1000⌉ 个与第 ⌈0.975×1000⌉ 个次序统计量）。请写出该 95% 自助置信区间。
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=3x²+2y²，其梯度为 ∇f(x,y)=(6x,4y)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,1)，学习率（步长）α=1/6，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。试计算前两步迭代：x₁=____，y₂=____。
用梯度下降法极小化一元函数 f(x)=x³/3−x²，其导数 f′(x)=x²−2x。取初始点 x₀=3，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 xₖ₊₁=xₖ−αf′(xₖ)。则第二步迭代所得的点 x₂=____。
某统计量 θ̂ 的 B=500 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((500))。已知排序后第 13 个值为 3.8，第 488 个值为 9.2。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，应取哪两个次序统计量作为区间的上下端点？写出该置信区间。
某研究者欲检验两组观测值是否来自同一分布，将两组样本合并后随机重新分成两组各 n₁ 与 n₂ 个值，并计算两组均值之差作为统计量，重复此过程多次得到该统计量的经验分布。此检验方法属于下列哪一类？A. 参数 t 检验 B. 置换检验（置换重抽样）C. 正态性检验 D. 卡方拟合优度检验
设 {ξₙ, n≥1} 为独立同分布随机变量，P(ξₙ=1)=2/3，P(ξₙ=−1)=1/3。记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，约定 S₀=0。下列哪一项是关于 {Fₙ} 的鞅？ A. Mₙ=Sₙ B. Mₙ=Sₙ−n/3 C. Mₙ=Sₙ²−n D. Mₙ=Sₙ²−4n/3
设目标分布为 p(x) ∝ e^(−x)（x>0），采用独立提议的 Metropolis-Hastings 算法，提议分布为 q(x′|x) = 2e^(−2x′)（与当前状态无关，即参数为2的指数分布密度）。若当前状态 x=2，提议产生候选点 x′=1，则接受该候选点的概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x)]/[p(x)q(x′)]} 等于多少？ A. 1 B. e^(−1) C. e^(−2) D. 1/2
下列关于梯度下降法与牛顿法的比较中，说法正确的是（ ） A. 梯度下降法利用二阶导数信息确定搜索方向 B. 牛顿法每步迭代需要计算并求逆 Hessian 矩阵，计算量通常比梯度下降法大 C. 牛顿法只能用于一维优化问题，梯度下降法可用于多维问题 D. 梯度下降法的收敛速度通常快于牛顿法
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+2y²，梯度 ∇f(x,y)=(2x,4y)。取初始点 (x₀,y₀)=(2,1)，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。试计算前两步迭代所得的点 (x₁,y₁) 与 (x₂,y₂)。