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设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，其 Q 矩阵为 Q = [ -5, 3, 2; 1, -4, 3; 2, 6, -8 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。由转移概率与 Q 矩阵的关系，lim(t→0+) p₁₂(t)/t = ____，lim(t→0+) [1−p₀₀(t)]/t = ____。
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设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。将区间 [0,3] 作 n 等分，分点为 tₖ=3k/n（k=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ₖ₌₁ⁿ [B(3k/n)−B(3(k−1)/n)]²。则依概率（从而均方）极限 lim(n→∞) Vₙ = ____。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率 λₙ=n+1（n≥0），死亡率 μₙ=2(n+1)（n≥1）。若其平稳分布 {πₙ, n≥0} 存在，则 π₂=____。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[0, 1, 0], [1/2, 0, 1/2], [0, 1, 0]]。若该链的平稳分布为 π = (π₁, π₂, π₃)，则 π₃ = ____
设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=5 与 λ₂=7（单位：次/小时）。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t)（t≥0），则 {N(t), t≥0} 是强度为 ____ 的泊松过程；现将 N(t) 中每个事件独立地以概率 p=1/4 标记为甲类，则甲类事件计数过程是强度为 ____ 的泊松过程。
某共享单车维修点收到报修单的次数 N(t) 是强度 λ=4（单/小时）的泊松过程。设 X₁ 为从时刻 0 起到第 1 张报修单到达的时间间隔，则 X₁ 服从的分布及 E[X₁] 为（ ） A. 服从参数为 4 的指数分布，E[X₁] = 1/4 小时 B. 服从参数为 4 的泊松分布，E[X₁] = 4 小时 C. 服从参数为 1/4 的指数分布，E[X₁] = 4 小时 D. 服从参数为 4 的均匀分布，E[X₁] = 1/2 小时
设 Z 服从标准正态分布 N(0,1)，其概率密度为 φ(z)=（1/√(2π)）·e^(−z²/2)。采用重要性采样，改从 N(1,1)（密度记为 q(z)）中抽取样本。若某次抽样得到的样本值为 z=1.5，则该样本对应的重要性权重 w=φ(z)/q(z) 的值为（ ） A. e^(−1) ≈ 0.368 B. e^(−2) ≈ 0.135 C. e^(−0.5) ≈ 0.607 D. 1
用接受-拒绝方法生成服从密度 f(x)=3x²（0≤x≤1）的随机数。取建议分布为 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1，取常数 c=3 使得 f(x)≤c·g(x) 对所有 x∈[0,1] 成立。设 U₁,U₂ 独立且均服从均匀分布 U(0,1)，若 U₂≤f(U₁)/(c·g(U₁)) 则接受 X=U₁。(1) 写出每次试验的接受概率；(2) 若一次试验中 U₁=0.5，U₂=0.2，判断该样本是否被接受。
用接受-拒绝方法从密度 f(x)=3x², x∈[0,1] 抽样，选取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1 作为建议分布，取常数 c 使得 c·g(x)≥f(x) 对一切 x 成立。则常数 c=____，每次试验的接受概率为____（用分数表示），平均需要生成的候选均匀随机数个数为____（用分数表示）。
设弱平稳过程 {X(t)} 的自相关函数为 R(τ)=e^(-4|τ|)。求：(1) X(t) 的功率谱密度 S(ω)；(2) X(t) 的平均功率。
设 T 是 [0,1) 上的旋转映射：T(x) = (x + α) mod 1。由伯克霍夫遍历定理，当且仅当 α 为____数时，T 关于 Lebesgue 测度是遍历的；此时对任意可积函数 f，时间平均 (1/n)∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ f(Tᵏx) 几乎处处收敛于空间平均 ∫₀¹ f(x)dx。取 α = √2，f(x) = x²，则该时间平均的几乎处处极限为____。
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X=B(2)，Y=B(5)−B(1)，则 Cov(X,Y) 等于多少？ A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，令 X(t)=B(t²)，t≥0。若 0<s<t，则 Cov(X(s),X(t))=____（用 s、t 的表达式表示）；当 s=2、t=3 时，该协方差值为 ____。
设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的非负鞅，且 sup E[Mₙ] = 4。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到一个极限 M∞，此时 E[M∞] ____ 4（填“>”“=”或“≤”）。
设参数集 T=(0,∞)，候选有限维分布族定义如下：对任意正整数 n、任意 0<t₁<…<tₙ，规定 (X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布函数为 F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ)=∏ₖ₌₁ⁿ [1−e^(−t_k x_k)]（x₁,…,xₙ≥0；若有某分量 x_k<0 则取 F=0）。(1) 说明每个 t>0 处的一维分布 F(t; x) 对应何种常见分布，并指出 X(t) 与 E[X(t)]；(2) 验证该分布族是否满足相容性条件，即对任意 m<n，边缘分布 F(t₁,…,t_m; x₁,…,x_m)=lim(x_{m+1},…,xₙ→∞) F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ) 是否成立；(3) 由相容性定理判断：是否存在随机过程以该分布族为其有限维分布族？
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [1/2, 0, 1/2, 0], [0, 1/2, 0, 1/2], [0, 0, 1/2, 1/2]]。若 π = (π₁, π₂, π₃, π₄) 是该链的平稳分布，则 π₁ + π₂ 的值为（ ）。 A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3 D. 3/4
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/4, 3/4], [2/3, 1/3]]。由 C-K 方程，两步转移概率 p₂₂⁽²⁾ = ____。
某网络服务器接收请求的次数 {N(t), t≥0} 为泊松过程，已知相邻两次请求的平均到达间隔为 1/4 小时。则 2 小时内恰好到达 2 个请求的概率为（ ） A. 32e^(-8) B. 16e^(-8) C. 32e^(-4) D. 64e^(-8)
设某生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=3, λ₁=2, λ₂=1（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=2, μ₂=3, μ₃=4。若该过程存在平稳分布 {π₀, π₁, π₂, π₃}，则 π₃=____。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/3, 2/3]]，状态空间为 {1,2}。利用 C-K 方程先算出 P²，再算 P³，则三步转移概率 p₁₂⁽³⁾ = ____（用分数表示）。